2021年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（三模）.pdf

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1、2021年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（5月份）（三模）一、单 选 题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合M =1,2,3,4,5,6,N =x R|2W x W 6,那么下列结论正确的是（）A.MC N 是 M B.N 窿（M C N）C.M U N =N D.M C N =M2.设 x,y R,则且y 2 2”是“/+丫2 2 8”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在 10,12小时内的人数为（）4.函数丫 =,（0。1）的图象的大致

2、形状是（）5.已知三棱锥A-B C。的四个顶点A,B,C,。都在球。的表面上，B C LC D,A C 1平面且A C=2v L B C =C D=2,则球。的表面积为（）A.4兀 B.8兀 C.16兀 D.2V2T T6.已知抛物线看/=y的焦点/与双曲线 一 忘=l(a 0,b 0)的一个焦点重合,且点尸到双曲线的渐近线的距离为4,则双曲线的方程为()A.E =1 B.二一日=1 C.工 一 =1 D.廿一日=19 16 16 41 41 16 9 167.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递增，贝i j()A./(-3)/(-l o g313)r(20 6)B.

3、f (-3)f (2。4 /(-l o g313)C./(20-6)/(-l o g313)/(-3)D.f(20 6)/(3)成立；存在常数7力0,V x G R恒有f(x +7)=/(x)成立；/(x)的最大值为平；y =f(x)在 弋翼上是增函数.以上命题中正确的为()A.B.C.D.9 .已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当xe l,3),/(x)=I nx,若在区间 1,9)内，函数g(x)=/(x)-a x有三个不同零点，则实数。的取值范围是()A (等镇 B.(嗫 勺 C.D.昼 年)二、单空题(本大题共5 小题，共 25.0分)10.已知复数z =(l +i)(l +2

4、i),其中，是虚数单位，则z的模是.11.(x +1)(%-1)5展开式中含/项 的 系 数 为.(用数字表示)12.已知直线/：2 x-y-2 =0,点尸是圆C：(x +(y =4上的动点，则点P到直线/的 最 大 距 离 为.13.已知b都为正实数，且;+六1，则a +*总的最小值为一14.在矩形A BC。中，A B =2,A D=1,边D C(包含点、C)的动点P与C 8延长线上(包含点B)的动点Q满足|前|=|苑|，则 可 所 的 取 值 范 围 是 .三、多空题(本大题共1 小题，共 5.()分)15 .已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回

5、地依次取出3个小球.则3个 小 球 颜 色 互 不 相 同 的 概 率 是 若 变 量 为取出3个球中红球的个数，则 的数学期望E(f)为_(2)一四、解答题(本大题共5 小题，共 60.0分)第 2 页，共 19页1 6.在4 4BC中，内角 A、8、C 的对边分别为 a,b,c,y/lcosCacosB+bcosA)+c=0.(I)求角C的大小；(H)若&=e，b=2.求:(团)边长c；(回)sin(2B C)的值.1 7.在如图所示的几何体中，四边形ABC。是菱形，AOVM是矩形，平面4DNM1平面ABCD,DAB=p AD=2,AM=1,E为 AB 的中点.(I)求证：AN平面MEC；

6、(n)求ME与平面MBC所成角的正弦值；(HI)在线段AM上是否存在点尸，使二面角P E C-D的 大 小 为 若 存 在，求出4尸的长；若不存在，请说明理由.1 8.如图，在平面直角坐标系必)，中，已知椭圆C$+=l(a 6 0)的离心率e=5左顶点为4(4,0),过点A作斜率为k(/c#0)的直线/交椭圆C于点。，交y轴于点E.(1)求椭圆C的方程；(2)已知P为AO的中点，是否存在定点。，对于任意的k(kHO)都有。P J.E Q,若存在，求出点。的坐标；若不存在说明理由；(3)若过。点作直线/的平行线交椭圆C于点M,求生zk萨的最小值.x1 9.已知等比数列 时 的前项和为5,公比q

7、0,S2=2 a2-2,S3=a4-2,数列an满 足=4瓦,nhn+1-(n+l)bn=n2+n,(n E N *).(1)求数列 an的通项公式;(2)证明数列第为等差数列;(3)设数列%的通项公式为：Cn=一 竽,n为奇数空,n为偶数、4,其前 项和为，求心公第4页，共19页2 0.己知函数/(x)=工，9(%)=差+一 1,(1)当。=-1,b =0时，求曲线y =/(%)-g(%)在 =1处的切线方程；(I I)当b =0时，若对任意的/(%)+g(x)N 0恒成立，求实数。的取值范围；(山)当a =0,b 0 时，若方程/(x)=g(x)有两个不同的实数解与，%2。1 2.答案和解

8、析1.【答案】A【解析】解：集合M=1,2,3,4,5,6,/V=x e/?|2 x 2,且y 2 2 ，则“/+y 2 2 8”；反之不成立，如取x=0,y=3.因 此“%2,且y 2 2”是+丫2 8”的充分不必要条件.故选：A.若“x2 2,且y 2 2 ，则+y2 8”；反之不成立，如取久=0,y=3.即可判断出.本题考查了充分必要条件的判定，考查了推理能力，属于基础题.3.【答案】8【解析】解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在 10,12 小时内的频率为：1 一 (0.03+0.06+0.18+0.14)x 2=0.18,二每周锻炼时间在 10,12 小时内的人数为：200 x 0

9、.18=36.故选：B.由频率分布直方图求出每周锻炼时间在 10,12 小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在 10,12 小时内的人数.本题考查频数的求法,考查频率分布直方图等基础知识,考查运算求解能力，是基础题.4.【答案】D【解析】第 6 页，共 19页【分析】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键.分x 0与x 0 时，|x|=x,此时y=a*(0 a 1)；当x 0时，|x|=x,此时y=ax(0 a 1),则函数y=篝(0 a,DC u 平面 BCD,AC IBC,AC 1 D C,又已知 BC 1 DC,：.CA.CB、CO两两互相垂直，三棱锥4-BCD

10、可以扩充为以AC,BC,QC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线,4R2=AC2+BC2+CD2=16,R=2,.球。的表面积为4TTR2=167r.故选：C.6.【答案】D【解析】解：抛物线系 2=y 的焦点坐标为(0,5),2 2双曲线京-标=l(a 0,b 0)的一条渐近线的方程为by+ax=0,抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4,I=b=4,即b=4,y/a2+b2,*c 5 a=3,双曲线方程为：-=1.9 16故选：D.确 定 抛 物 线=y 的焦点坐标、双曲线1i(Q o,b 0)的一条渐近线的方程,zua”b利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4,求 出 心”，即可求出双曲

11、线的方程.本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.7.【答案】C【解析】【试题解析】第8页，共19页【分 析】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，指数函数与对数函数的综合应用，属于基础题.根据题意，由函数的奇偶性可得/(-3)=/(3)/(-l o g313)=/(l o g313).又由2。6 2 l og313 l o g32 7 =3,结合函数的单调性分析可得答案.【解 答】解：根据题意，函数/(x)是 定 义 在R上的偶函数，则-3)=3),/(-l o g313)=/(l o g313),有2。6 21=2 l o g313 l o g32 7 =

12、3,因为/(X)在(0,+8)上单调递增，所以/(2 6)_10 g 3 13)0,解得Q 1.mil 匕 25.1.25(a-l)一、则 a+z +=a +H +-=/(a)，,r、q 1,25a2-2 a(a-l)(a-2)(a2+5a-5)(a2-5a+5)/=1 -E+-=-当a=，/)=平 时，/(a)取得最小值，f(a)mm=9.法 2：-+=1 所以ab=a+b,且工=1 a b a b所以 a+至=a+b(l2)+至=(a+b)+二 一 1 2 2 I(a+b)x -1 =9,当且仅当a+b=5等号成立，故答案为：9.根据，都为正实数，且三+；=1,得 二 号。，解得a 1.将

13、原式转化为关于aa b Q-i的函数，求导后处理即可.本题考查了导数在求函数最值上的应用，属于中档题.14.【答案】后,3【解析】解：如图所示，设P(x,l),(?(2,y)(0 x 2,-2 y A x=|y|,x y PA=(-x,-l l)，PQ=(2-x,y-1)，则 可 VQ=-x(2-x)-(y-1)=x2 2x y+1=x2-x 4-1=(-1)2+；=/w 二当X=|时，则/(X)取得最小值:.又f(0)=1，f(2)=3,/(x)的最大值为3.二则港可的取值范围是5,3.故答案为：3.如图所示，设P(x,l),Q(2,y)(0 W x S 2,-2 Wy W0).由于|前|=

14、|的可得|x|=y,x=-y.可 得 对-P Q=x2-2 x-y +l=x2-x+l,再利用二次函数的单调性即可得出.本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与第 1 2 页，共 1 9页计算能力，属于中档题.15.【答案】535【解析】解：箱中装有10个不同的小球，其中2 个红球、3 个黑球和5 个白球，现从该箱中有放回地依次取出3 个小球，基本事件总数n=103=1000,3 个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m=103-（23+33+53+C fx 22x 8 +Cf x 32 x 7+x 52 x 5）=180,则 3 个小球颜色互不相同的概率是P

15、=T=墨=5；若变量f 为取出3 个球中红球的个数，则f （n,4），的数学期望E（f）=3 x V =|.故答案为:春|.基本事件总数n=103=1000,3 个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m=103-（23+33+53+Cf x 22 x 8+Cf x 32 x 7+Cf x 52 x 5）=1 8 0,由此能求出 3 个小球颜色互不相同的概率；若变量f 为取出3 个球中红球的个数，则f （珥总），由此能求出f的数学期望E（f）.本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题.16.【答案】解：（I）由已知及正弦定理得Vcos

16、C（si?McosB+sinBcosA）+sinC=0.（2 分）6coscstnC +sinC=0,cosC=一争v 0 C 7T,.（4分）,=牛.（5分）（n）（团）因为Q=奁,b=2,。=拳由余弦定理得 c?=a2+b2-2abcosC=2+4 2 x 痘 x 2 x （j）=10,A c=V10.（7分）（助 由 肃=焉=$讥 8 =?.(9 分)因为8为锐角，所以cos B=.（1 0 分）sin2 B=2 x x =cos2 B=c o s2 -sin25 =1.(1 2 分)5 5 5 5sin(2 B C)=sin2 B cosC cos2 B sinC=g x(-殍)一|x

17、?=率.(1 4 分)【解析】（/）利用正弦定理、和差公式化简即可得出.（）（团）因为a=/,b =2,C =利用余弦定理即可得出.（团）由，_ =_L=sin B =在，可得c o s8 再利用倍角公式、和差公式即可得出.sinC sinB 5本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.1 7.【答案】（本小题满分1 3 分）证明：（I）C M 与 B N 交于F,连接E 尸由已知可得四边形B C N M是平行四边形，所以是 BN的中点.因为E是 A B 的中点，所以4 V E F.（1 分）又E F u 平面M E C.（2 分）4 N 平面M

18、E C.（3 分）所以A N 平面MEC.（4 分）解：（口）由于四边形A B C。是菱形，DA B =p E是 AB的中点，可得D E 1 A B.又 ALW M是矩形，平面4 D N M J 平面A B C。，平面4 D N M n 平面A B C D =4 D,D N _ L 平面Z 8 C D.(5 分)如图建立空间直角坐标系D -xyz,则。(0,0,0),E(V X0,0),C(0,2,0),M(V 3,-1,1).8(百,1,0),刑(0,0,1)设平面MBC的法向量为沱(=O i，yi，Z i),M B=(0,2,-1)，B C =(-V 3,l,0).(M B-Th=0 (2

19、 y-z=0 应石=0 -伍+y=o(1,V 3,2 V 3).(6 分)M E=(0,1,-1).(7 分)c o s丽,/焉柒券-咚笺分)第 14页，共 19页 ME与平面MBC所成角的正弦值?.（9 分）（HI）设P（百,一1,八），CE=（V3,-2,0）.EP=（0,-1,/i）设平面PEC的法向量为济=（x.y,z）则像某上悖+谓=。令，=百 温=3,同向（1。分）又平面AOE的法向量无=（0,0,1）,c s=鼐=扁=：Q I分）解得，卜 罟.（12分），V 3/7、41,7二 在线段AM 上不存在点P,使二面角P EC。的大小为三.（13分）【解析】（I）CM与 BN交于F,连

20、接E F,推导出产是BN的中点.从而ANE F,由此能证明4N平面MEC.（口）推导出。E 1 4 8,DN_L平面A 8C D,建立空间直角坐标系D-x y z,利用向量法能求出ME与平面MBC所成角的正弦值.（IE）求出平面PEC的法向量和平面4O E的法向量，利用向量法求出在线段AM上不存在点P,使二面角P-E C-。的大小为g.（13本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18.【答案】解：椭圆C：+g=l（a b 0）的离心率e=5 左顶点为4（一 4,0）

21、,：.a=4,又e=c=2.（2分）又.h2=a2-c2=12,椭圆C 的标准方程为总+=1.（4分）（2）直线I 的方程为y=k（x+4）,X2 y2 _由N+F=I消元得,y=k(x+4)x2.fc(x+4)2I-16 12化简得，(x+4)(4fc2+3)x+16k2-12)=0,：%!=-4,%2=-16/C2+124k2+3(6分)当 时 1 1 6 工4 k 2+3 y I 4 k 2+3 T 4k2+3.N,-16/C2+12 2 4k、,（4 H+3，市石，点P为AD的中点，：p的坐标为（二,二|_）,k4k2+3 4fc2+37则k o p =-2（k力0）,（8分）直线/的

22、方程为y=k（x +4）,令x =0,得E点坐标为（0,4 k）,假设存在定点（2（7 7 1,）01K0）,使得。1后（2，则k o p E Q=-1,即 一.）；=1怛成立，.（4巾+1 2）卜一3 =0恒成立,二：；=（）,即;二二定点Q的坐标为（-3,0）.（1 0分）（3）0M/1,/.0 M 的方程可设为y=kx,%?y 2森+石=1,得M点的横坐标为 =客=,.（1 2分）y=kx由。“，得誓W+-1 6 M +124k2+3+84734k2+31 4k2+9V3.y/4k2+3（1 4 分）与（阮F+春）2 2 a当且仅当同F=岛即k =土当时取等号,.当人=土争寸，*卢的最小

23、值为2代（1 6分）【解析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a,b,由此能求出椭圆C的标准方程.（2）直线/的方程为y=k（x +4）,与椭圆联立，得,（x +4）（4 k 2 +3）x+1 6 U -1 2）=0,由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果.（3）0M的方程可设为y=k x,与椭圆联立得M点的横坐标为x =土 淄 由。M/,能求出结果.本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用.1 9.【答案】解：（1）由于等比数列 斯 的前项和为%,公比q 0,S2=

24、2 a2-2,S3=第1 6页，共1 9页。4-2,所以S3-52=2a2=a3，整理得&q2-2a2=g q，由于。2。0，所以q2 q-2=0,由于q 0,解得q=2.由于即+g =2a2-2,解得的=2,所以0n=2n.(2)数列a九 满足g =4必，解得瓦=1,由于九%+1 (n+l)6n=n2+n,所以节一包=1(常数).n+1 n,所以数列数列 学 是 以 1为首项1为公差的等差数列.(3)由于数列数列 事 是 以 1为首项1为公差的等差数列.所以/=l +(n-l)=n,解得bn=n2.由于数列0 的通项公式为：Cn=-竽,n为奇数n为偶数所以令%=C2T+c2n=空二+吗Q：=

25、(4n.1)*T.所以72n=3 40+7 小+11 42+(4十 -1)4“T,472n=3-41+7 42+11-43+-+(4n-1)-4n,(J)得：3T2 T l=3 4+4,41+4,4n-i-(4n 1),4n)整理得-372n=3+4 -(4 n-1)-4n,【解析】(1)直接利用已知条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式.(2)利用关系式的恒等变换和数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列.(3)利用(1)和(2)的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果.本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生

26、的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.2 0.【答案】解：(I)当。=1时，b=0时，y=Inx+/+1,.,当 x=1时，y=2,y，=：捺，,当 =1时，y=-1,曲线y=f(x)-g(%)在 =1处的切线方程为+y-3=0；(11)当匕=0时,对Vx 6 1,2,/(x)+g(x)0都成立,则对V%6 1,2,a x2lnx+x2恒成立，令无(工)=-x2lnx+x2(l%2),则/(久)=-2xlnx+%.令九(%)=0,则x=.,当 1 0,此时九(%)单调递增；当 近 V 冗 2时，(%)f,.a的取值范围为库,+8)；(皿)当Q=0,b 0 时，由/(x)=g(x),得仇

27、 6无 +1=0,方程/(%)=9(%)有两个不同的实数解%i，%2(%1 0),则F(xJ=F(x2)=0,令(x)=-b,令Fx)=0,则1-匕X=.当 0 x 0,此时F(x)单调递增；当x 和寸，Fz(x)()，.0 b l，又F6)=，0,I)I)J e e1y 1 2 1.；%!-,只 要证明初 看一打，就能得到1+犯：2,即只要证明F。一 X1)O=F(X 1),2 2 1令G(%)=F(-%)F(x)=ln(-%)Inx+2bx 2,(0%-),则G剑粽 G(i)=/一-F(i)=0,2 1 GQi)=F(-%i)-FQ i)0,2：F g -与)F 0 i)=0=/。2)，2

28、 2J%2 E 一 ，J +%2 1 2,即/+%2 2,证毕.第 18 页，共 19 页【解析】本题考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性,考查函数思想和分类讨论思想，属难题.(1)求出丫=/。)-9。)的导函数，求出函数在x =l 时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；(I I)V x e 1,2,f(x)+g(x)0 都成立，则对V x e 1,2,a -x2lnx+/，恒成立，构造函数九(x)=x2lnx+x2(l x 0),将问题转化为证明产。-%1)0 =F Q i),然 后 构 造 函 数 证 明-x j)F Q 1)=0 =F(X2)即可.