2021年中考数学综合题冲刺32 圆的综合练习（基础）（含答案及解析）.pdf

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1、专题3 2 圆的综合练习(基础)1.如图，ABC内接于。0,点。为弧AB的中点，连接5D.(1)求证：Z A C B=2 Z D B A；(2)点 E 为弧 8c 上一点，连接 AE、CE、B E、B D,若BC 为。的直径，且N A C E=N CBE+N D B E,-,-,-求证：EA=EB.(3)在 的坡件下连接。交 AB于 凡 点 G 在 0 C 匕 且 AC+CG=BG,连接F G,若 FG=6,A C=3相，求 CG的长【分析】(1)先判断出/A 8 Q=/A C D,进而判断出/ABQ=NACwN8CQ,即可得出结论；.(29 设N A B D=x,得出2 4 c=2 x,进而

2、得出 NACB=90，-2 x,设/BAC=y,.则/B C E=y,进而对称Z C B E=90-y,再用 Z A C E Z C B E+Z D B E,建立等式得出 x-90 y,最后判断出 NBAE=ZABE,而可得出结论；(3)过点A作 4W 平行于F G交B C的延长线于例，则力G=M G,进而判断出A C=C M,再判断出O F=O G,最后用勾股定理求出0 M 即 可 得 出 结 论.【解答】解：(1)如 图 1,连琢8,则/4 8。三 NACD,.,点D是油的中蕾;：.BD=AD,ZACD.ZBCD,ZABD=ZACD=/BCD,ZACB=ZACD+ZBCD2ZABD；(2)

3、设N 4 8 C=x,A*由(1)矢 口，ZAC B=2ZABD=2x,；BC为。的直径，.:.NBEC=NBACm。,?.ZABC=90*ACB=.90-lx,设N 8A E=y,则NBCE=y,f,f.*.4：;ZCBE=900-ZBCE=90-y,/ACE=NCBE+NDBE,NACB+NBCE=/CBE+/ABD+NABC+CB&-，2x+y=90-+x+90-2r+90-y/x4-y=90,A t:f .，.,：.x=W -y,A ZABE=ZABC-ZCBE=90-21+90。.-y=90。-2(90。y)+90-y=y,：2BAE=NABE,.：.EA=EB；、.A (3)如 图

4、2,过 点/作AM尸G交8 c的延长磁于M,二 RF=AF.：AM/FG,:,BG=MG,：.CG+CM=BG,AC+CG=8G,：.AC=CM,：.ZC A M=Z Mf :MAH EG,/M=N O G F,：/O G F=/CAM :MAH FG、；:NBAM=/BFG,./BFO+NOFG=ZBAC+ZCAM,A90+ZOFG=90+NCAM,-，NOFG=NCAM,-：.Z 0 F G=2 0 G Ff：.OF=OG,V BF=AF,OB=OC,：.。F 是ABC的中位线，.一-.，w二 0G=/C=-*设 ON=m,J!NG=bN+OG=m+浮,在 RtAONF 中；FN2=OF2

5、-0N2=竽一/，二、.ON OFr/F o c.:.C G=O C-O G=O B-O G=专-贽=亚.【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰二角形的.判定和性质，构造出等腰三角形是解本题的关键.*2.如图，。的两条弦A3、C互相垂直，垂足为E,且 A8=C.（1）求证：AC=BD.（2）若 OFJ_C）于 凡 OGLAB于G,问，四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由.（3）若 CE=1,D E=3,求。的半径.B【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由A B=C D判 断 屈=而，再得到前1=丽，从而判断A C（2）先证明四边形、。FEG为

6、矩形，连结。4、0 D,如图，再根据垂径定理得到C尸=。凡 AG=8G,则*卜，利 产C D A B得到4G=。凡.接着根据勾股定理计算O G=O F,然后根据正方形的判定方法可判断四边形 OFEG是正方形；先 计 算 出 C=4,从而得到C尸=。=2,E F=,再利用东方形的性质得到。尸=即=1,.然后根据勾股定理计算出。即 可.【解答】（1）证,：4B=C）,：.AB=C D,.：.AB-BC=CD-B t,即 元=皿，f.,：.AC=BD-.（2）四边形OFEG是正方形.理由如下：ABLCD,O F LCD,OGLAB,r JrA Z4ED=90,2 o G E 9 0e,NOFE=90

7、，四边形OFEG为矩形，,.连结04、O D,如图，V OF LCD.OG.LAB,、十 J，j iT T n JOF2+DF2=V l2+22=V5,即。0 的辛径为西.【点评】本题考查了圆的综合摩：熟练掌握垂径定理和圆、角、弧、弦的关系；掌握年方形的判定方法:会运用勾股定理计算线段西长.3.已知A、C、E 为。上的点，且 伞=丽.(1)如 图 1,求证：fO A E；(2)如图2,A 3为。0 的直径，CDLA8于。，求证：AE=2CZ)；若 BQ=1,A E=4.求 AC的长.【分析】（1）如 图 1,根据垂径定理的推论；述圆心、平分优弧，则垂直平分弦得出结论；，如 图 ；：；作辅助线，

8、构建全等三角形，与（1）同理得：CFYAE，所以也平分这条弦，得再证明_，、7，.2 J i f A F O C D O,可以得加 4E=2C；,设。的半径为r,在 RlZVlFO中，根据勾股定理列方程：=22+（r-1）2,解得：r=RtA J ”1 ADO 4 .根据勾股定理莱出AC的长.-.*【解答】证明：、（1）、如 图 1,延长C。交 4 吩。，：CA=CE,H e。过圆心。，*/f.，：.COJLAE；（2）连 接 CO并延长，交 AE于 F,VC=C E,且 C尸填圆心0,”C.CFLAE,口 .*_ *1*(.X A 1：.AE=2AF,ir*Ar S t：OA=OC,NAOF

9、=NCOD,ZAFOZCDO=90,.1 二：.AAFO沿 ACDO,-.一 f ,；.CD=AF,.：.AE=2CD,1 一设。的半径为r,：A F O 9 4 C D O,.；*.,：.OF=OD=OB-BD=r-1,=4,.*：.AF=2,“V*/A -,ft Rt/AFO OA2=AF1+OF2f.1r A u 二r 22+(r-l)2,.-4,f,jp*K?W、严 .解得：，=|,.、在中，A D=A B -B D=5 -1 =4,C D=A F=2,.AC=y/AD2+C D2=V 42+22=2 娓.【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理的应用，同时还考查.了全等三角形的性质和

10、判定，与勾股、定理相结合，列方程解决向题；解答有关于圆的综吝题时，需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高”一定要注意将所学知识贯穿,起来.4.如图，是圆。的直径，AB=AC,A D交 B C于点E,延长QB到 F,使 B F=B O,连接放.(I )求证：AB2AD,AE；(2)若 4 E=2,ED=4,求 A B 的长；(3)在(2)的条件下，直线以 为。0 相切吗2为什么？【分析】(1)先由AB=AC得到NA8C=NC,.再根据圆周角定理得N C=N Z),然后根据相似三角形的判定方法得到A8ESZA/)5,再利用相似比和比例的性质即可得到结论；,*,*,-(2)利 用(1)曲

11、结论计算；(3)先 在 R t A 4 8 O 中利用勾股定理算出B D 邑4 则 O 8=Q 4=2 8，于是可判断 0A 8 为 等边主角形，得到NABQ=NBAO=60,再计算泄N8AF=30,由此得到NOA尸=/8A O+/B A F=90,获后根据切线后据定理得直线M 与O O 箱切.【葡答】（1）.证明：,AB=AC,；.N A B C-而/C=N Q,：.ZD ZA B C,而 NE48=N8A,J 4 AB A_ _E =，AD AB.AB2=AD-AE；（2）解：连 接 0 4,%图，Q.一,.1.、-y.（二，,：AB1=ADAE,k：.AB2=2 i f Q,J./BAF

12、=30,A ZOAF=ZBAO+ZBAF=60+30=90：,：.CfAAF,.直线项与O Q 相切.【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和相似三角形的判定与性质；“会运用相似比和勾月期 理 进 行 几 何 计 算.5.点 M 在ABC的 8 c 的边上，把以点M 为圆心的0 M 称之为A8C的伴随圆.在ABC中，NBAC=90,AB=4,AC=8,M 是 8 c 边的中点.(1)如 图 1,当 MN_LBC交 AC于点N 时，求 线 段 的 长；(2)如图2,当aABC的伴随圆O M 与AABC 一边相切时，求出他们重叠部分的面积；(3)如 图 3,设伴随圆O M

13、 的半径为R,请直接写出AABC的边与O M 的公共点个数所有可能的情况,并写出相应的R 的取值范围.【分析】(1)求出,8C 的长度，进而求出例6 的、长度；证明ABCs/XMNC,列出比例式即可解决问题.(2)按照分类讨论的数学思想，分别求出当O M 与 AC、A 8相切时。的半径长，,即可解决问题.(3)根据直线和圆相 切、相离、相交时，圆心至 直线的距离4 和圆的半径R之间的数量关系,来逐一如断，即可解决问题.VZBAC=90,AB=4,AC=8,二 f it2 1 4%2 G 80,BC=4 V 5,而点M 为 BC的中点,：.MC=2y15；：MN 上 BC,：.Z N M C=Z

14、A=90，而 N C=N C,A B C s M N dAB AC.,f：.=，而 A8=4,AC=8,MC=2A/5,MN MC:.MN=V5.（2）如图2,M OM 与 AC边相切于点。时 连接MQ,d ，一 4则 MD 1.AC-,而 AB1.AC,*,J.MD/AB,而 8M=CM,：.AD=-C D,M）为A8C 的中位线,：.MD=A B=2,此时。M 与ABC重叠部分的面积1-r1 r=7 T -M D2=2n；2&O M 与 A 8边相切于点E 时，连接ME,同理可求出M E A，此时O M 与ABC重蜃部吩的面积=-M E2=8IT.f,：*ft（3?设O M 的半径为R,则

15、 ABC的边与O 疗的公共点个数所有可能的情况点下：当 0 R 2 而 有。个公共点；当嗔=2 时，有 个窣西.,f-/.当 2V R V 4时，有 4 个公共点；当 R=4 时，有个公共点；7 当 4/?2V时，有没有公式点；.【点评】该题以直角三角形和圆为载体，在重点考查直线和圆的位置关系的判定及其性质应用的同时,还渗透了对勾股/理、相似三角形的判定线其性质的应用等几何知识点的考查；对综合的分析问熟解决问题的能力提向十较高的要 求.6.已知，平面直角坐标系中，直线A B y=-X-鱼 分别交x 轴，y 轴于A、8 两点，一动圆0 C 与 x 轴相切于点M.（1）求N 0A 8的度数；（2）

16、如图，当O C 禧半径为2 时，且O C 与直及AB相切于点H,求点力的坐标；（3）当O C 的半径为2 时，艮0 c 在 x 轴下方与直线AB相切，直接写出点M 的 坐 标（用含，的代数式表示）.【分析】（1）.先根据坐标轴上点的坐标特征求出A 电和小点坐标，可得到O A=Q B=&,从而可判断O A B为等腰直角E 京形，然后根据等腰直对三次形的性质即可得到N0A2%J度数：作 C:钿交 A 8壬,E,作 EJ_x“手 E,理解C、C M,如 图 1 吓艮据切线的性质得O H 工A B,得到四边形CDEM为矩形，再利用iW E 和入C。都是直角三角形得匈AE=2,CD=2 y2,I 则 M

17、 E=2&,然后计算出0 M 的长，从而得到M 点 的 坐 标;，一（3?分类讨论：当用点在x 轴正半轴，作 Cx 轴交A夕于）,作 E_Lx轴于E,.理解C”、C M,如图 2,写（2）一样可湾AE=75E=r,M E=C D=V2r,则 O M A E+M E -Oi4=7+V2r-V2=（V2+1）/-V2,此时用点坐标为:g+l）r-V2,0）;WM点在圆点时，用点坐 标 为 t0,0）；,同样当M 点在。4,上时；O M=O A-A E-V2-（V2+1）r,此时 M 点坐标为（&-（V2+1）r,0）.【解答】解：当 尸 0 时，7-或=0,解 得 后 一 企，则 A 表坐标为（-

18、V2,0）；当x=0 时，y=-.工一四=一混，则 B 总巫标 为（0,-a），则 OA=OB=y2,-所以OA8为等腰直角三角形，.二、,.*,.、所以NOA8=45。：（2）作 CDx 轴交AB于。，作 DE上x 轴于E,理解CH、CM,如 图 1,；O C与x轴相切于点M,与直线A 8相切于点”，O M J j轴，0比LAB,j I.:CD ME,；.四边形CDEM为矩形，:.DE=CM=2,在 RtZsADE 中，二NQA E=/O A 5=45%,：.AE=DE=2：、在,RtZxCD 中，：CH=2,2CDH=ZDAE=45a,.4*J|:.CD=V2CH=2V2,：.ME=CD2

19、y/2,：.OM=OA+AE+ME=&+2+2&=3 b+2,-；.M点的坐标为（-3位一2,0）；（3）当“点/I轴正半轴，.：二 f 作C）x轴交AB于O,作EJ_x轴于E,理解C/、C M,如图2,；O C与x轴相切于点M,与直线AB相切于点H,.oM lx 轴，OH1.AB,.,w.:CD ME,四边形COEM为矩形，/:.DE=CM=r,在 RtZ A）E 中，；NDAE=NOAB=45,：.AE=DE=n在 RtzCDH 中，；CH=r,ZCDHZOAB=45,:t、-n.:,.Z.CD=V2CH=&r,：.ME=CD=y 2 r,：.OM=AE+ME-OA=/-+V2/-V2=（

20、&+1）r-立,；.M点坐标为C（M+坐r-V2,0）；当点在圆点时，,点坐标为（0,0）；当 M 点.在 OA 上时,OM=OA-AE-EM=V2-（V2+1）r,.此时 M 点座标为（V2-（V2+1）r,0）,综上所述，例点坐标为（V2+1）r-V2,0）,（,0,0）,（V 2-（V2+1）”0）.,.【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的优质和等腰直用三角形的判定与性质；理解坐标与图形性箴会运用?募才论的思想解决数学问遁”7.如 图，己知抛物线丫=0?+/-3与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,经过4、B、C三点的圆的圆心M(1,相)恰好在此抛物线的对称轴上，OM的半径为 函

21、.设OM与)，轴交于点),抛物线的顶点为点E.(1)求，的值及抛物线的解析式；(2)求证：4 B D 0探2 B C E；(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与a B C E相似？若存在，请指出点尸的位置，并直接同出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(L)先求出C(0,-3),根据两点间的距离公式，由得 到(1 -0)2+(什3)2=5,解 得m=-l,m i=-5,设A点坐标为(/,0),再根据两点间的距意公式，当盟=-1时，(/-I)2+1(0+1)2=5,蟀得 rf=-1,/2=3,则 4 (-1,-0),B(3,0)；当胆=；.-5耐，(?-1)2+

22、(0 -5)?=夕，解得。=/2=1”不合题意舍去；、.、于是可设交点太y=a (x+1)(X-3),然 后 把(0,-3)代入求出。=1,于是得到抛物线解析式为y=x2,/.f ,-2 x-3；(2)作M _ L C。于H,如图，根据金径定理得到C H=D H,利 用C(0,-3),H (-1,0)得 到D H久”=2,则。(0,1),湃 利 用配方法得到)，=-劣-3=(x-1)2-4,所以(1,-4),接着根据两点间的距离公式计算出C E=V 2,BE=2 后 8 c q 3或，则3 2+赤2=8岛，根据勾股定理的逆定理得AB C E为再角三角形,N B C E=9(T,然后根据相似三角

23、形的判定方法可得BCOS/XBCE；(3)由于以P、4、为顶点的三角形，与A S C E脑似，利用 8 C E的特征痔到以C为直角三角形，R两直角边的比为I：3,然后分类讨论：N AP C=9 0 时，点0电合，得到P点坐标为(0,0)；当/以C=9 0 时，作AP i J _ AC交)，轴于P,如图，证明RI AAOP i Rt AC OA,利用相似比计算出Q P i,得至U P i的坐标；:当N AC P=9 0 时，作C P?_ L AC交y轴于巴，如图,，证 明Rt AC OP 2 Rt AX OC利用加似比计算出A E,得到P 2的坐标.【讪答】解：当曲=0时,丫=以2+儿-3=-3

24、 则C (0,-3),*V M C=V 5；U -0)2+(m+3)2=5,解得 “=-1,m 2 -5,.设A点坐标为,G，0 ,而A/A=西当 m=；1 时，(“-i)2+C 0+1)2=5,解 彳 事“=-1,力=3,.则 A(*-1.*0),B*(3,0)；当-5 时，(L 1)2+(),-5)2=5,解 得 不 合 题 意 舍 塞 .,t.抛物线解析式为y=a (x+l)(x-3),把(0,-3)代入得a l(-3)=-3,解椁。=1,抛物线解析式右y=(x+1)(x-3)2x-3；(2)作 MH_LCD于 H,如卤，:.CH=DH；V G(0,-3),H(-1,0),.：.CH=2

25、,“：.DH=2,：.OD=DH-O H=,f,：.D(0,1),V y=？-2x7 3 X x-1)2-4,.、：.E(1,-4),；，/.：,*CE=J/+(4+3)2=方，B E=J(i、_ 3)2+(一的2=2V5,而-8C=V3Z+32=32,.BCE%直角二角形，ZBCE=90,.O B _ 3_1_ OP 1,BC _ 3V2.CE-VT,_O_B 一 _O_D一 一 ，BC CE.入 BOOs B C E；，(3)存在.以P、A、C 为顶点的二角/与/SBCE相似，二.玖c 为直角三箱形，邑两直角边的比为1：飞，当NAPC=90时，点 P 与点。卷合，此时。点坐 标 为(0,0

26、)；当,/租C=9 0 时，作 AP 其 C 交 y 轴 于 P i,妈图，.：/PA O+N C4O=90,ZPAO+ZAPO=90,(*，?.,4./：.ZC A O=ZA P O -R tzM O P isR 3 c 04,：.OA1=OPOC,d Q )“i t ，*1/1J1Pl的坐标为(O,-)；,3当.NA CP=90时，作 CP2_L.AC交 y 轴于P 2,如图，同样可证明 RlACOP2SRtZXAOC 得到 OC2=OP2 O A,：.OP2=9；底的坐标为(9,2,*【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的定义、而径定理和相似三多形的判定与性质；会利用两点间的距离公式

27、计急段的长.8.。经过坐标原点，且与x 轴交于点A、0 c 1 无轴于点C,且 与 交 于 点 8,已 知 的 半 径 为 2 8，Z 0 m =120.(1)求 8 点的坐标；(2)求经过0、B、A 三点的抛物线的解析式；.(3)在抛物线上是否存在一点尸，使以。和0BA相似？若有，求出P.点坐标；不存在，说明理由【分析】(1)根据垂径定理.由D U L0A 得到0C=A C,再根据等腰三角形的性质由D A=D O,N O D A=120 得到/0C=3(),则可计算由。C=Jo)=g,0 C=y/3 DC=3,所以 C8=O8-DC=6，于z是可得到8 点坐标为（3,-V 3）；（2）由于0

28、C=笈=3,则。或坐标为（6,%）,设交点式，利用待运家数法求由经过0、B、Z 含点的抛就线的解析式；t（3）先证明 。8 和D 48都是等边三角形，则B 0=BA,NA80=120,所以N B O A=/区4。=30,若以。和O8A 相似，则/以。=乙 48。=120,Z P O A =ZBOA=3 0,作 PHJ_x轴于“，如图，可计算出/出=60,在 Rt以，中利用之AP=30,AP=AO=6可计算出A H=PA=3,P H=V3 AHL=3心，则尸点坐标为（9,3V3）然后利用抛物线的对称性点（-3,3日）也满足要求，于是得到满足条件的力点坐标为（9,33）或（*-3,3V3）.【解答

29、】解：（1）.,DCLOA，:.0c=AC,：D A=D O,2 ODA-120。,A ZDOC=3 0，：f.i,f.?f.9,T 99 -1 t ,r ,在 Rt/XODC 中，V OD=2V3,/.D C=O D=V3,，o c=MDC=3,I ；*、V I .|-?.C B=D B -DC=2/3 -4=R,点坐标为（3,-V 3）；.*-y j*.9 1 i（2）：O C=A C=3,，A.点坐标为（6,0）,设经过。、8、小三宣的疝物线的解析式为尸质（.6）,把 B（3,-V 3）A 入得 a*3（3-6）=一标 初得 a=；.经过。、B、A 三 赢 抛 物 线 的 解 析 式 为

30、 产 缗（x-6）竽E；（3）存在：-.一-.；/0 D B =2A D B=60 ,.,-：.D O B和 都 是 等 边 三 角 形，.二 、BO=BA,NA8O=60+60=120。，：.ZBOA=BAO=0 ,.以。和 0/M相似，.,.Z B 4 O=Z A B O=1 2 0 ,/P O A=N 5 O在3 0 ,作轴于，如图，zPAO=no0,/.Z M/=6 0 ,在 R t心H 中，.2APH=30,AP=AO=67：.AH=切4=3,PH=取AH=3 6点坐标为（9,3 V 3）A（9,3 V 3）参于直线x=3的对称点（-.3,3 V 3）也满足要求,【点评】本题考益了圆

31、的综合题：熟练掌糖垂径定理、等腰三角形的，出质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；记住含3 0度的直角三角形三边的关系；理解坐标勺图形性,.9.已知R tZ X A B C中，N A=3 0 ,/C=9 0 ,A 8=1 2,O为射线A8上一动点，经过点C的。O与直线AB相切于点。，交射线AC于点E.(1)如 图1,当点。在边A C上时，求OO的半径；(2)如图2,当C C平分N A C 8,求。的半径；,(3)如图3,当。为线段A B延长线上一点，且CQ=b8C时，则D E的 值 为1 8 (直接写出结果).-【分析】连 绩O D,如 图 1,设OO的半号方r,利用含3

32、 0 度的直角二形三边的关系得到BC=AB=6,A C=V 3 B C=6 V 3,再根据切线的性质得N A O O=9 0 ,在R t A D O中由于.0。=%。，则 r=J(6 V 3-r),即可解得 r=2g：(2)延长CO麦 A8于 F,连结OD,如函2,设。的半径为r,根据切线的性质得/F 。=9 0 ,再喇用角平分线定义得到/4 8=4 5 ,由三角形外角性质有,/8/)C=N 4+/A C D=7 5 ,则21 =1 5 “，所以N 1 =N 2 g 1 5 、，,可计算出/3=3 0 ,/4=3 0 ,于是有阳=下,，接着证明NFCB=/8修到FCH尸 8,所以尸。=今妆=6

33、；在 Rg OQE中，利用含3 0 度的直角三角形三边的关系得到)尸=多，。2；2)尸=竽 ，然后根据(?F=O C+O F得 到 再 解 方 程 求 出 即可；(3)连 结。、OC,作 Z)”_ L A 于H,如 图 3,根据切线的性质得N A D O=9 0 ,再 由 C =8 8 C=6 百得至(j CACD,则N A O C=N 4=3 0 ,于是可计算出NODC=6O-Z A D C=6 0 ,从而细断 O D C 为等边三角形,得到N C O Z)=6 0 ,根据圆周角定理得N=2 N C O =3 0 ,接着 证 明B D=B C=6,然后证明 A 8 C.AADH,利用相似比计

34、算出加=9,最后在R g E D H中却用含3 0 度的邕角三角形W边的关系求D 7【解答】解：(1)连结。，如 图 1,设。的半径为r，V Z A=3 0 ,N C=9 0 ,A B=1 2,；.8 C=豺 8=6,AC=V3C=6V3,.经过点C的。0与直线A B相切于1D,OD AD,_ ,.7 -.N A)O=9 0：”,*.,*.%,.、在 R tZ sA D O 中，/A =3 0 .,A O D=O,即，=；(6 次一厂)，解得 r=2b，即。的半径为2 百；(2)延长CO交 AB于凡，连结如图2,设。0 的半径为r,-:.,经过点c的。m 直线A B相切于点.,.,.：.ODA

35、D,：.Z F D O=9 0 ,:CD 平分2ACB,*A J J：.ZAC D=45,：.ZBDC A+ZACD=15,A Z 1=90：BDC=5：而 OD=OC,./.Z 1 =Z2=15；.,.Z3=30,2 4 2 2CD-Q=30；J:.矶=FC,(，f.A*；4 TE 中“，、O C,作。_L4E于 H,如图 3,经过点C的。0与直线AB相切于，*D/“/r ,C=60 .二.一而。=o c,.：、：./O D C为等边三角形NCOO=6(r ,A1：.ZE=ZCO D=30，2.1.ZABC=Z BDC+Z BCD=60 ,，而/BC=30,A Z BCD=30 ,二 阶=B

36、C=6,JDH/BC,/./A BC AD HfBC AB r1n 6 12-=-，即-=-，DH AD DH 12+6解得DH=9,在 RtzXED”中,V ZE=30,B图2AG H 1【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、,切线性质和等腰三角形的性质；,会利用含3 0度的直角二角形三边的关系和相似比进行几何计算.1 0.如图，在平面直角坐标系中圆0 1的圆心在x轴上，直径O A=2,直线O B交圆0 1于8,且N 8 O A=1 5(1)求直线O B的解析式；(2)求经过。、A、B三点的抛物线=办2+x+c的表达式；j t A JkrT T(3)动 点。从4点出发顺时针在半圆

37、4。上运动，速度为g长/秒，直线8。交x轴 于P,问经过多长1叵【今析】(1).连接8 0 1,可知彳8 0 b 4=3 0 ,过8作8 C J 0 A于点C,可求得8 C=京0C=竽，可求出O C,从而可得出力点而坐标，再利用待定票数法.求出直线0 8的解析式；，可求出。、A点的坐弓，可利用两点击，再把8点的坐标代入可求出抛物线的表达式；(3)因为半径为1,当 尸。=1时，则可知8。目:点P,此时N P O iQ=1 5 0,可求得弧A。的长，再到用速度可求得时间.【解答】解：(.)如 图1,连接8。，:.N8OA=15S,：.ZBOA=2ZBOA30,gME过 3 作 5cLO A 于点C

38、V 0/1=1,：.0 B=,.一 ,一L在 RtAOiBC 中旺束得 BC=I，O1C=7 ；.OC=1+孚，,叵 1 8 点坐标为(T+爱，”,设直线。8 解析式为3=奴，则 有!=(1 +4)k,解得=2 V5，-2 .2，直线OB的解析式为y=K2-V3)x；(2)V0A=2,二 二.(2,0),且 O(0,0),设理物线的解析式为y=a x(x 1 2),把 藕 坐 标 代 入 可%=(y+1)(y-1),解 得。=-2,/.抛 物 线 解 析 式 为-2x(x-2),即y=:-2+4x；如图2,当 P 点在01为侧时；NPOiQ为锐角，此 时 PQVO1Q,当 P 点在01左侧时，

39、2 尸。|。为锐角，此 时 PQVO1Q,.只有当点P 在。1时，P Q=O 1 Q=1,即 8。过。点”此时NQO1A=J亦-ZAOiB=150,一、,15071 57r.4Q的长为：-=,180 6n又Q 点的速度为g 长/秒，W X.V 57r TC.Q点运动的时间用 了一 =7.5(秒)，-一即当时间为7.5秘崎，PQ的长为1.【点评】本题主要考看待定系数法求函数解析式初圆周角定理、弧长的计算等知识的综合应用，掌握待定系数法是求函数解析的常用方法，住(1)(2)中求出3 点的坐 标是解题的关键；在(3)中确定出直线 8Q 的位置蔻解题的关键.1 1.如图，点/是A8C的内心，线段4的延

40、长线交ABC的 外 接 圆 于 点 BC于 点 E.(1)求证：B D=I D；(2)若)=4,A C=8,求 DE 的长：(3)延长/。至点F,使。F=/D 连结8 F,求证：BFVBI.【分析】(1)妻沫明)=8。，,只要求得NB，D=N/8。即可；(2)根据已知及相似三角形的判定方法得到A a)s ZiB Q,由相似三角形的性质；对应边的比值相等即可求出QE的长；(3 由(1)可知/)=8。，所以8。=)=。尸，B P B D I D,所 以 :角 形 B f7是直角三角形，进而可/4证明BFVB1.【解答】(1)证明：.点/是ABC的内心，：.Z B A D=Z C A D,kABI=

41、ZCBI,一：ZCBD=ZCAD,：.ZBAD=ZCBD,：./B I D=NABI+NBAD,：/A B I=Z C B I,/BAD=N CAD=ZCBD,/Z.1BD=NCBHNCBD,v.y+9/.ZBI D=ZI BD,：.I D=BD；.、.t.(2)解：,:NBADqNCBD 三 NEBD,Z D=z/),:4ABDS.XBED,:BD：DE=ADz BD,：/D=BD=4,4 8,-A4：DE=8：4,：*DE=2；j 1(3)；I D=BD,DF=1D,:BD=I D=DF,.，BP BD=1/F,-.-一.BF/是直角三角形，：.BFBL【点评】本题考查了二角形的内心的性质

42、，以及等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判鬼与性质，直 角 :角旋的判定和性质，证明ABO SBE。是解题关键.1 2.如图，O O i与)，轴切于点C(0,-2),与 x 轴负半轴交于A、8 两点，4(-1,0),双曲线尸物点。，点 P 在双曲线上，PEJ_x轴，垂足为E,求PE。的面积.【分析】作 O H J A 8 于，如图，设。01的半径为“由于。01与 y 物切于点C,根据切线性质辞OC fjTrW f.y 轴，。4=/易判断四边形01。0，/城形，所 以 Oi=OC=2,O H=O C=r,在 RtAAO由 中，利用勾股定理得到22；()2=凡 解 得 片|,则得到点O 的坐标为

43、(-1,-2),根据反比例函莪图象上点而坐标特征得k=5,即反比例函数解析式为产然后根据及比例函数k 的几何会义即可得到 一 /r .A，jL vSAPEO.-.-，【解答】解：作。田_LA8于 H,如图，设。0的半径为八：Q O i与 y 轴切于点C,.OiC_Ly 轴，0 C=r,四边形01co”为矩形，：.6IH=OC=2,OH=OC=；,在 RtaAOiH 中，OiA=r,AHO H-O A r-J r A,/OH2+AH2OA2,f t -.z.22+(r-1)2=r,解得 r=中,点。的坐标为(-2),、2.；双曲线y=:过点01,人 .1 r：.k=-|x (-2)=5,/%,丁

44、f/即反比例函数解析式为产1 3.如图，圆M与），轴相切于点C,与x轴变于A （2-相，0 ）、B（2+V3,0）两点，点。是圆M上一【分析】作M E L x轴于E,连接M C,.根据垂径定理，由例E J _ A 8得A E=6 E=,则。E=OA+A E=2,再根据切线的荏质得到M C L y轴，所以四立形M E O C为矩形，于是得蓟M C=O E=2,再连结OM,MQ,K点为O M的中点，-连结NK,C K,先根据勾股定包计算出OM=V5,.根据直角三角形斜边上的中线性质 得C K=竽,易嗝:N K为 OQ M的中位线；则NK=%M=J,根据3角-形三边的关系得到，当/C KN *r *

45、=1 8 0。时，CN 最大彳此时 C V=C K+N K=+i.【解答】解；女 眶1.作M E J _ x轴 于Z,连接M C,.K(2-6，0)、点 8 (2+VT,0),.A 8=2 6，9：ME ABt,:,A E=B E=OE=OA+AE=2-y3+V3 =2,，,/O M与y轴相切于点C,.-U I.轴，.四边形M E O C为矩形，;(,：.MC OE=2,./,即O M的半径为2,连 结 OM,MQ,.K 点为OM的中点，连 结 怦，C K,如图2,图2V OC=1,MC=2,OM=V l2+22=V5,CK=拳 点为。的中点.，p 一 NK为OQM的中位线，1:：.：.NK=

46、：QM=1,f 1 :点。是。M 上一个动点，fe-5 当NCKN千180时，CW最大，此时CN=CK+NK=苧+1,即 CN的最大值为一+1.【点评】本题考查 圆的嫁合题：熟练掌握垂径定曲、圆周角定理和切线的性鼐 会利用勾股定理计算线段的长；理解宓标与图形的性质；掌握三瓦形中位线定理和矩形的判是以及性质，题目的综吝性较强，对学生的解题施力要求很高，：Jf.夕，1 4.如 图(1),在平面直角坐标系中，直线y=V Ir+6与两坐标轴分别交于A、8 两点，M 为 y 轴正半轴上一点，O M 过 A、B 两点，交 x 轴正半轴于点C,过 B 作 x 轴的平行线/,N 点的坐标为(-10,5),QN

47、 /,与直线/相切于点D(1)求/A B。的度数及圆心M 的坐标；(2)若0 M 保持不动，O N 以每秒1个单位的速度沿直线/向右平移，同时直线4B 沿 x 轴负方向向左匀速平移，当。N 第一次与0 M 相切时，直线AB也恰好与O N 第一次相切，在这个过程中，求直线AB每秒平移了多少个单位长度？(3)如 图(2),P 为直线/上的一个动点，且在y 轴的左侧，过 P 作 A 8 的垂线分别交线段8C、x 轴于Q、R 两点，过尸作x 轴的垂线，垂足为S(S 在 A 点的左侧)，当 P 点运动时，BQ-AS的值是否改变？若不变，请求其殖；若改变，请求其值变化的范围.【分析】(1)由直线“8方程可

48、知A,B两点的坐标，.在Rt A A O B中利用V，角函数可求得N A B O,设GM交y轴负半轴于建M进一步可求得8 N的性度，可求得M的坐标二 工 ,(2)由条件可求得ON的圆心移动的距离，可求得其移动的时间，进一步求出直线A 8移动的距离，则可求得其平移的速度；(3)由条件可证明C R=C Q,且/P RS=3 0 ,可求得P S及 P R,S R的长度，且可证明 A 8C为等边.三第形，所以得出与-B Q为比值.【解答】解：(1)直线y=V3.v+6中令x=0,可得y=6,令y=0可得呼=-2 V3,：.0A=25 0 8=6,：Aan Z A B O=器=孚4 3 0=3 0 ,如

49、图 1,连接仞A,!l M A=M B,且 O M=O 8-_ M 8=6 -加，在R t A A O M中，曲、勾股定理可得A M2=A0r+(6 -M A)2,*解得M 4=4,则0 M=2,所以M坐 标 为(0,2)；(2)N点坐标为(-1 0,5)；且 到x轴的距亭等于。B,故0N的半径为1,当ON与OM第一次相切时，即在y轴 左边与。时相外切，如图2,连接用M 过N作NE J _ x轴，过M 作N E L N E,交于点E,;则由两圆相外切可知 M N=4+1=5,NE=5-2 q3,由勾股定理可求得M E*4,即此时N点的坐标为Q-4,5),；*,；所以ON的移动距离为-4-10)

50、=6,其移动速度为每秒1个单位长度，所以.O N移动的时间为6秒，-A设宜线A 8移动后与x 轴、），轴相交于点A.、B：由题意可知宜线4 B 为两圆的公切线，设切点为 m -j r.，.，r/3=A B,且NBAO=60二.ABC为等边三角形，?.ZABC=600,ACBC,：PRAB,二 一,r -*,.：.ZBQC=ZCQR=30,ZARP=30,工 CR=CQ,：.BQ=BC-C Q=At-CR=4V3-CR,:PSLSR,；、:,PS=0B=6,Mr*5 d:,PR=2PS=12,在 Rt/PSR中前求得S R=6：.SA=SR-AC -C/?=6V3-473-C/?=2V3-CR,