2021年中考数学 二轮汇编：正方形及四边形综合问题（含答案）.pdf

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1、2021中考数学 二轮专题汇编：正方形及四边形综合问题一、选择题i.下列说法错误的是（）A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形2.下列说法，正确的个数有（）正方形既是菱形又是矩形;有两个角是直角的四边形是矩形;菱形的对角线相等;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个 B.2个C.3个 D.4个3.如图，正方形A BCD的面积为1,则以相邻两边中点连线E F为边的正方形EFGH的周长为（）A.啦氏2啦C.6+1D.272+14.如图正方形A3CO中，E为A 8中点，FEAB,AF=2AE,F C

2、 交 B D 于点、O,则N。的度数为（）A.60B.67.5C.75D.545.（2020威海）如图，在DABCQ 中，对角线 B C A D,AB=10,A D=6,。为8。的中点，E 为边A B 上一点,直线E O交C O于点尺 连结DE,B F.下列结论不成立的是（）A.四边形尸为平行四边形B.若A =3.6,则四边形。/为矩形C.若A E=5,则四边形。EBF为菱形D.若A E=4.8,则四边形OE8尸为正方形6.如图，在正方形ABCD中，AB=,点、E,尸 分 别 在 边 和CO上，AE=AF,D.-37.如图，在正方形ABCD中，A C为对角线，E为A B上一点，过点E作EFAD

3、,与AC、D C分别交于点G、F,H为C G的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：AE 2EG=DF；NAEH+NADH=180；A EH FA D H C；若则 3sAD JAEDH=13SADHC,其中结论正确的有（）A.1个8.2个 C 3个D 4个D8.（2020.东营）如图，在正方形ABCD中，点P是A B上一动点（不与A、B重合），对角线AC、B D相交于点O,过点P分别作AC、B D的垂线，分别交AC、BD于点E、F,交 AD、BC于点M、N,下列结论：aAPE 4AME；PM+PN=AC；(3)PE2+PF2=PO2;POFS/SBNF；点 O 在 M、N 两点的连线上

4、.其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题9.如图，四边形ACDF是正方形，NCEA和N4BF都是直角且E,A,B 三点共线，A B=4,则 阴 影 部 分 的 面 积 是.10.以正 方 形A B C D的 边A D为边作等边三角形A D E,则/8 E C 的度数是.11.ABCD的对角线A C 与 B D 相交于点O,且 A C B D,请添加一个条件:，使得口ABCD为正方形.12.如图，正方形ABCO的顶点C,A 分别在x 轴，y 轴上，BC是菱形BDCE的对角线,则点D 的坐标是13.如图，正方形ABCD的边长为2啦，对角线AC,BD相交于点O,E 是 OC的中点，连接B E,过

5、点A 作 AMLBE于点M,交 BD于点F,则 FM 的长为A1)C14.如图，有一个边长不定的正方形A B C D,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B,D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的 取 值 范 围 是.AC15.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4位的正方形ABCD可以制作一副如图所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFG”内拼成如图所示的“拼搏兔”造型（其中点。，R分别与图中的点E,G重合，点尸在边E 上），则“拼搏兔”所在正方形EFG”的边长是.16.如图，正方形ABCD的面积为3 cm2,E为

6、B C边上一点，ZBAE=30,F为A E的中点，过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=A E,则三、解答题17.如图，正方形ABCD的对角线AC,8。相交于点O,E是0 C上一点，连接ER过点A作垂足为M,AM与8。相交于点E求证:。七=。Bc18.如图，在正方形ABC。中，点E 是 的 中 点，连接。E,过点A 作AG_LED交。E 于点R交 CO于点G(1)求证:ADG 之OCE;(2)连接 求证:AB=FB.19.如图，在正方形ABCO中，点 G 在对角线8。上(不与点B,。重合)，G E 1 D C于点E,G F工B C于点、F,连接AG.(1)写出线段AG,GE,G/

7、长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形A8CD的边长为1,NAGb=105。，求线段BG的长.20.如图，正方形ABCD,点E,F 分别在AD,CD上，且 DE=CF,AF与 BE相交于点G.求证：BE=AF；(2)若 AB=4,D E=1,求 AG 的长.21.如图，正方形ABC。的对角线交于点。，点E,F 分别在AB,BC.(AE 0),正方形EFGH与A A B C重叠部分的面积为S.(1)当，=1 时，正方形E F G H的边长是；当 r=3 时，正方形EFGH的边长是；(2)当 1JEC2+FC2=/2X,BE=l-x.在 RtA ABE 中，AB2+BE2=AE2,：.1+

8、（1-X=（标解得=百-1（舍负）.故选C.7.【答案】D【解析】逐项分析如下表:序号逐项分析正误在正方形 ABC。中，AB=BC=CD=DA,NDAB=NB=ZBCD=ZCDA=90,ZACB=ZACD=45,：EF/AD,，四边形ERDA、四边形EFCB是矩形，./EFC=/A D C=90,EF=D C,在 RtaCG尸中，ZACD=45,GF=CF,：.E FG F=C D-C F,即 EG=DFV：GFC是等腰直角三角形，是CG的中点，I.GH=F，NHGF=NGFH=45。,:./EGH=NDFH=135。,又由知 EG=DF,：.4EGH冬 ADFH(SAS),：./HEF=NF

9、DH,：NAEH=ZAEF+NHEF=90。+NHEF,4ADH=ZADC-Z FDH=90-Z FDH,：.ZAEH+ZADH=180q由可知 FH=C H,又,：EF=DC,：./E H F DHC(SSS)q：AEGHQADFH,：.EH=DH,4EHG=/DHF,：.ZEHG+ZAHD=ZDHF+ZAH D=90,即 ZEHD=/AHF=V4 r 990。，为等腰直角三角形，.%一,.设A E-2x,/in JA B=3 x,则 O E=d(2x)2+(3x)2=yUx,：.EH=DHA/2 r A/2 6 1 13,13,_13x=x,.SA E D/Y?EH2?x 9%2，x2.在

10、1x OHC中，设CO边上的高为力，贝U/I=(T=2，则&zwc13 2oC)-/z1 c X 3 2 S&EDH 4 13 口 ”,o2 2 x3xx2o 4.x2,Sc/DHC 一 a ,即 3S&EDH 13s23 owe8 答案B【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论.,正方形 ZAPE=ZAME=

11、45,：PM AE,：.ZAEP=ZAEM=90,：AE=AE,：.(ASA)；过点N作NQLAC于点Q,则四边形PNQE是矩形，.PN=E0,.正方形ABC。，/.ZPAE=ZMAE=45,：P M 1 A E,，NPEA=45,：.ZPAE=ZAPE,PE=NQ,.APE等腰直角三角形，；.4；=P E,同理得：NQC等腰直角三角形，NQ=CQ,V A A P E A A M E,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,BP PM+PN=AC 成立；.正方形ABC。，.ACL8D,.N E O F是直角，.过点P分别作AC、

12、8。的垂线，分别交AC、B D于点E、/，.N PE。和N PFO是直角，四边形PR9E是矩形，：.PF=O E,在 R faPE。中，PE2+OE2=PO2,：.PE2+PF2=PO2,即P/+PF2=PO2 成立;A B N/是等腰直角三角形，点尸不在A 8的中点时，POR不是等腰直角三角形，所以PO尸与3N E不一定相似，即POFSABN/不一定成立；:AMP是等腰直角三角形，PMNs.PMN是等腰直角三角形，V ZMPN=90,：.PM=PN,:A P=P M,B P=P N,：.AP=BP,.点 P 是2 2AB的中点，又：。为正方形的对称中点，.点O在M、N两点的连线上.综上，成立

13、，即正确的结论有4个，答案选B.二、填空题9.【答案】8 解析 .四边形ACD尸是正方形，：.AC=AF,ZCAF=90,：.ZCAE+ZBAF=9Q,又 NCAE+NEC4=90。，：.ZEC A=Z B A F,则在 ACE 和 中，fLAEC=ZABF=90,=4 B4F,/c =AF9?.ACEAMB(AAS),：.AB=CE=4,.阴 影 部 分 的 面 积 上 x4x4=8.2 21 0.【答案】30。或 150。解析 如图，AOE是等边三角形,：.DE=DA,ZDEA=Z1=6O.四边形A8CO是正方形，DC=DA,Z2=90.：.ZCDE=15Q,DE=DC,三(180。-15

14、0。)=15.同理可求得/4=15。.NBEC=30.如图，：是等边三角形，：.DE=DA,Z l=Z2=60,.四边形ABC。是正方形，：.DC=DA,NCD4=90。.：.DE=DC,Z3=3O,.,.Z4=i(180-30)=75.同理可求得N5=75。.，ZBEC=360 Z2 Z4Z5=150.故答案为30。或 150.11.【答案】40=90。（答案不唯一）【解析】ABCD的对角线A C 与 BD相交于点O,且 AC_LBD,.DABCD是菱形，当NBAD=90。时，菱形ABCD为正方形.故可添加条件：ZBAD=90.12.【答案】（5+2,7）【解析】如解图，过点D 作 DGLB

15、C于G,DFLx轴于 F,.在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60,4BCD是等边三角形，.,.DF=CG=1BC=1,C F=D G=4 /.OF=V3+2,；.D（S+2,1）.13.【答案】-【解析】.四边形ABCD为正方形，AO=BO,ZAOF=ZBOE=90,VAMBE,Z A FO=Z B FM,，NFAO=N EB O,在 AFO 和 BEOf ZAOF=ZBOE中，1Ao=BO,.AFO之BEO(ASA),/.FO=EO,正方形 ABCDIZFAO=ZEBO的边长为2 6，E 是 O C 的中点，FO=EO=1=BF,B O=2,在放ABOE中，BE=/12s=y5,由

16、ZFBM=ZEBO,Z FMB=ZEOB,可 得FM BF FM 1 5 B FM-A B E O,六=，即 中=卡，F M=.1 4.【答案】冬 区 3S 【解析】ABCD是正方形，A B=a=乎 AC,的取值范围与AC的长度直接相关.如解图，当A,C 两点恰好是正六边形一组对边中点时，。的值最小，.正六边形的边长为1,.AC=d5,，A B=a=芋A C=*;如解图，连接M N,延长AE,BF交于点G,；正六边形和正方形ABCD,.MNG、ABG EFG 为正三角形，设 AE=B F=x,则 AM=BN=1 x,AG=BG=A B=l+x=a,VGM=MN=2,ZBNM=60,BC a2

17、2.5znZBNM=szn60=.,.小(L x)=a,.小(2a)=,解得，a=余=3一 小:正方形边长a的取值范围是 监 好 3f .N C图15.【答案】4遮 解析 如图，连接E G,作 GMLEN交 EN的延长线于M.在 R3EMG 中，：GM=4,M=2+2+4+4=12,EG=y/,EM2+GA/2=V1122+42=4值,：.EH岑=4匹16.【答案】或申【解析】如解图，过 N 作N G LA B,交 AB于点G,.四边形 ABCD 为正方形，.AB=AD=NG=q cm,在 放ZABE 中，ZBAE=30,A B=A/3 cm,/.BE=1 cm,AE=2 cm,.F 为 AE

18、 的中点，AF=：AE=1AB=NG在 RrABE 和 RrZNGM 中，|A E-N M ABE/?rANGM(HL),/.BE=GM,ZBAE=ZMNG=30,ZAEB=ZNMG=60,/.ZA FM=90,即AF _ 1 _273M N1AE,在/?rAAMF 中，NFAM=30,AF=1 cm,AAM=cos30。A/3 32c m,由对称性得到AM/=BM=A B-A M=V 3-=2 c m,综上，AM的长三、解答题17.【答案】证明:在正方形ABC。中，AC1BD,：.ZAOF=ZBOE=90.AMBE,：.ZAME=90,，ZFAO+ZAEB=ZEBO+ZAEB90,：.ZFA

19、O=ZEBO.在正方形ABC。中，AC=BD,OA=-AC,OB=-BD,2 2：.OA=OB,：.AOR丝80E(ASA),，OE=OF.18.【答案】证 明.四 边 形 ABCD是正方形，/.ZADG=ZC=90,ADDC,又.AGLOE,ZDAG+ZADF=9Q=ZCDE+ZADF,：.ZDAG=ZCDE,，AOG 丝 (?(AS A).(2)如图，延长。E 交AB的延长线于”，.,E 是 BC 的中点，：.BE=CE.又：N O N HBE=9Q,Z DEC=Z HEB,DCE 之 HBE(ASA),BH=DC=AB,即8 是A 4的中点.又:ZAFH=90,.RQA/77 中，BF=

20、-AHAB.219.【答案【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关 系.由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接C G,易得CG=AG,再由四边形CEGF是矩形可得AG2=GE2+GF2；(2)给出NAGF=105,可得出ZA G B=60,再由NABG=45。，可想到过点A 作 BG的垂线，交BG于点M,分别在两个直角三角形中得出BM和 MG的长，相加即可得出BG的长.I）第21题军国M：（I）AG2=GE2+GF2；（i 分）理由：连结CG,.ABCD是正方形，NADG=NCDG=45。，AD=CD,DG=DG,/.ADGACDG,（2 分），AG=C

21、G,XVGEDC,GFBC,NGFC=90。，四边形CEGF是矩形，（3 分）/.CF=GE,在直角AGFC中，由勾股定理得，CG2=GF2+CF2,/.AG2=GE2+GF2；（4 分）（2）过点A 作 AM 1BD于点M,VGFBC,ZABG=ZGBC=45,.,.ZBAM=ZBGF=45,.ABM,ZiBGF都是等腰直角三角形，（6 分）VAB=1,.，.AM=B M=,V ZA G F=105,，NAGM=60。，to/i60=,.*.GM=*,（8 分）yf2 y6 3yl2-y6BG=BM+GM*+A V L（I0 分）2 0.【答案】（1）:四边形ABCD是正方形，/.ZBAE=

22、ZADF=90o,AB=AD=CD,VDE=CF,，AE=DF,A B-A D在ABAE ffAADF 中，NBAE=ZADF,AE=DF：.ABAEAADF（SAS）,，BE=AF；（2）解：由（1）得：ABAEAADF,，NEBA=NFAD,.,.ZGAE+ZAEG=90,A ZAGE=90,V AB=4,DE=1,，AE=3,BE=VAS2+AE2=V42+32=5，在 RtZABE 中，-ABXAE=-BEXAG,2 22 1.【答案】解:证明:正方形 ABC。中，AC=BD,OA=AC,OB=OD=BD,：.OA=OB=OD,V A C 1B D,，NA08=/A 00=90。，：.

23、ZOAD=ZOBA=45,：./0AM=N0BN,又：NEOF=90。,ZA0M=ZB0N,：.AOM名 ABON,：.OM=ON.(2)如图，过 点0作OP_LAB于P,.NO池=90,ZOPA=AMAE,?E 为 0M 中点，Z.OE=ME,又：ZAEM=ZPEO,，AEMAPEO,：.AE=EP,：OA=OB,OPLAB,：.AP=BP=-AB=2,2：.EP=l.RtaOPB 中，NO8P=45,：.0P=PB=2,RtA OEP 中，OE=OP2+PE2=y/5,：.OM=2OE=2y5,RtaOMN 中，OM=ON,：.MN=y2OM=2y10.Di2 2.【答案】证明：ZBED=

24、ZBAD,ZBPE=ZDFA,：.NABE=ZADF,：AB=AD,BE=DF,，B E 四AOB(2)解：如解图，延长EQ到点尸，使得。尸=8 E,连接AF,解图 四边形A3CO是正方形，:.NBAD=NBED=NBEP,/NP=/P,，NPBE=NADP,：.ZABE=ZADF,：BE=DF,AB=AD,：.ABEAADF,：.AE=AF,NBAE=NFAD,：.ZFAD+ZEAD=ZBAE+ZEAD=90,/.EF=y12AE=3&X&=6,，DE=E F-DF=EF-BE=6-1=5；(3)解：如解图，过点A 作AF_LAE交ED的延长线于点尸,解图.四边形ABC。是矩形，ZBAD=Z

25、BED=ZBEP=90,：AFLAE,N P=/P,：.ZPBE=ZADP,ZEAB=90-ZEAD=ZFAD,：.ZABE=1SQ 一 NP5E=180-/AD P=N AD F,：.ABEAADF,.AB BE _AE而一而一 7 7 一 5：.AF=2AE,DF=2BE,在RtAAEF中，由勾股定理得EF=JAR2+A尸=5AE,:A E=E,：.EF=y5AE=yf5 y5BE=5BE,：.DE=EF-DF=5BE-2BE=3BE,空=亚DE 3，2 3.【答案】(1)V2；【解法提示】根据题意知，AF=3 AE=2f,.NA=90。，/+4 炉=E F2,即尸+(2f)2=(E)2,

26、解得：片也(负值舍去).(2)当0W 区3 时，如解图，过点C 作 CP_LA8,交AB延长线于点P,4.F B P一d-解图,/ZA=ZD=90,四边形APCD是矩形，则 C P=A D=6 cm,VAB=8 cm,AD=6 cm,B F=(8 Z)cm,D E=(624cm,则 S=S 梯 形 A B C。S/kAE尸 CBF SA CDE=gx(8+10)x6;X/X2L；X(8 一)x6gx(62.)X1 o=产+13，等+端即 S=-(r-y)2+,当fV号13时，S随t的增大而增大，.当r=3 时，S 取得最大值，最大值为30；(3)当3SW8时，如解图，过点尸作EQ_LC。于点。

27、，解图由N A =N O=9 0。，知 四 边 形 尸 是 矩 形，/.FQ=AD=6 c m,JAD+DE=2t,AD=6 c m,CD=10 c m,:.CE=(16-2?)c m,则此时 S=g x(1620 x6=4 863V-60,，S随/的增大而减小，.当t=3时，S取得最大值，最大值为3 0c m2.2 4.【答案】(1)当 1=1 时，EF=2；当 f=3 时，EF=4.(2)如 图1,当时，EF=2 t.所以S =4产.11如图 2,当 9忘9时，EF=EH=2 t,A E =2-r,NE AE=-(2-t)-11 5 4 4于是 NH=EH_NE=2t_*Q _t)=3-*，4 4 2I 1 4 2 2(3 VS&NHO=-N HXQH=-N H x-N H =NH2=-t-N H Q 2 2 3 3 3 14 2)所以 s=4/口-当+3 3.3(4 2)24 2 2如图 3,当9忘2时，EF=4,AE=t-2,AF=t+2.5(3)如图4,图5,图6,图7,重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN,S的 最 大 值 为 小，此时/=四.75 25考点伸展第（2）题中r 的临界时刻是这样求的:如图8,如图9,图8EH=EF=2t,由 二=?2-t 4得，哈当落在AC上时，AE=2-t,