2021年全国普通高等学校招生统一考试（理）数学试卷（全国甲卷).pdf

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1、绝密启用前2021年高中数学试卷学校：姓名：班级：考号：注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合加=刈0 *4,7V =1.r|x 5 j,则 M c N =（）A.1 x|0 x|C.x|4x5 D.x|Ox 0,乙：S,是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年 12月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.下图是三角高程测

2、量法的一个示意图，现有以A,B,C 三点，且 A,B,C 在同一水平面上的投影A,B：C 满足Z4C B=45。，NA3C=60。.由 C 点测得 8 点的仰角为15,8 8,与 C C 的差为100：由8 点测得A 点的仰角为45,贝！|A,C 两点到水平面A B C 的高度差A 4-C C 约 为（6 =1.732）（）4-A.346 B.373n-y-/八兀、c cos a9.右 a G 0,tan 2a=-,k 2)2-sin a人 隼 B10.将 4 个 1和 2 个 0 随机排成一行,3rC.446 D.473贝 ijtanc=()加 n V153 3则 2 个 0 不相邻的概率为

3、()1 1 .已知A,B,C是半径为1 的球。的球面上的三个点，且 H C J _ 3 C,A C =B C =l ,则三棱锥O-ABC的体积为()A.立 B.由 C.在 D.立1 2 1 2 4 41 2.设函数/(的定义域为R,/&+1)为奇函数，/(x +2)为偶函数，当工以1,2 时，/(外=尔+从 若/(0)+3)=6,则，(|)=()9 3 7 5A.-B.-C.-D.-4 2 4 2二、填空题1 3.曲线y =2 二 1 在点(-1,-3)处的切线方程为.x+21 4 .已知向量a =(3,1),*=(1,0),c=a+k b.a 1 c,则=.1 5.已知,F,为椭圆C:三+二

4、=1 的两个焦点，P,。为 C上关于坐标原点对称的两点，且1 6 4|P Q|=内 用，则四边形PFXQF2的面积为.1 6.已知函数/(x)=2co s(3T+s)的部分图像如图所示，则满足条件(/(X)-与)(/*)-/(专)0 的最小正整数X为-三、解答题1 7 .甲、乙两台机床生产同种产品.产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 20 0 件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？11级品二级品合计甲机床15050200乙机床1

5、2080200合计270130400卜 K2=_ n(ad-_(a+h)(c+d)(a+c)(h+d)1 8.已知数列 4的各项均为正数，记S”为 6 的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828数列 4是等差数列；数列 疯 是等差数列；4=3.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.1 9.已知直三棱柱A B C-中，侧面M片8为正方形.A B =B C =2,E,尸分别为A C和CQ的中点，。为棱A片上的点，BF1A.B,.(1)证明：B F L D E；(2)当月 为何值时，面8片GC与面。F

6、 E所成的二面角的正弦值最小？20 .抛物线C的顶点为坐标原点0,焦点在x轴上，直线/:x =l交C于P,Q两点，且O P _ L O Q.已知点M(2,0),且QM与/相切.(1)求C,Q M的方程；(2)设A，A2,4是c上的三个点，直线A4，AA均与OM相切.判断直线44与。用的位置关系，并说明理由.21.已知 a 0 且 a w l,函数/(x)=E-(x 0).a(1)当a =2时，求/(x)的单调区间；(2)若曲线y =/(x)与直线y =l有且仅有两个交点，求a的取值范围.22.【选修4 4：坐标系与参数方程】在直角坐标系x O)，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

7、系，曲线C的极坐标方程为 p=22 co s0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足Q =而，写出P的轨迹G的参数方程，并判断C与C 1是否有公共点.23.【选修 45：不等式选讲】己知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2 x-l|.(1)画出y=/(x)和 y=g(x)的图像；(2)若 f(x +a)N g(x),求。的取值范围.参考答案1 .答案：B解析：本题主要考查集合的运算.因 为 集 合 =*|0 4 ,N =所以 McN =x(4 x 6.5.故C 项不正确.D项，由图得该地农户家庭年收入介于4.5

8、万元至8.5 万元之间的农户频率为(0.1 +0.1 4 +0.2x2)xl =0.6 4 0.5 .故 D 项正确.因为是选择不正确的一项，故本题正确答案为C.3 .答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算.因为(l-i)，=3 +2i,所以3 +2i(1-i)23 +2i 3 +2i 3 i +2i2-2+3 i ,3.Z=故本题正确笞案为B.4 .答案：C解析：本题主要考查对数与对数函数.因为某同学视力的五分记录法的数据为4.9,所以在L=5 +l g V中令4=4.9,则 4.9 =5 +l g V,所以 l g V=-0.1 ,_ 1 1所 以 行 产=叱。=旃故本题正确答案为C.5

9、 .答案：A解析：本题主要考查圆锥曲线.因为,g 为双曲线C 的两个焦点且|P用=3|列讣又仍周一归闾=2”,所以仍用=3，|尸用=a,又/耳 程=60,由余弦定理，在APG中,cos 4FPF?(3a)2+a2-(2c)22 x 3。x。2c整 理 得 二2=7a 46.答案：D解析：本题主要考查空间几何体.根据题意，所得多面体如图所示，故侧视图应为D 选项所示的图形.故本题正确答案为D.7.答案：B解析：本题主要考查等比数列和充分条件与必要条件.充分性：若4 0,当q 0,即%0,又因为 4 为等比数列，所以q 0,4 0,必要性成立.综上所述，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故本题正确答

10、案为B.8.答案：B解析：本题主要考查三角函数模型的简单应用.由已知有 3 =100,ZBCH=15,所以 tanl5=0 =2-6 CH所以C”=工=C 3,2-V3B,NC B,100y/2-V2(2-V3)100AM=MB=AB=BNcosl5友(2-G)/6+y/2.273,4所以 A 4-C O =4 1/+3H=273+100=373.故本题正确答案为B.9.答案：AA n-fcr；,八 COS解析：tan 2a=-,2-sin a 2 tan a 2 sin a cos a cos atan 2a=-=-=-,1 -tan a cos a-sin a 2-sin a/.2sina

11、(2-sina)=cos2 a-sin?a,/.4 sin a-2sin2 a=cos2 a -sin2 a =1 -2sin?a ,1sin ct，4又,.a (0,色.如图，tana=.I 2)V15 151 0.答案：c解析：本题主要考查排列与组合和古典概型.将 4 个和2 个 0 排成一列，共 有 岑 =-9=1 5 种方法，4!x2!4 Z若 2 个 0 不相邻，则只需要考虑将2 个 0 插入到4个 1 形成的5个空中即可，共有C；=1 0 种方法，所以2 个 0 不相邻的概率为p =W =2.1 5 3故本题正确答案为C.1 1 .答案：A解析：记 O,为 A,B,。所在圆面的圆心

12、.则所以 VQ-ABC=S M O，0。=1，1，n D -3 3 2 2 1 2故选A.1 2.答案：D解析：本题主要考查函数的概念与性质.因为/(x+1)为奇函数，所以/(-x+l)=f(x+l),所以,f(x)关于(1,0)中心对称，则/(I)=0.因为/(x+2)为偶函数，所以f (一 x+2)=/(x+2),所以/(x)关于x=2 轴对称.由 f(-x+1)=-f(x+1),得 f-x+2)=-/(%)，所以/(x+2)=-/(x),所以 f(x+4)=_/(x+2)=f(x)，所以/(x)的周期为4,则了又因为/(0)=-/(2)，/(3)=/(1)=0,所以/(1)一/(2)=6

13、,即 2)=6,即/=“+/,=()f(2)=4a+b=-6解叱二所以，当 xe l,2 时，/(x)=-2d +2,所 以/=_/(|卜 _(-2、(+2卜|.故本题正确答案为D.1 3 .答案：5x-y +2=0解析：本题主要考查导数在研究函数中的应用.令 y=/(x)=2 x-lx+22(X+2)5=2 _5x+2 x+2所以尸(x)=5(x +2)2当 x =-l 时，/(-1)=5,(-1 +2)2所以斜率4 =(-1)=5,因为该切线经过点(T,-3),所以该切线方程为：y-(-3)=5x-(-l),即：5x-y +2=0.故本题正确答案为5x-y +2=0.1 4 .答案：3解析

14、：c =(3 +2,l),a c =0 o3(3 +A)+l =0.所以左=_ 3.31 5.答案：8解析：本题主要考查圆锥曲线.如图所示，根据题意得P O=Q。，FO=F2O,所以四边形PFXQF2为平行四边形.2因为椭圆C:土+上=1,1 6 4所以 a=4,b2=4,c2=12,c=2 6,因为IP。l=|片段，所以平行四边形PFXQF2为矩形.设 PF=m，PF2=n,=4c2=4x 12=48所以 c，1/n+=2 =2x4=8(ni+n)2-(n?2+2)所以加=-=8,2所以 SPRQF、=8 故本题正确答案为8.16.答案：2解析：本题主要考查曲线与方程.由题意可知，函数的周期

15、为丁=（詈 方）+；=兀，T 兀所以/(x)=2cos(2x+0),所 以 等+9=2兀+2 E(4，AwZ),jr所以夕=-+2E(&eR)，所以原式可化简为(/(x)-l)./(x)0 ,所以或 f(x)0,所以 2c os 1.当2c os(2x-二 0 时,得至U 工+2f a r 2x 巴生+2E(k eZ),2 6 2解得+Zx x 1 ,即 c os(2x-e)J 时,得至 1 一生+2 E 2 x 火 三+2E Gt eZ),3 6 3解得+f a r x 6.6 3 5,则有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.解析：1 8.答案：，一证明：设等差数列

16、,的公差为d.因为4=3 a ，所以q +4 =3 4.则d=2q .所以Sf l=nan(n-1),.2xH a=叫 +(-l)a1=rrax.所以6_67=百一(“_1)石=百.所以 底 是 首 项 为 百，公差为内的等差数列.解析：1 9 .答案：(1)以 8 为坐标原点，B C 延长线为y 轴，8 4 延长线为x 轴，8线延长线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 8尸 _LAA，AB II AB，BB,所 以 相_L平面C C 4 8,所以 A3J.BC,则 8(0,0,2),F(0,2,l),设 O(a,0,2),E(l,l,0),所 以 丽=(0,2,-1),D=(l-a

17、,l,-2),所以互R.诙=2-2 =0,所以8尸_L DE.(2)如 图(1)的空间直角坐标系，则 A(2,0,0),C(0,2,0),E(l,l,0),尸(0,2,1),及(0,0,2),设。(a,0,2),其中0 4 a 4 2,则 前=(-1,1,1),FZ5=(a,-2,1),设平面DEF法向量为，=(x,y,z),贝 x+,+-,令=3,则 y=a+l,z=2a,ax-2y+z=0所以/“=(3,a+1,2-。)，同理可知平面BCQB的法向量为=(1,0,0)，设平面5CGg与平面。石尸的夹角为3，则 sir?e=l-c o s 2 cos0=1 cos(myn)|=-=,=m-n

18、,9 +(.+1)2+(2-a)2所以 sin?夕2 1 一 cos?0=-3所以s i n，的最小值为更，3即两平面二面角的正弦值最小为也.3解析：20.答案：（1）设抛物线C的方程为y2=2px,令 x=i,贝 （”=7 同理），又因为OPLOQ,根据对称性可知直线O P斜率为1,所以 y/2p=1 ,解得P=L,所以抛物线C的方程为y 2=x.因为圆M与直线/相切，所以圆M的半径即为圆心点例到直线/的距离为1,因此圆的方程为：（X-2）2+/=1.设A（y：,%），4（y：，x），A（五,方），若y 0=l ,此时过A作圆M的两条切线分别为直线/和直线？=%,其中直线y =%与抛物线C只

19、有A一个交点，不符合题意，因此因为K&=咚 鸣=-%所以直线44的方程为：-%=一（x-y；），%+y整理可得：x-（%+y）y +%x =0，同理可得，直线A4的方程为：、一（为+、2），+%=0,直线 A 2 A 的方程为：x （y+%）+X%=。，由题意得，点M到直线A A z的距离4=-2+也M、=1，+（%+%整理可得，（寸一1）寸+2%乂+3-4=0,同 理 有,（4-1）货+2%+3-y=0,根据韦达定理有：弘+必=-孕 入，乂2=上，2 y;-i v；-i2+寿才 2国-1)+3 一 词+J -i j +(_2%)-此时点M到 直 线 的 距 离 小=/2+出=Ji+(y +%

20、丫因此直线4人3与圆M相切.解析：2 1.答案：(1)当a=2时，/(x)=m，,.2 1nx x(2-x l n2)f(X)=z -，722X 2X当(0,卷 时，fx)0；当x e(2,+o o)时，/,(x)0在(0,+o o)上恒成立,所以g(x)在(0,y)上单调递增，不可能有2个零点，舍去.所以a 1,令 g(x)=o 得至 I 元=-,并且当 时:g(X)0；当 X(-,+8 1时，g*(x)0 ,y i n(7 J na Int z整理可得a-e l n a 0,令力(x)=x-e l nx ,XG(l,4-o o),所以(x)=1 -=-，X X所以当1 w(l,e)时，hx

21、)0,所以函数g(x)在(l,e)上单调递减，在(e,+o o)上单调递增，所以(X)m m =力仁)=。，所以若 h(a)0 ,则 4 (l,e)u(e,+o o).综上所述，实数的取值范围是a w(l,e)u(e,Ko).解析：22.答案：（1）由 o=2 0 c o s。得=2恁cos。，即 X2+y2=2&x,整理得（x-垃尸+丁=2.(2)设 P 的坐标为(x,y),则 Q =(x-l,y),因为A户=所 以 丽 =*(x-l),日)，加由 1以、1 MA/C x-/-2-+1,2y、,(2 2 2 J因为M 为 C 上的动点，所 以(条-除+1-0 +与y=2，化简得(x+0-3)

22、2 +V=4,即尸点的轨迹方程G 为(x+亚-3+丁=4,化成参数方程为卜=3+2cosf-吃y=2sinr圆心 (3-0,0),4=2,C(夜,0),r=0,因 为 2+/2/2+2,3-2-2 5/2-2,所以c 与G没有公共点.解析：23.答案：A x)“：2-x (x2)-4g(x)=v 4x+24如图所示.由 得 f(x)=22-x(xg(x),则要满足/(x +q)g(x),需a0,/(x +a)=x+a-2,当函数+2|的 图 象 过 点 时，J+一 2=4,解得4=U 或。=，2 2根据图象可得若/(x +a)N g 0),则“之3,日 口 11 1即 a e,+oo.2 J解析: