2021年天津市南大奥宇学校高考数学模拟试卷附答案解析.pdf

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1、2021年天津市南大奥宇学校高考数学模拟试卷一、单 选 题（本大题共9小题，共4 5.0分）1.集合P =W超 0 ，Q=xy=则P C Q =()A.(1,2 B.1,2 C.(8,-3)U(l,+o o)D.1,2)2,下列有关命题说法正确的是A.命 题“若 金=*则害=/的否命题为“若 或=1则常承工”B.命 题“3/：妃燃#/：-：!”通”的否定是“赚:电 鼠/外 生-丸 泌”C.命 题“若需=般，则或皿煞=幡 展”的逆命题为假命题D.若“或勺”为真命题，则p,q中至少有一个为真命题3.已知函数，若a、b、c互不相等，且fQA切=c）,则a+b+c的 1 0 1）取值范围是A.(1,2

2、 0 1 4)B.(1,2 0 1 5)C.(2,2 0 1 5)D.2,2 0 1 5 4.某单位有老年人3 6人，中年人7 2人，青年人1 0 8人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为3 6的样本，则老年人、中年人、青年人分别抽取的人数是（）A.6,1 2,1 8 B.7,1 1,1 9 C.6,1 3,1 7 D.7,1 2,1 75.如图，用一边长为透的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4兀的鸡蛋（视为球体）放入其中,蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（AV2 I R xfe I c 3 VJ 1、2、i

3、、=lo g0 20.3,b=lo g0 30.2,c=i o g0 30.1,则a,b,c的大小关系为()A.a b c B.b a c C.c a b D.c b a7.已知双曲线的一条渐近线方程为y =2 x,且点P（2,2）在此双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.V 5 B.5 C.V 3 D.38.将=5苗（2 X一.）图象向右平移卷个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）9 .函数/（x）=|lo g 2%|-X +1 的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、单 空 题（本大题共6 小题，共 3 0.0 分）1 0 .设复数z =（2 +i）2（i 为虚数单位），贝

4、收 的 共 枕 复 数 为.1 1 .设a =T（s讥x l+2 co s2 d x,则多项式缶依一套）6.（/+2）的 常 数 项 是.1 2 .已知圆心为C（-3,4）,半 径 为 花 的 圆 的 标 准 方 程 是 .1 3 .某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位数A =2 a 3 a 4 a 5,其中4 的各位数中，记X =a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时，X的数学期望E（X）=.14 .设a,b,c为正数，a +b+4 c2 =1,则VH +逐+V 5 c的 最 大 值 是 ，此时a +b+c=15 .在直角三角形A B C 中，NC =，A C =3,取点。、E 使 前

5、=2 万 彳，而=3 而，那 么 丽琳+建CA=.三、解 答 题（本大题共5 小题，共 7 5.0分）16 .在 屈 8。中，角A R 6*的对边分别为a力，2,且。=s i n 8+cos 8）.（i）求角上 的大小;（口）若边4R上的中线长为2,求M E。的面积的最大值.17 .如图，斜三棱柱ABC-4 18 1cl的底面是直角三角形，ACB=9 0,点B1在底面4 B C 上的射影恰为B C 的中点。，且B C =C A =4 4 1.I)C(1)求证：平面A C C iA i J平面B C C iB i；(2)求证：BC1L A B(3)求二面角B 一力B i C i余弦值.2 218

6、 .已知椭圆方程为4+9=l(a b 0),长轴两端点为4 B,短轴右端点为C.(I)若椭圆的焦距为4立，点M在椭圆上运动，且A A B M的最大面积为3,求该椭圆方程；(I I)对于(I)中的椭圆，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形C D E,设直线C E的斜率为kk sinx,求实数a的取值范围.参考答案及解析1.答案：A解析：解：集合P =x|:0 =xx 1 或x -3 ,Q=xy=V4 x2=x|-2 x 2 ,/5C lQ=x|l x 2 =(l,2 .故选：A.利用不等式的解法求出集合P,函数的定义域求出集合Q,然后求解交集即可.本题考查集合的交集的求法，分式不等式的解

7、法，考查计算能力.2.答案：D解析：试题分析：命题若5 =3,，则需=的否命题为若第.尊二电则需w：l，故A错；命题“孑/作照蜷丑遍一“网 的 否 定 是“三/+X-1 2 0”故8错；命 题“若宏=犀则遥 通:审=或叫好 的逆命题为若幽%冢=遥叫睇则案；=厚显然错误，故选。考点：命题及其相互关系3.答案：C解析：试题分析：本题考查函数的根，图像变化，由于函数卜=s i n值 的 周期为2，0 4 x 4 1，故它的图象关于直线x =1对称，不妨设0 a 6 l .故有a-6-c 2,再由2正弦函数的定义域和值域可得f(a)=f(b)=/(c)e O:l ,故有04 1。8曰/1，解得c 2

8、014,综上可得，2 a-6-c 2 015，故 选C.考点：函数的根，图像变化4.答案：A解析：解：某单位有老年人3 6人，中年人7 2人，青年人108人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为3 6的样本，则老年人抽取的人数为：3 6 Xqdg=6,中年人抽取的人数为：3 6 X=12,青年人抽取的人数为：3 6 X 二:=18.故选：A.某单位有老年人3 6 人，中年人7 2 人，青年人108 人，利用分层抽样能求出老年人、中年人、青年人分别抽取的人数.本题考查分层抽样的应用，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.5 .答案：

9、D解析：试题分析：蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的表面积为4 猊，所以球的半径为1,所以球心到截面的距离为磁=仁 =色.而截面到底面的距离即为三角形的高1，所以球心到底面的距离为、色外工.S.S考点：空间几何体的结构.6 .答案：D解析：解：,0 V Q=l o g0 20.3 l o goz0.2 =1 b=l o g0 30.2 l o g0 30.1=c,a 0,b 0)双曲线的一条渐近线方程为y =2 x,且点P(2,2)在此双曲线上.-.-=1,2 =2a2 b2 b b2=3,.不成立2 2若双曲线的焦点在x 轴上，不妨设双曲线方程为

10、今一3=l(a 0 0)a2 b2双曲线的一条渐近线方程为y =2 心 目.点P(2,2)在此双曲线上4 4 4b 3 =1,-=2a2 b2 a，=3,b2 12c2 15r2e2=5a2 e =V5故选A分两类，根据双曲线的一条渐近线方程为y =2 x,且点P(2,2)在此双曲线上，即可求得双曲线的离心率.本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的离心率，解题时应注意正确运用双曲线的渐近线方程，合理分类.8.答案：D解析：解：将函数y =s i n(2 x-)图象向右平移看个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y =s i n 2(x 勺 =s i n(2 x-5，当=一与时，函数取得最小值

11、，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是=一套，故选：D.由条件利用y =4 s 讥(3 X+9)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论.本题主要考查y =4s 讥(3X+0)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.9.答案：B解析：解：函数f(X)=|10g 2%|-X+1 的零点个数，就是方程|10g 2X|-X+1=0的根的个数.也就是函数y =|l o g 2%|与y =x -1交点个数，如图：可知两个函数的图象交点个数为：2.-5-4-3-2-1故选：B.函数的零点，转化为两个函数的交点个数，得到结果即可.本题考查函数的零点与方程的根，数形结合的解题方法，考查计算

12、能力.10.答案：3-4i解析：解：z =(2+i)2=4+4i +2=3+4i,.1.z =3-4i.故答案为:3 4i.利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共物复数的概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.11.答案：-332解析：试题分析：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的基指数等于3,求得r 的值，即可求得常数项的值.设 a=(sinx 1+2cos2 j)dx=(sinx+cosxdx=(cosx+s 讥 x)惜=1+1=2,则多项式(a历-2 T -(x2+2)=(2石-白1.(X2+2)=俄.(2伪 6.居)0+C1.(2伪 5.(急 1+

13、C2.(2伪 4.+C*(2伪。.0 6 Q 2 +孙故展开式的常数项为一Cg x 2 x 1-23 x 2=-12-320=一332,故答案为：-332.12.答案：(x+3)2+(y-4)2 =5解析：解：圆心为C(-3,4),半径为花的圆的标准方程是：(x+3)2+_ 4)2=5.故答案为：(x+3)2+(y 4产=5.利用圆的标准方程的概念求解.本题考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，是基础题.13.答案：g解析：解：由题意知X的可能取值分别为0,1,2,3,4；X=0表示这4个数字都是0,则P(X=0)=(|)4=2；X=1表示这4个数字中有一个为1,则P(X=1)=C|-(i

14、)3|=/：3 o ol同理P(X=2)=废 (2.(|)2=胃；P(X=3)=盘 子 守=含P(X=4)=(|)4=患；所以X的分布列为,X01234P181881248132811681计算数学期望为 EX=0 x 2+l x V +2 x|+3 x|+4 x =g.故答案为：由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值.本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是基础题.14.答案：包；留店2 10解析：解：.,a,b,c为正数，.,根据柯西不等式可得：(Va)2+(Vb)2+(2c)2l2+l2+(y)2 (Va 4-Vb+V2c)2,Va 4-Vb 4

15、-V2c 2 b=bc4 2 2 2 /4+2婚 时,MB C的面积的最大值是：2 0 +2.DC(1)证明：在斜三棱柱中，点名在底面A BC上的射影恰好是BC的中点，DB 1 平面力BC.AC u 平面ABC,DB、1 AC,v Z.ACB=90,BC 1 AC.DB O BC=D,A C，平面81cleB.v AC u 平面A C G A，.平面4CG4i _L平面BiGCB.解 法 一:(1)连接BiC,平面BiGCB,BiC是 直 线 在 平 面 B i/C B 上的射影.:BC=C G，.四边形BiGCB是菱形.BiC 1 BC.BiC 1 AC.：.ABX 1 FC1；(2)过点B

16、作J.4B1交A%于点H,连接G 4.ABX 1 BCi，ABr _L平面ABr 1 J H.是二面角B-AB1一 G 的平面角.设BC=2,则BC=CA=AAT=2,：DB1 1 BC,BD=DC,BC BB 2.:.BB1=B1C=BC=2.:.乙BBC=60.乙BCCi=120.BC1=2/3.4C_L平面BQ,BiCu平面BQ,AC 1 BXC.:.BtA=2V2.在ABBiA中，可求8/=9.BB=B1C1,B1H=BH,:.Rt BB1H=Rt C1B1H.CrH=BH=?.W+=T2 5,1,cos 乙 BHg=2；血 丁 =-/2 2即二面角8-ABi-G的余弦值为一裂解法二：

17、（2）因为点名在底面4BC上的射影是BC的中点，设BC的中点为0,则当M 1平面4BC.以。为原点，过0平行于C4的直线为x轴，BC所在直线为y轴，OB1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=CA=AAt=1,由题意可知，B（0,i,0）,C（0,-i,0）,（0,0,当）,4（1,一;,0）.设G(x,y,z),由 布=瓦 乙 得表 跖=(0,一|,务又 福=(一 H,务/IBi1-BCi-1 x 0 H x(-)+x 01 2 I 2，2 2 ABr 1 BCi；(3)设 平 面 的 法 向 量 为 近=(%i，yp 1).p i-7 i=01 V3 n,宙=(V3Z V3

18、,1).设平面4 8 1 6 的法向量为五=(久 2，乃，1)=0=0.V32V321-21-2.五=停 0,1)./_ 诉尼 5*夙川 =麻 嗣=?，因为二面角B-481-C1为钝角,二面角8-ABr-Ci的余弦值为一*解析：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查计算能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题.(1)要证平面力CG&_L平面B1GCB,只需证明平面4CG公 内的直线4 C,垂直平面当的。8 内的两条相交直线/M,BC即可；法一：(2)连接&C,说明&C 是直线AB】在平面BiGCB上的射影，证明81c 1 BC1即可证明BC11 ABV(3)过点B作B H lA B

19、i交AB】于点H,连 接 说 明NBG是二面角B AB1一 G 的平面角，解三角形BUG求二面角B-4当一 G 的大小.法二：建立如图所示的空间直角坐标系.(2)求出福，酩,计 算 福 殖=0.即可证明BCi 1 AB1；(3)求出平面ABBi的法向量，平面ZBiCi的法向量，通过公式求出二面角的大小.18.答案：解：(1)由已知=2&,*2a)b=3,又“2=孑 +，2,解得，a=3,b=1则椭圆方程为：R y 2 =L()设CE所在的直线方程为y=kx+l(/c 0)代入椭圆方程并整理得,(1+9 k2)乂2 +18kx=0同理，CD=y/l+k -由三角形CDE为等腰直角三角形知,fc3

20、+9/c2+9/c+1=0,即(k+1)(/+8k+1)=0 1 k=-1 或k=-4 V15.解析：(1)由题意确定a,b,c；得椭圆方程；(2)设直线方程并与椭圆联立化简，根据线段相等求匕本题考查了圆锥曲线的相关知识，化简时要注意简化运算，同时要细致.19.答案：解：(1)设等差数列 卷 的公差为d,*Q 5+=15,：C L?+。9=15,乂。2=4,=11,.d=q=上=19-2 7 Qn=g +(九 -2)X 1=7 1 +2;(2)由(1)可得：bn=2aL2+n-8 =2n+n-8,*,*6 1+6 2 +6 3 +瓦 o =(2 +2?+2?+21 0)+(1 +2 +3 +1

21、 0)8 0=也二至？+担 匕&-8 0=21 1-2 +5 5 -8 0=2 02 1.1-2 2解析：本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算、分组求和法在数列求和中的应用，属于中档题.(1)由题设求得数列 6的公差d,即可求得其通项公式；(2)先由(1)求得耳，再利用分组求和法求得结果.2 0.答案：解：(1)函数的定义域为(-1,+8),。)=。一 =三 詈2,当a W O时，/(%)0时，令(x)=0,解得 =-1(舍)或=拶 一1,当x e(-1,拶)时，f(x)0,此时/(x)单调递增，f(x)在x =处取得极小值，且极小值为/(g，)=1 a l n(L?+1)=1 a +In

22、a；综上，当a W O时，函数/(%)无极值；当a 0时，函数/(%)在x =拶 处取得极小值1 一 a +a,无极大值；(2)依题意，a x -l n(x +1)-sinx 0在 0,+8)上恒成立，令g(x)=ax-l n(x 4-1)-sinx,%0,则 g(x)=a/cosx,当1 2 0时，+cosx 2时，g(x)0,g(%)在 0,+8)上单调递增，则g(%)N g(0)=0,符合题意；当a V 2时，g(0)=a 2 v0,故 必 存 在 一 个 区 间 使 得g(&)V 0,此时以久)单调递减,则g(%o)0判断函数的单调性，进而求得极值；(2)依题意，g(x)=ax-l n(x +1)-sinx 0在 0,+8)上恒成立，对函数g(x)求导，分a 2及a 2讨论即可得出答案.本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.