2021年中考数学压轴题讲次01 创新题型.pdf

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1、专题01创新题型模块一：定义应用例 1.定义区为不超过X的最大整数，如3.6=3,-3.6=-4.对于任意实数x,下列式子错误的是（）A.x=x（x 为整数）B.0 x-x lC.x+yx+D.n+x=n+x （为整数）【难度】【答案】C.【解析】由反例3.8+2.7=6.5=6,3.8+2.7=3+2=5 可知 C 错误.【总结】本题考查取整函数田的定义及应用.例 2.在平面直角坐标系xOy中，对于点尸（x,y）和。（x,y）,给出如下定义：若则称点。为点P 的“可控变点”.如 果 点（1,-2）为点M 的可控变点，则点M 的坐标为.【难度】【答案】（-1,2）【解析】由题意得，当x o 时

2、，y=-y，且 x 不变，所以当工=-1,时 歹=2,即点M 坐 标 为（一 1,2）.【总 结】把 握 好“可控变点”的定义，找 出），与y两者之间存在的关系.例 3.定义一种新运算：x*y=y,如 2*l =2+j!=2,则（4*2）*（1）=【难 度】【答 案】0.【解 析】先 计 算（4*2）=4+j x2 =2,再 计 算2*（-1）=2 +（；）X2=0.【总 结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序.例4.已知J =X+1,=一天+2 ,若 规 定y=,；（，则y的 最 小 值 为（）m +nin1；2当 l .所 以y的 最 小 值 是1,故 选B.【总 结】考查分段函数求最值的

3、问题.例5.定义运算“*”：规 定x*y=o r+缈（其 中 、b为常数），若1 *1 =3 ,1 *（-1）=1,1*2=.【难 度】【答 案】4.【解 析】把1*1=3,1*（T）=1代入运算法则，得a2：，解得:所以 1*2=2 X 1 +1 X 2=4.【总 结】根据新运算，求 出a、8的值是解答本题的关键.例6.对 于 实 数?、n,定 义 一 种 运 算 *为：m*n =m n+n .如 果 关 于x的方程x*（4*x）=-_ L有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是.【难 度】【答 案】0.【解析】根据运算法则，(a*x)=or+x,x*(or+x)=x(or+x)+or

4、+x,整理.得（。+1）/+（。+1）苫+工=0,此方程有两个相等的实数根，Q+1 工 0则1,、2,、，解得：卬=，%=-i（舍），所以a=o.U=（a+l）-（a+l）=0【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行求解，注意二次项系数不能为零.例 7.（2020黄浦区一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形力8 8 中，对角线8。是它的相似对角线，N AB C=70,BD平分N 4B C,那么ZADC=度【答案】145【分 析】先画出示意图，

5、由相似三角形的判定可知，在 A A B D 和A D B C 中，已知ZA BD=ZC BD,所以需另一组对应角相等，若/A=/C,则4A B D 与A D BC全等不符合题意，所以必定有NA=NBDC,再根据四边形的内角和为360。列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知/ABD=NCBD,ABD与ADBC相似，但不全等，.ZA=ZBDC,ZADB=ZC.XZA+ZABC+ZC+ZADC=360,A 2 Z ADB+2 Z B DC+Z ABC=360 ,A ZADB+ZBDC=145,即 NADC=145.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.例&（2020杨浦区一模）.在方格纸中

6、，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请在边长为1个单位的2x3的方格纸中，找出一个格点三角形 D E F.如果OEF与相似（相似比不为1）,那么OEF的面积为.【答案】1:【分析】根据小正方形的边长，分别求出口A B C 和口。后 尸三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可.【详解】如图，V AB=,BC=y2 ACy/5A AB.BC A C-T yT,:D E=B EF=2,DF=M:DE:EF:DF=垃:2:M =1:0：小：.AB-.C AC=DE EF DF：.JABC-GDEFS DEF=x 2 x l=l故答案为：1本题考

7、查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式,熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.例 9.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图，在 R/AABC和RtAACD中,ZACB =Z A C D=9 0,点。在边8 c 的延长线上，如果8 c =O C=3,那么A 48c和AACO的外心距是【难度】【答案】3.【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以A 4 B C 和 A4CD的外心分别为45和 4）的中点，这两个三角形的外心距即AM步的中位线，长度是：8。=3.【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线.例 1 0.定义。，b,c 为函

8、数 =以 2+法+。的“特征数”.如：函数y=/+3 x-2 的“特征数”是 1,3,-2 ,函数y=-x+4的“特征数”是 0,-1,4 ,如果将“特征数”是 2,0,4 的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是【难度】【答案】y=2x2+.【解析】由题意得“特征数”是 2,0,4 的函数解析式为y=21+4,向 卜平移3个单位可得新函数的解析式为：y=2 x2+l.【总结】特征数口，b,c 即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题.例 1 1.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，口 C的

9、半径为r,点尸是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点户为射线C 尸上一点，满足C R T 产=尸，则称点尸为点尸关于口 C的反演点.如 图 为 点 P及其关于口 C的 反 演 点 户 的 示 意 图.请 写 出 点 0）关于以原点。为圆心，以 1 为半径的口 O的反演点M 的坐标.【难度】【答案】（2,0）.【解析】由反演点的定义可得O M V O M =r2.即9 M =12,解得：O A T =2,又点M 在x轴上，所 以 点 的 坐 标 为（2,0）.【总结】掌 握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系.例1 2.如图1,对于平面上不大于9 0 的N M O N ,我们给出如下定义:如

10、果点尸在N M O N的内部，作PF LON,垂足分别为点E、F ,那么称P E +P尸的值为点P相对于N M O N的“点角距离”，记为d（P,N M O N ）.如图2,在平面直角坐标系X。中，点尸在第一象限内，且点P的横坐标比纵坐标大1,对于40），满足d（P,N xO y）=5,点尸的坐标是.图2【难度】【答案】（3,2）.【解析】过点P分别作轴，P 3 J _ y 轴，.点尸在第一象限内且横坐标比纵坐标大1,.设R 4 =a，则 P B=a +l，d(P,Z.xO y)=5,可得：PA+P B=5,即 a +a+l=5,解得：a=2,所以点P的坐标为(3,2).【总结】本次考查“点角

11、距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标.模块二：阅读理解例 1.一 组 数 1,1,2,x,5,y,，满 足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表 示 的 数 为.【难度】【答案】8.【解析】由题得，x=l+2=3,y=3+5=8.【总结】本题难度不大，运算也比较简单.a b例 2.四个数a、b、c、d排列成，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:c da b=ad-he.c dx +3 x-3若=1 2 ,则 x 二 _ _ _ _ _ _x-3 x +3【难度】【答案】1.x +3 x-3【解析】由运算法则得、=(X+3)2-(X-3)2,整理得：1 2X

12、=1 2,解得：x=l.x 3 x +3【总结】由运算法则整理，再解关于X的方程即可.例 3.对于两个不相等的实数4、h,我们规定符号m a x a,耳 表 示 a、6中的较大值,O y _1_ 1如：m ax 2,4 =4,按照这个规定，方程m ax x,=的 解 为()A.1-7 2B.2-A/2C.1 +夜 或 1-夜D.1 +0 或 1【难度】【答案】D.【解析】当尤 。时，maxx,-x =x,解方程x=,得：x=l V 2 ,所以x=l+应；,、9 r4-1当 x+(x+2)=2 夜,解得：为=0,X2=-4,所以圆心5的坐标为(0,5)或(-4,1).【总结】本题考查了“学生圆”

13、的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系.例1 0.当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如 果U Q、U。半径分别3和1,且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是.【难度】【答案】2 V d 3.【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得2 V d 4,当小圆的圆心恰好在大圆上时,d=3,所以内相交的圆心距取值范围是2 V d 3.【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义.模块三：规律探究例1.观察下列各数：1,-按你发现的规律计算这列数的第6个数为3 7 1 5()A.史 B.第 C.1 D.更3 1 3 5 7

14、63【难度】【答案】C.【解析】根据题意，可知规律为上，故第6个数为：,化 简 为 故 选C.2-1 63 7【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律.例2.按一定规律排列的一列数：2 1 22,2 25,28,2，.若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、a z满足的解析式是.【难度】【答案】xy=z.【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以取=z .【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律.例3.在平面直角坐标系中，有三个点A(1,T)、B(-1,T)、C (0,1),点P(0,2)关于点A的对称点为 ,关于点2的对称点为鸟，鸟关于点C

15、的对称点为按此规律，继续以点A、B、C为对称中心重复前面的操作，依 次 得 到 点 巴，兄，则点鸟3 7的坐标为()A.(0,0)B.(0,2)C.(2,-4)D.J,2)【难度】【答案】C.【解析】由题意得 =/=9 0 ,又 C HU B,.四边形/O C”为矩形，：.AD=CH=2a,CD=AH,：D C=AD,：.AH=CD=2a,由题意得，12a+5a=17,解得，4=1,:AD=CD=AH=12,B H=5,在.RtZCH B 中，BC=J,pj2+B H 2=13,，四边形 4 8co 的周长=12+12+17+13=54,CE是梯形48C。的“等分周长线”，点E在上，：.AE=

16、l+3-2 7=3,：.EH=2-3=9,由勾股定理得，E C=qC F I2 +E 口2 =1 5.8 C E 的周长=1 4+1 3+1 5=4 2,故答案为：4 2.3.（2 0 2 0 嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角N a与/月 满 足/。=2/夕，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等【解析】当N a为底角时，用内角和公式求得/夕=3 6,此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值乂 手；当当/a为顶角时，用内角和公式求得/夕=4 5。，此时为等腰直角三角形

17、，腰长与底边长的比值也。2【答案】正或入12 24.（2 0 2 0 长宁二模）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，己知圆的半径长为5,这个圆的一个联络四边形是边长为2、石的菱形，那 么 这 个 菱 形 不 在 圆 上 的 顶 点 与 圆 心 的 距 离 是.【分析】先根据题意画出图形，连 接 8。、OD,设根据4 5 2-/序=82-。序,列出方程，求出x,再根据O C=O/-/M-CM 计算即可.【解答】解：根据题意画图如下：连接8D,与/C交与点例,.四 边 形 是 菱 形，A AAMD=ZDMC=W,ZACD=ZACB,CD=CD,AM=CM,

18、：.DM2=AD2-AM2,设 AM=x,则。序=(2 7 5)2-?,连接 OZ)、OB,在0 8 和OC8中，0D=0B oc=ocCD=CB:.OCD冬OCB CSSS),:.匕 OCD=4OCB,：.ZACD+ZOCD ZACB+ZOCBSO,.o c 与/c 在一条直线上，:.丛OMD是一个直角三角形，OM=OA-AM=5-x,：.DM2=OD2-0 序，=52-(5-x)2,(2泥)2-X2=52-(5-x)2,x=2,：.AM=CM=2,：.OC=OA-AM-CM=5-2-2=1.故答案为：1.5.(2020青浦二模)小明学习完 相似三角形一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相

19、似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似.他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线.如 图 1、图 2,直线CG、DH分别是两个不相似的RtZABC和 RtaDEF的相似分割线，CG、D H分别与斜边AB、EF交于点G、H,如果aBCG与DFH相似，AC=3,AB=5,DE=4,DF=8,那么AG=cD图1图2【分析】先由勾股定理得出B C 的值，再由 B C G s a D F H列出比例式，设 A G=x,用含x的式

20、子表示出D H；按照相似分割线可知，ACCSDHE,但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x 值即可.解：V R t A A B C,A C=3,A B=5,.由勾股定理得:B C=4,/B C G A D F H,.BG_BC丽 一 市 已知 D F=8,设 A G=x,则 B G=5-x,.5-x 4DH 8.D I1=1 O-2 x,/A B C G A D F H,：.NB=/F D H,Z B G C=Z C HF,；./A G C=ND HE,：/A+NB=9 0 ,Z E D H+Z F D H=9 0 ,；.NA=NE D H,A

21、A G C D HE,.AG=ACD H-D E)又 D E=4,.x _ 310-2X i解得：x=3,经检验，x=3 是原方程的解，且符合题意.*.AG =3.故答案为：3.6 .（20 20 杨浦二模）定义：对于函数y=f（x）,如果当aW x W b 时，且满足-机=左（6-。）“是常数），那么称此函数为 级函数”.如：正比例函数y=-3 x,当 1 WXW 3 时，-9 WyW-3,则-3 -（-9）=左（3 -1）,求得左=3,所以函数 y=-3 x为“3 级函数”.如果一次函数y=2x-1 （1 WXW5）为“级函数”，那 么 的 值 是.【分析】根据一次函数y=2x-1（l W

22、 x =2，CD =x,则 8 C =&，在 R fC M B C 中，AC=2x,8 C =瓜.A当NA 为较小锐角时，ta n 4=券；2当NA 为较大锐角时,t a n*3【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论.9.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”.现有两个全等三角形,边长分别为3 c m、4 c m、5 c m.将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0,那 么“奇异中位线”的长是 c m.【难度】【答案】-1 0【解析】如图，将两个全等的直角口A 8 C 与 口 际 的斜边A C与 OF重合，拼成凸四边形ABCE,A

23、 C与 8 E交于点O,M 为 A C的中点.4 8 C 丝 D F,易证 A0 _L 3 E.9在 R fl l AO B 中，AO-AB,cos Z B A O-,|5 5 9 7因为_=所以OW=A M-Q4=2 _ 3 =.2 2 2 5 1 0即奇异中位线的长是需7.【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形.10.如果一个二次函数的二次项系数为1,那么这个函数可以表示为y =/+px +q,我们将小，编称为这个函数的特征数.例如二次函数y =-4 x +2 的特征数是 T,2,请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2,3,将这个函数的

24、图像先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为【难度】【答案】6,8 .【解析】特征数是 2,3 的二次函数为y =Y+2 x +3,即 y =(x+i y+2,将其向左平移2个单位，再向下平移3 个单位后得到的二次函数为y =(x +3)2-l,即 y =Y+6 x +8,所以特征数为 6,8 .【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移.1 1 .如图1,点 P是以/为半径的圆。外一点，点户在线段。尸上，若满足=/,则称点尸是点P关于圆。的反演点.如图2,在 R r&A B。中，ZB =9 0 ,AB=2,B0=4,圆 O的半径为2,如

25、果点4、B分别是点A、B关于圆O的反演点,那么AB的长是.【难度】【答案】手.【解析】由反演点的定义，可知:OASX)A=r2,OBVB=r ,则。4 04=080 ,即又 N O =NO,可证 OA3 S O8 4,OB OA.OB A B 即OA AB壶=等，解得：AB，咚【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质.1 2 .正方形A4 Go,2c2G,A B 3c 3G,，按如图所示的方式放置.点A,4,A,和点G，c,C 3，分 别 在 直 线+分(4。)和 x轴上，已知点B|(1,1),B2(3,2),则点线的坐标是，点纥的坐标是【难度】【答案】(6 3,32)，

26、(2-1,2-).【解析】由A (0,1)、4 (1,2),可求得直线解析式为y =x +l.可求得A (3.4)、B3(7,4),4(7,8)、B4(1 5,8),人(1 5,1 6)、纥(31,1 6),A (31,32)、Bh(6 3,32),.,按照此规律可 得 纥(2-1,2 T).【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律.1 3.对于平面直角坐标系X。)，中的点P (a,b),若点尸的坐标为(a +，ka+b)(其中左为常数，且 火 工0),则称点户为点P的“左属派 生 点 例如：P(1,4)的“2属派生点”为 产(1+3,2 x 1+4),即9(3,6).若点P

27、的“左 属派生点”产的坐标为(3,3),2请写出一个符合条件的点尸的坐标：.【难度】【答案】(2,1).【解析】由 题 意 得+：=3,整理得：+所以&=1,1 ka+b=3ka+b=3 i只要满足a +b=3即可，可取点尸(2,1).【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出Z 的值，答案不唯一.14.如图，正方形ABCO的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACE凡 再以对角线AE为边作第三个正方形AEG”，如此下去，第 九 个 正 方 形 的 边 长 为.【难度】【答案】【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为0,第三个正方形的边长为2,依次规律，第个正方形的边长为【总结】本题考查了几何图形背景卜线段长度上存在的规律.