2021四川考研数学三真题【含答案】.pdf

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1、2021四川考研数学三真题试卷一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)2,当 x-0 时，J。(2-1)力 是 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.C.八 3 7/7 详解】因为当x-0 时，J。(e=2x(e-1)x,所 以 卜(e T谨 是 x 高阶无穷小，正确答案为C.V-I(2)函数/(幻=.1 ,在 x=0 处I l,x=0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.D.【详解】因为l i

2、m/(x)=l i m=1=/(0),故/在 x=0 处连续；1X70 X0 x图 为 lim=lim-=lim 7=，故/(。)=，正确答案为D.x-0 x-0 2 20(3)设函数/(x)=o r-h ln x m 0)有两个零点，贝 ij_”的取值范围是a(A)(e,+o).(B)(0,e).(C)(0,l).(D)(l,+8).e eA.人 ,、【详解】令/(x)=以一8 lnx=0,fx)=a-,令(。)=0 有驻点 x=，/|=。一b In”e,正确答案为A.a a(4)设函数/(x,y)可微，/(x+1,e)=x(x+l)2，/(x,J?)=In x,则 df(l,l)=(A)d

3、x+dy.(B)dx-dy.(C)dy.(D)-dy.C.【详解】ft(x+,ex)+exf(x+l,ex)=(x+1)2+2x(x+)ft(x,)+2xf x,/)=4x In x+2x(x=0(x=1分别将 ，|带入式有y=0 y=1力(1,D+介(1，D=1，力(1,1)+2 会 1,1)=2联立可得斤(U)=0,侬 1,1)=1，中(1,1)=斤(1,1+方(1,1处=,故正确答案为C.二次型/(x,x,x)=(x+x)2+。+x)2 _(x)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为1 2 3 1 2 2 3 3 1(A)2,0.(B)l,l.(C)2,1.(D)l,2.B.o 7 7 7【

4、详解】f(x,x,x)=(x+x)+(x+x)-(x-x)=2x+2x x+2x x+2x xI 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 13ro i n所以4 1 1 2 1 I，故特征多项式为J 1 o)/I 1AE-A=-1-1-1=(2+1)(2-3)2令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.设 A=(aa,a,a)为 4 阶正交矩阵，若矩阵8=/，后 ,A表示|壬,常数,1 4 3 T 2 I(aT J 3)则线性方程组*=那 通 解 x=(A)生+冬+4+的.(B)q+%+她(C)q+2+/+他.(D)q+%+q+他.

5、D.因为A=(q 0 M 0)为 4 阶正交矩阵，所 以 向 量 组 是 一 组 标 准 正 交 向 量组，则 r(5)=3,又Ba=a4所以齐次线性方程组5x=0 的 通 解 为 ka.而口 3故线性方程组 的通解x=q+侵+神，其中k 为任意常数.故应选D./1 0叫(7)己知矩阵A=：2-1 1 ,若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使 PAQ为对角-1 2矩阵，则 尸，。可以分别取(A)f l 0 0)工001 01p.(B)7-01 00 1 工0110 11 0 110-1I200bJ3 1)*01Jc.iM0-1 1 0 0、1 I10-110 0 0-1100(A,E)J 2

6、-11 01 0-13-21。P1-32-1 0-12-5 0 0 11 102-610J o00-321I)I)I=(尸,尸),则 p-3f l 01 o i -n-31mi b o oEJ 1 0 00 1 0 o 0 1r i o o)2 -1 0 ;1 2 1 1)0)o 0 o i l i w1 3 10 1)则。=(0I 故应选c.0 1 J(8)设 A,B为随机事件，且0 P(B)P(A),则 P(A|B)P(A)(C)若 P(A|8)P(A|B)，则 P(A|B)P(A).(D)若 P(A|AD.B)P(AA B),贝 ij P(A)P(B).【详解】P(AAP(A B)P(A

7、(A B)p(A)B)-=P(A)+P-P(AB)-P(4(不 B)p P(AA 设(x,y),(X ,y),1 1 2 21 nB),固有尸(A)P-P(AB),故正确答案为D.,(X ,/)为来自总体%(/,;(7 2,(72；0的简单随机样本，令n n 1 2 1 21 n.族4 一笈，x =z 先=Y=z片二，咛 x-y则n，一 i 幺 2 tc r +c r(A)=ft 。向=-i-2 _.n2 2c r +c r -Ipqp 八(B)EkO Oy D(0)=-2-un2 2(C)E#4 。诵=-1 a+a 2.n2 2c r +c r -初 p 人(D)曲份的 8二 -2-L 2n

8、B【详解】因 为 x,y 是二维正态分布，所以无与丫也服从二维正态分布，则 x二y 也服从二维正态分布，即 E =E(X-r j =E(X)-E(Y)=4：2 =4 ,、a+a-TfxxjDC)=D(X-Y)=D(X)+D(y)-c o v(X,r)i=-2-,故正确答案为 B.n1-0 1 +8(10)设总体X 的概率分布为P X=1=,P X=2 =尸 X=3=,利用来自总体2 4的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得优I勺最大似然估计值为A.1(A)_.43(B)_.81(C)_.25(D)一2【详解】似然函数L(4=(匕 空 工)取对数I n 4份=31n(d in 4份求导_

9、_ _ _ _ _2-0-)+51n(23 5dO_ _ _ _+_ _ _-0 1+四0,41 +。-)；4得出.故正确答案为A.二、填空题(本题共6 小题，每小题5 分，共 30分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(11)若 y =c o s e 一/,贝 lj 力|.公 4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _si ne2e.1si n【详解】-s ine9(，如=1-题 dx 2e(13)设平面区域。由曲线)，=x si n m(0 4x 41)与x轴围成，则。绕x轴旋转所成旋转体的体积为.714【详解】V(xfsin7ixdx=xsin 7ixdx=7 ix=t

10、-f s i ntdt=.0 0 2J0 4(14)差分方程力=，的通解为.y =y*+y=lC为任意常数.2 2【详解】y =C,y*=J (a f+Z?)(f+l)(a+l)+b)-+1)=，2at+a+b=t2 2 2a=1-1y =y*+y =L，2i+c,c为任意常数.2x(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球.令x,y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数1f0 nI.*1I J5 10,0)(0,1)(1,0)(1,1)、(0 0联合分布率(X,Y)1 3 1 1 3 1 x1,I yI 一

11、I l-lc o v(X,y)=D X =,DY=,Q|L n z y =2 0 4 4 5三、解 答 题(本 题 共6小题，共7 0分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)10 分)_+(l+#)f存在,求a的值.a=(-e).-7T e【详解】.要想极限存在，则左右极限相等;又由于 l i m|a a r c t a n +(1+x-0+1nx12 2)(17)(本小题满分已知 Hm o a r c t a nx1 11 1 7C|)x 1=f+c；J 2lim|aarctan10-U71In_+(l+|j)x|=-71 1从而 a+e=-a+，即7=2

12、 2a+e1 1(7i e-e).(1 8)(本小题满分1 2 分)9 9(x-l)z+/2 求函数/(x,y)=2 1 n x +的极值.x(-1,0)处取极小值2；(,0)处取极1 卜 值 1-2 In 2 .2 2【详解。”，,2|,2 x +x 1 yfx-/f 2/+x t 一=o(1),即y =0f=J L=O 1I y犬 21得驻点(-1,0),(,0)2(4 x+l)x-3(2 x 2 +x-1-y 2 )4/=x,-2yxy x3f =%7(3)驻点(-1,0)处，A=3,B=0,C=l,A C-B2=3 0 ,A 0故fx,y)在(-1,0)处取极小值2；1 o驻点(，0)

13、处，A=2 4,B=0,C=4,A C-Bz=3 0 ,A021 1故以x,y)在(，0)处取极 小 值 一-2 In 2 .2 2(1 9)(本小题满分1 2 分)设有界区域。是工2+/=和直线y。以 及 X轴在第一象限围城的部分，计算二重积分,(x+y 心(/_曲 如1一2 一 1 上+1一8 4 8+)(，jg e o s,团巧成(cos 分sin 4=j4 r 2 dr1 cosD n2 0 0122 01 2 2201产(cos 分sin为/2 J0=j(ros I d d e k(c?sM in。“血,Jw eos%份-八(cos冉 sinM JO(cos 分 sin 2 u eu

14、(cos 外sin 仍2 疝 gos 分 sin21(cos ft-sin 例r(cosft-sin zte at4J01 1/cos 外sin 例2 _刀(cos 分 sin 02(cos 分 s in/，上式=1?cos%sin0(cosM in2 d g_ F4 cosQ sin。-口-02 b c 八 八.幺 2,(cos例 sin武鸿理制”*2 ja du2*2 2 H,2彖中，一 2 1?，马r,私一 2 f屋 2 2t J)=叶 p _ c H.-h)(-e el/-1 1 1 2V1/cos分sin2 _“切32 握T,1 2 J-J J力加”-？e+h .二原式=-+J iQ

15、du=e+(2 0)(本小题满分1 2 分)(x)是微分方程孙一+1)y =o 满足条件yn 1设为正整数，y=yn(1)=的解n(n+1)求 (X);求级数夕斗，(X)的收敛域及和函数.I n+(l-x)ln(l-x)+x,x(Dy(x)=,A-；(2)收敛域-1,1 ,S(x)=.(+D i,x=i(+i)y j 也 以 i i(1)/-=0 W y=C ex=C x +l,将 加 =,八 带 入，有(+!)yn W=xn+l；nn+1)e 0 1 +l +l)x 的收敛域为 T，l桐1 9+1设S O)=%(k 老丁-%而=(-)皿-)+心 )又因为 S(x)在-1,1 连续，所以 S(

16、l)=li m S(x)=1,x f 1 一。、f(l-x)ln(l-x)+x,X G-l,l)所以 S(x)=II l,x=l(2 1)(本小题满分1 2 分)(2 1 0)设矩阵A、O力2a 仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求“，的值，并求可逆 矩 阵P，使 一 AP为对角矩阵.Z-2 -1【详解】由p E-A=|-1 2-2-1 -a00 =(2-Z?)(2-3)(2-1)=0Q b当 b =3时,由r iA相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则-1 0、(3 E-A)=1 1 0 -口，。=-1,(n 2 _ Il it出i时，4 1 4弓 所对

17、应特征向量为a=1 1 flJ I JI I|G，中1所对应的特征向量为a=；I I刎AP 3当6=1时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则D 2 I I I I此时，4 1 2 =厘所对应特征向量为夕.产=0 2-%亍3所对应的特征向量为a=、1IJ 31L 1 )(22)(本小题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为V丫,令2=.求X的概率密度；求Z的概率密度.,(2fl,0 x1(1)/(X)=0,其 他；【详解】(1)由题知：x f(x)=f h 0 x 11 0,其他 I2-X勿(z)=(F z(z)=(z+l f0,其他.(3)1+2 In 2.(2)由y=2-x,即2=,先求Z的分布函数：【f2-X 1 (2 1Fz)=P Z z=P 1 z 1=P-z 卜 1 T J 产 J当 z 1 时，吃(z)=0；当z 2 1时，障f 2 1FZ(z)=P _-z =-P X 12z+1=(Fz(z)=|(z+D 2 0,其他=J X J.Idr=-l+21n2.TJ 1 2-X J-2-x