2021年新高考数学模拟卷（八）（解析版）（新高考地区使用）.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学 模 拟 卷（八）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .复 数 考 的实部和虚部分别为。，b,则同+例=（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】1 +z-(1 +Q2 2i-(i-o(i+o所以 a =0,b =l,所以同+例=1,故选：A.2 .关于x的方程/+办+。=。，有下列四个命题：甲：x =l是该方程的根；乙：尤=3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】若甲是假

2、命题，则乙丙丁是真命题，则关于龙的方程匕=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号，合乎题意：若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则X =1是方程/+田:+力=0的一根，由于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关 于%的方程/+收+人 二。的两根为1和3,两根同号，不合乎题r-Ar.息；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于X的方程/+。=0的两根为1和3,两根之和为4,不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.3 .已知全集。=1 1,集合 A=x e R|0 x,1 ,6 =1,0,1 ,贝1 (科4)03=()A

3、.-1 B.1 C.-1,0 D.0,1【答案】C【解析】由题意，全集U =R，集合A =x e R O l ,又由集合 5 =-1,0,1 ,所以(d A)c B =T,0 .故选：C.4.“勾 3股 4弦 5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4弦 5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了 5 0 0 多年，如图，在矩形A 8 C。中，口 A B C 满足“勾 3股 4弦5 ，且 AB=3,E为 AD 上一 点,B E 1 A C.若 屁=2 丽+阮,则丸+的 值 为()B.98【答案】C【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系,因为 AB=3,

4、B C =4,则 A(),3),8(0,0),C(4,0).设(a,3),则/=(4,-3),B E =(a,3),因为B EL A C，所 以 衣.屁=4 a 9 =0,9解得。=:，42,a+b a+b q+b当且仅当Q+=1取等与，又 sinCW 1,故sinC=1 C=,2sinC =-.2 a +b又.+“/竺=-.:.a2+b2,当旦仅当。=取等号，c2 c2=a2+b2-,2 I 2 J 4 2 2 A3C外接圆的面积 为 不-.-.0 AB C外接圆面积的最小值为g.8 8故选：A7.已知双曲线=1（40力 0）的左、右焦点分别为耳，鸟，过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于4

5、,B两点，若DAB鸟为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.y/j B.逐 C.4 D.3【答案】C【解析】解析：取AB的中点C,连结。6，设A =加，则A/；=，九-2a=2加一2,因为BF -BF,=m-2 a=2a所以利=4。月=4 a,D F2=2 从而 G 居=2c=2j7a,e=J7,a故选：C.(2 xl)-|x-l|,0 x-1(力)(2 2),则下列说法正确的有()个.丁=的定义域为1，2 ；设A =0,l,2 ,B =x|力(x)=x,x e A ,则4 =8；加=x|%(x)=x,xe 0,2 ,则M中至少含有8个元素.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解

6、析】当0 4 x 4 1 时，/(x)=2(l-x)；当 14XW2时，/(x)=x-l,则/0)=2(1-幻,031x2对，有x-f(x)N 0,0 x l l x 2或0,2得 g 4 x 4 2 ,2即定义域为-,2 ,故正确;对，当x=0时，&0)=/启0)=/V(/(0)=/(/(2)=/=0成立;当x=l 时，(1)=ff2()=/(/(/(I)=/(/(0)=/(2)=1 成立；当 x=2 时,(2)=/(/(/(2)=/(/(I)=/(0)=2 成立,所以A =3,故项正确。2-9=8-9n-/I2X-8-9/lz对一 般 地，京+r任）=力 合 次/CN）,即有力。七）+力

7、3 6 ）=力 T 力（5 J =9 +9=7,故正确。，2、2 （2、2 ，2、2 2对,由可知，f -=-,所以则工2 弓=可，所 以-eM,、3）3 J J O D由知,对 X =0 ,1,2,恒有 f3（x）=x,所以 fl2（x）=x,则l,2 e A f ,由 知，对小 X =8 2 1 4 5 c ,、cr,8 2 1 4 5“恒有 九（*）=乂 所以 ny 9 9 9 9 9 9 92 Q 2 1 4 5综上所述，-,0,1,2,-,-,-eM,所以M 中至少含有8个元素，故正确。3 9 9 9 9故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

8、有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下关于正弦定理或其变形正确的有（）A.在I A 8 C 中，a：b：c=sin A：sin B：sin CB.在I A B C 中，若 sin 2 A =sin 2 8,则=bC.在 L A B C 中，若 sin4 sin曰 则 A 8,若 A 8,则 sin A sin B 都成立.,a b +cD.在U A B C 中，-=-sin A sin 5 +sin C【答案】A C Dc i b c【解析】对于 A,由 正 弦 定 理-=-.=-.=2 R,可得 a：b：c=2Rs nA：2 R sinB：2/?si

9、nC=sinA：sin A sin B sin CsinB：sinC,故该选项正确；71对于8,由 sin2 A =sin2 8,可得A =3或 2 4+2 8=兀，即A=8或 A+8=,或 4 2+按=。2,故该选项2错误；对 于 C,在U A 8 C 中，由正弦定理可得s i n A s i n 3 y 0 8,因此A 8是 sinA sin8 的充要条件，故该选项正确；,.,a b c b+c 2/?sin B +2/?sinC 对于。，由正弦定理-=-=-=2 H,可得右边=-=-=2R=sin A sin B sin C sin B +sin C sin B +sinC左边，故该选项

10、正确.故选：A C D.1 0.如图所示，在长方体A 8 C D 44GA，若A B=B C ,E、尸分别是80的中点，则下列结论中成立的是（）A.E尸与3片垂直C.E尸与G。所成的角为4 5【答案】A B DB.E F 1.平面 BDRBiD.E F平面【解析】连接AB、AC、A。，则E为A3的中点,对于 A 选项，：BB _L平面 44GA，AG =平面 44G。BB AG,;E、产分别为AB、8G的中点，则E F A C，；.E F上BB,A选项正确;对 于B选项，.四 边 形 为 正 方 形，则AC，4幺，又AG-L BB,B R cB B=耳，：.&G 1平面 B D D】B,r E

11、 F A G，：.EF工平面BDRB ,B选项正确;对于C选项，易知口入。为等边三角形，则 幺。1。=6 0。,EF/A.Q,则 E F 与 C Q 所成的角为4 G。=6 0 ,C选项错误；对于D选项，.E f A G，平面4 8 1 G A，4 0 0 2 0）的两条渐近线，直线/经过7的右焦点F,且儿，I交T于点M,交。于点。，交y轴于点N,则下列说法正确的是（）A.E OQ与 OQ N的面积相等B.若T的焦距为4,则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为工4c.若 丽=诙，则r的渐近线方程为y=xD.若粤门2 1同2 5 3,则T的离心率ee2,3【答案】A C【解析】A由题可知，F（c

12、,0）,不妨记h y=-x,/2：ahy 二 一X.由儿可得/的方程为y=（x c）,a ac he与4的方程联立可解得=5，yG=-.即点。”.对于y=2(x-c),令尤=0,可得2ac5ay=亍hr，即点N （0,-be-iI，所以右,1 her oe=2XC Xhe2 c he be2 r r-S4CCN=-X -X-=-，r)l 以4a AOQN 2 2 a 4a,F OQ=S4OQN，所以选项A正.确;用 设点M的坐标为（如 为），则存-捐=1，即无片 一 片 北 二 斤，所以“到两条渐近线的距离之积为|竺 一 伙|.|+倏|=I 一 yfa2+b2 4 a2+b29 2a y0a2

13、b2a2+b2a2+b2,因为T的焦距为4,所以c =2,所以a2h2 a2b2a1+b2 4因为4 =片+2 2出,，所以“6 4 2,a2b2 4-所以 一 亏=也 1，所以点M到两条渐近线的距a2+b2 4离之积的最大值为1,所以选项8错误;cC,由 丽=汲 得M为QE的中点，则 _ +c _3 c,Xo=-F=7b e%=-4加 即点呜-料代4 a(主丫(_b c 2入双曲线T的方程得(Z j (4a )，即5=2,又c 2=/+，所以/=/,所以”=b,所以-1 na2 b2M F.XF-XMQF XF-XQ双曲线T的渐近线方程为y=x,所以选项。正确：b r2 .,2 2 2。，由

14、y=(x-c)与三一4=1,得=、，所以a a b 2c+a2=1 I，|,得e2 e2,3 ,所以eeJ5,J5 ,所以选项D错误.2故选：A C.1 2.对于定义在R上的函数x)和定义在2上的函数g(x),若直线y=H +(Z”e R)同时满足：Wxe R ,f(x)kx+b,则称直线 丫 =依 +匕 为/(x)与 g(x)的“隔离直In V线“.若 x)=q-,g(x)=ej则下列为x)与g(x)的隔离直线的是()v1 X 1 1A.y=x B.y=x C.y=D.y-x.2 3 e 2 2【答案】A B【解析】根据隔离直线的定义，函数y=/(x)的图象总在隔离直线的下方.，y=g(x)

15、的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数x)=(，可得/(无)=L詈，所以函数“X)在(O,e)上单调递增，在(e,”)上单调递减，因为/=0,/(1)=1,此时函数/(x)的点(1,0)处的切线方程为y=x-l,且函数“X)的图象在直线y=x T的下方；又由函数g(x)=e T,可得g(x)=e-0,g(x)单调递增,因为g =g6=l，所以函数g )在点(1,1)处的切线方程为y-i =x-i，即了=,此时函数g(x)的图象在直线 =X的上方，根据上述特征可以画出y=/(x)和y=g(x)的大致图象，如图所示，直线y=x-i和y=%分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直

16、线y=x平行的直线都满足隔离直线的条件，所以4,B都符合；设过原点的直线与函数y=/(x)相切于点P(X o，%)，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为&=一，%又由斜氏,=-y-n-0=I n厂 xa，可得一I n厂 =-1 -Ijn ,解得=五，%一0%/x0 为所以女=1_归=-,可得切线方程为y=二，(五)2 2 e 2e又由直线 卜=二 与 曲y=f(x)相交，故C不符合；3 e由直线y =过点(1,0),斜 率 为 曲 线y =/(x)在点(1,0)处的切线斜率为1,明显不满足，排除D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(3兀、13.函数y =co s x-s i n

17、2 1+可 的最大值为.【答案】2【解析】y=co s x -s i n 2 x+=co s x +co s 2x=2 co s2 x+co s x-1,令，=8SX,则对称轴为冗=一；，因为函数/(，)在 上 单 调 递 减，在(-上单调递增,所以/(。2=/(1)=2+1 1 =2，所以函数y=cosx sin(2x+T)的最大值为2.故答案为：214.已 知 函 数/(力=+。(其中a S e R)满足：对任意目。/,有|/(x)归1,则(2a+l)(2Z?+l)的最小值为.【答案】-9【解析】因为x)=o r+b,对任意xeO,l，有|/(x)归1，所以/(O)=6,f()=a+b,即

18、匕=/(0),a=/(l)_/(O),所以(2a+l)(2b+l)=4ab+2(a+b)+l=4/(l)/(O)x/(O)+2/(l)+l=-4/(0)2+4/(0)/(1)-/(1)2+/(1)2+2/(1)+1=-/(1)-2/(0)2+/(1)+12-/(1)-2/(0)当1)=一1,/(O)=1时卜 20甘 最大为9,此 时-/20)了最小为 9,所以(2a+1)(28+1)的最小值为 9,故答案为：-915.过抛物线y2=2px(，0)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，且|A6|=4,贝”=.【答案】2【解析】设抛物线的焦点坐标为尸 5,。)，由条件可知%=4=%

19、=曰，所以|A=|A日+忸曰=4+5 +/+=2，又|A B|=4,所以 =2,故答案为：2.16.在四面体4 B C。中，若A D =D C=A C=CB =1 ,则当四面体A 8 CQ的体积最大时，其外接球的表【答案】【解析】因为A 0 =O C =A C=1,所以底面A CZ）面积为定值，因此当C B，平面A C。时，四面体A B C。的体积最大.设 A CD外接圆圆心为。,则四面体A 8 CD的外接球的球心。满足Oq B C,且O Q =；,因此外接球的半径R满足R2=（1）2+合2=2_从而外接球的表面积为4万穴2 =g7乃故答案为：丁四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写

20、出文字说明、证明过程或演算步骤.17.己知数列 4是等差数列，其前n项和为S”，且S 3 =12,%=16.数列也 为等比数列，满足伪=4，b 也5-2 5 6 b4 .（1）求数列 4,2的通项公式；r 11,（2）若数列%满足=一 +索，求数列%的前 项和北.anan+2【答案】%=2,小品+小七.【详解】解：（1）设数列 凡 的公差是d,数列是也 的公比是q.4 +7 d =16由题意得 一所以q=d =2,所以4=2；3%+3 d=12=a2=4 9 b 3 b 5-2 5 6 d=2 5 6 ,/=3=6 4 =4 =4,bn=4,b+1+4_ 1n n+（2）由（1）知%4+i b

21、“4 n(n +l)/.7；,=c,+c2+c3+in3+、4,+14(+1)4(H+1)n4747n、+(1、4 J4(+1,+18.如图，矩形A B C。是某个历史文物展览厅的俯视图，点 E在 AB上，在梯形0E8C区域内部展示文物,OE是玻璃幕墙，游客只能在 AOE区域内参观.在AE上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，4 M PN为监控角，其中M、N 在线段O E （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AO=6 米,冗A E =6 米，A P =2米，/M PN=.记NEPM =6（弧度），监控摄像头的可视区域 的面积4为S 平方米.（1）分别求线段P M、P N关于。的函

22、数关系式，并写出。的取值范围;(2)求 S 的最小值.【答案】(1)PM =-JPN=24，0-a r c t a n 3；(2)8(夜 一1)平方米.si n 3+c os 0 c os 夕 4【详 解】jr解：(1)在 L PM E 中，N E P M =9,PE=A E-A P=4 米，N P E M =43 4Z PM E-O,4由正弦定理得PMsi n Z PEMP E-si n NPM E所 以 尸加P E 义 sin N P E M _ 20 _ 4si n Z.P ME si n(四-夕)si n 6+c os 6,同理在U P N E中，由正弦定理得P Nsi n Z P E

23、 NP Esi n N P N E所以PN=3/PEsi n 4 P N E2A/2 _ 2V2si n(卜一工当M与E重 合 时，6=0；当N与。重合时，ta nZ A P D=3,即N A P。=a rc ta n3 ,兀3兀3 7 i。=兀-a rc ta n3 =-a rc ta n3 ,所以-a rc ta n3；4 4 41 4(2),P MN 的面积 S=PM x PNxsi n/M P N =-2 c os 6+si n。c os_ _ _ _ _ _ _ _ _4_ _ _ _ _ _ _ _ _ 8 _ 81+cos 2。+，si n 2。si n 2 +c os 2 +1

24、 夜 si n(2 9+马+1，2 2 4Sir 7T jr jr Sjr因 为OWdW2-a rc ta n3 ,所 以 当2 6+=即。=e 0,-a rc ta n3 时,4 4 2 8 L 4S取得最小值为8V 2 +1=8(72-1)所以可视区域匚P M N面枳的最小值为8（2 一 1）平方米.1 9.根据海关总署发布的2 0 2 0年上半年中国外贸进出口数据显示，中国外贸进出口好于预期，6月份出口、进口双双实现正增长，上 半 年，民营企业进出口逆势增长，一般贸易进出口比重提升.某公司抓住机遇，不断加大科技攻关投入，提升产品质量，据 统 计 该 公 司A ,5两 类 产 品2 0 2

25、 0年 卜6月份的盈利情况如表：（1）从 统 计 的 这6个 月 份 中 任 取3个月份，求A产品盈利高于8产品盈利的月份数X的分布列及数学期月份代码X123456产品类型ABkBABABABAB盈利/万元605 0607 08 57 58 07 09 01 1 0no1 0 0望；（2）已知可用线性回归模型拟合两类产品的盈利之和y（单位：万元）与月份代码龙之间的关系，试求）关于X的线性回归方程，并预测该公司2 02 0年1 1月份两类产品的盈利之和.参考公式：回归方程，=队+2中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为匕=J-,i=l4 一y-vx-【答案】（1）分布列答案见解析，数学期里：2；（

26、2）线性回归方程为y =2 0 x+90,预测该公司2 02 0年1 1月份两类产品的盈利之和为3 1 0万元.【详解】（1）由统计数据可知，这6个月份中，A产品盈利高于3产品盈利的月份有1,3,4,6,则X的可能取值为1,2,3,=C；C；J Cl 5C23P(X=l)P(X =2)C3 c o 1*X=3)辛,5,故X的分布列为X123P53551 3 1故 EX=lx +2x 2+3 x =2.5 5 5（2）由题意可得:月份代码X123456两类产品的盈利之和力万元1 1 01 3 01 601 5 02 002 1 01 +2 +3 +4+5 +6-1 1 0+1 3 0+1 6 0

27、+1 5 0+2 0 0 +2 1 0 故 x=-=3.5 ,y =-=1 60,6 6所以(七 _ 矶,_)=_2.5X(_50)+(_1.5)X(_3O)+(_().5)XO +0.5X(_10)/=1+1.5 x40+2.5 x5 0=3 5 0 ,次ki T =(2.5)2 +(一 1 5)2 +(45)2 +0 52 +1.5 2 +2.52=1 7.5 ,/=!人 3 5 0所以b=方=2 0,.a =6()_ 2 0 x3.5 =9 0所以两类产品的盈利之和y与月份代码X之间的线性回归方程为y =2 0 x+9 0.当x=l l时，y =2 0 xl l+9 0=3 1 0故预测

28、该公司2 02 0年1 1月份两类产品的盈利之和为3 1 0万元.2 0.如图所示，四棱柱A B C。A4 G A的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E,E分 别 在 棱 例，C C,上，且满足A E =g/L 41,C F =C CX,平面B E F与平面A B C的交线为/.(1)证明：直线/J平面；(2)已知E F=2,B R=4,设8尸与 平 面 所 成 的 角 为。，求si n。的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】(1)如图，连接AC,与 交 于 点。.由条件可知AECE,且AE=C F,所以因为EF u平面B E F，所以AC平面B E F .因为平面6 E F I平面

29、A3C=/,所以AC/.因为四棱柱A6CDA 4 G 2的底面是菱形，且侧棱垂宜于底面,所以 A C LB。，ACA.BB,又 B D c B B =B,所以 AC_L 平面 8。口，所以/I平面80.(2)如图所示，以。为坐标原点，分别以 丽，历 的 方向为X,设 8。=2。，因为 B D B D ,所以0 a 2.则 O B =a,D Q=-B D2=2y/4-a2.(2 _ 所以83,0,0),C(0,l,0),F 0,l,-V 4-a2.I 3)由(1)可 知 无=(0,1,0)是 平 面 的 一 个 法 向 量，而B F =“-a?j,轴的正方向建立空间直角坐标系.所以 si n e

30、 =|c os|=O C B F_ _ _ _ _ _ _ _ I _ _ _ _ _ _ _ _ 3卜1 +。（4-了 亚5 +5 ，当0 a2时,3 3 -=-5,2 5 +5标 52 1.已知抛物线C:;/=4 x的焦点为/，直线:y =2九+a与抛物线。交于A,5两点.(1)若a =1,求口 产4 8的面积.(2)已知圆M：0 3)2 +V=4,过点P(4,4)作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为。，E ,求证直线OE也与圆M相切.【答案】(1)也(2)证明见解析2【详解】(1)抛物线的焦点为尸(1,0),设4区,芳),6(工2，%)，把y =2 x-1方程代入抛物线丁=,可得

31、4 f 8 x+l =0,：.XI+X2=2,X1-X2=,/.|A B|=yl +k2 x2-xl-y/5 J(X +)2 -4%X =A/T5,1点F到直线/的距离d =(2)设过点P的直线方程为x =y-4)+4,1 4f 11由直线与圆M相切得-J=2,可 得12户一8r-3 =0，2 1设切线P D,P E的斜率分别为e，则4 +t2=-,ttt2=-，把x =f(y 4)+4代入抛物线方程可得丁2一4“+16-16 =0,则4,x是方程y 2 4)+16 r 16 =0的两根,可得X =4 4-4,同 理%=4弓一4.直线。：丁 一 (4 6 -4)=-L+i 2则有0(4(/则圆

32、心(3,0)到直线D E的距离为d由12彳-8：-3 =0,代入上式,化简可得d=2,：|12彳一甑 一13|,所以直线OE与圆M相切.1 ,22.己知函数/(幻=/+7nx-e*+l Q w eR).(1)若/(x)在R上是减函数，求 机 的取值范围;(2)如果/(x)有一个极小值点再和一个极大值点看，求证/(x)有三个零点.【答案】(1)(f0,l ；(2)证明见解析.【详解】1 ,解：(1)由/(X)=5丁+a+1,得/(x)=x +m ，/(x)在R上是减函数，则r(x)=x+m-/W0恒成立.设 g(x)=f x)=x+m-ex,则 g(x)=1-ex.当x0时，g(x)0,g(x)

33、单调递减;当x 0,g(x)单调递增.于是 g(x L =g()=wT-由题意g(x)=m-l40,所以机 1,故1的取值范围是(8,1.(2)设g(x)=/(%)=%+=6，则 g(x)=l d.当x0时，g()0,g(无)单调递减；当x 0,g(x)单调递增.若g(0)=z-l 0,则g(x)W 0,则/(x)在定义域内单调递减，所以不满足条件，故g(0)0所以相 1又,/g(-m)-e m 0,g(z)=2z-d”设 y =2x-e，(x 1),J J B J yf=2ex l)所以y =2x e在(1,住)上单调递减，所 以 当1时，y=2x ex 2 e 0所以 g(z)=2m -e

34、m 0肛 e(-7 7 7,0),x2 e(0,/n)使g(x)=g(x j =0/.X G(-O O,X(),g(x)0即/(x)0即/(x)。，单调递增.x e(x 2，+o o),g(x)0 GP/,(x)0,/(x)单调递减，X 1 0 x2,/(玉)/()=。0.设y =，/(%0),则y=e=2 x，所以0,得x l n 2,y=ex-2 0,得0 x 0所以y =/在(0,+力)上单调递增，贝I y =-Y 1 (J即X0,成立所以/(2 m +2)=g (2m +2)2+m(2m+2)-e2m+2+1 (2m+2)2+m(2m+2)-(2m+2)2+1=-2m 1 0:,由零点存在定理，得 尤)在(-2肛西)和(/,2机+2)各有一个零点,又 0)=0,结合函数“X)的单调性可知/(x)有三个零点.