2021年中考数学 一轮复习：正方形及四边形综合问题.pdf

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1、2021中考数学 一轮复习：正方形及四边形综合问题一、选择题1.如图，在四边形ABCO中，AB=CD,AC,8。是对角线，E,F,G,”分别是A。，BD,BC,A C的中点，连接ER FG,GH,H E,则四边形EFGH的形状是（）A.平行四边形B.矩形D.正方形2.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是。上一点，DE=1,WA ADE绕着点A顺时针旋转到与 A8尸重合，则E F=（）A.A/41 B.痴C.5 0D.2V133.如图I,正方形A BCD的面积为1,则以相邻两边中点连线E F为边的正方形EFGH的周长为（）A.y2B.2巾C.巾+10.2 2+14.如图，在正方形A8CD

2、中，A B=1,点E,F分别在边B C和CO上，AE=AF,5.（2020.威海）如图，在 口 A8CO 中，对角线 8O，A。，AB=10,A D=6,。为8。的中点，E为边AB上一点,直线E。交 8 于点尸，连结OE,B F.下列结论不成立的是（）A.四边形OE8E为平行四边形B.若A E=3.6,则四边形。E8F为矩形C.若A E=5,则四边形。E3F为菱形D.若A E=4.8,则 四 边 形/为 正 方 形6.如图，正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E 处，折痕为G H,若 BE：EC=2：1,则线段CH的长是（）A.3 B.4 C.5 D.67.如图，

3、把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN,再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN上的点F 处，折痕为BE.若 AB的长为2,则FM 的长为（）A.2 B.事 C.yjl D.18.（2020.东营）如图，在正方形ABCD中，点P是A B上一动 点（不与A、B重合），对角线AC、B D相交于点O,过点P分别作AC、B D的垂线，分别交AC、B D于点E、F,交AD、B C于点M、N,下列结论：A PE A M E；PM+PN=AC；P E2+PF2=PO2；A PO FA B N F；点 0 在 M、N 两点的连线上.其中正确的是（）A.B.C.D.（如图），使得点D落在对角

4、线b 上，E F与 相 交 于 点H,则HD=.（结果保留根号）10.如图，四边形ACDR是正方形，NCEA和 都 是 直 角 且E,A,B三点共线，A B=4,则 阴 影 部 分 的 面 积 是.11.如图，E,尸是正方形A8CO的对角线AC上的两点，AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是.12.如图，在正方形ABC。中，AC为对角线，点E在4?边上，EFLAC于点F,连接EC,AF=3,若 E F C的周长为1 2,则E C的长为.E5113.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴，y轴上，B C是菱形BDCE的对角线，若N D=60。，B C=2,则点D的坐标是yAC x

5、14.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4啦的正方形A B C D可以制作一副如图所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图所示的“拼搏兔”造型（其中点Q,R分别与图中的点E,G重合，点P在边E H上），则“拼搏兔”所在正方形E F G H的边长是.15.如图，有一个边长不定的正方形A B C D,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B,D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长。的 取 值 范 围 是.16.如图，正方形ABCD的面积为3 c*,E为B C边上一点，NBAE=30。，F为A E的中点，过点F作

6、直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=A E,则AM的长等于_ _ _ _ _ _ _ cm.三、解答题17.如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E 在线段DC上，点A,D,G 在同一条直线上，且 AD=3,D E=1,连 接 AC,CG,A E,并延长AE交CG于点H.(1)求 5/nZEAC 的值；(2)求线段AH的长.18.(2020河南)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB，记旋转角为a.连接B B T 过点D作DE垂直于直线BB，垂足为点E,连接DBT CE.(1)如图1,当。=60。时，ADEB，的形状为,连接B D,可求出篝的值为;(2)当0。36

7、0。且。#90。时，中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；当以点B，、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出丝的值.19.如图，在直角梯形 A8CD中，NA=NO=90。，AB=8cm,C=10cm,AD=6 c m,点E 从点A 出发，沿A方向运动，运动速度为2 cm/s,点尸同时从点A 出发，沿AB 方向运动，运动速度为1 cm/s.设运动时间为心)，CEF的面积为5(cm2).(1)当0 3/3 时，t=,E F=VH).(2)当 叱/3 时(如图)，求 S 与，的函数关系式，并化为S=a(/-/)2+Z的形式，指出当，为何值时

8、，S 有最大值，最大值为多少？(3)当30E8时(如图)，求 S 与/的函数关系式，并求出当/为何值时，S 有最大值，最大值为多少？图 图20.如图，在四边形ABC。中，点尸是AB上一点，点E 在射线QP上，且NB E D=/B A D,连接 AE.(1)若A 8=A O,在0 P 上截取点R 4 更得D F=B E,连接AF 求证：X N B E Q XADF；(2)如图，若四边形A B C D是正方形，点P 在 的 延 长 线 上，BE=1,A E=3 5求。E 的长；(3)如图，若四边形ABCD是矩形，AD=2A5,点尸在AB的延长线上，AE=y/521.已知，在 RM ABC 中，ZA

9、CB=90,BC=AC,A B=6,。是 A3 的中点，动点 E 从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,直线BG,FE相交于点M点七向左运动时如图，点向右运动时如图).(1)在点E 的运动过程中，直线8G 与 C。的 位 置 关 系 为；(2)设E=x,N B=y,求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值；(3)如图，当。石的长度为小时，求NBFE的度数.图 图2021中考数学一轮复习：正方形及四边形综合问题答案一、选择题1.【答案】C 解析.点E,F,G,H 分别是四边形45C。中A。，BD,BC,G4 的中点，：.EF=GH=AB,EH=FG=CD,

10、：AB=CD,：.EF=FG=GH=EH,四边形EFG”是菱形，故选C.2.【答案】D 解析 由旋转的性质可知，ADE 咨 AABF,：.BF=DE=l,：.FC=6,VCE=4,.E/WJFC?+CE?”豆=2/13.故选:D.3.【答案】B【解 析】.正方形ABCD 的面积为1,.8。=C D=1,，：E、F是边的中点，.。=。?=4，；.EF=、J)2+(曰)2=哗,则正方形 EFG”的周长为4x乎=2 6.4.【答案】C 解析 连接NE4F=60。，为等边三角形，.4七=7丁.，四边形48。为正方形，/8=/。=/。=90。,4 8=4),.，尔/ABE且 RtA ADF(HL),：.

11、BE=DF,EC=CF.设 CF=x,则 EC=x,AE=EF=EC2+FC2=2 x,BE=l-x.在 RtA ABE 中，AB2+BE2=AE2,：.1+(1-X)2=(缶)2,解得 X=4-l(舍负).故选 C.5.【答案】：。为 8。的中点，:.OB=OD,四边形ABC。为平行四边形，C.DC/AB,：.ZCDO=ZEBO,ZDFO=ZOEB,：./FDOAEBO(AAS),，OE=OF,四边形D E B F为平行四边形,故A选顶结论正确，若 AE=3.6,AD=6,.AE 3.6 3,AD=6=5,_ AD 6 3乂 48 10 一 5，.AE ADAD=AB,Z D AE=Z B

12、A D,:.ADAEsABAD,：.AED=ZADB=9Q.故B选项结论正确，AE=5,：.BE=5,又：ZAD B=90,1：.DE=AB=5,：.DE=BE,.四边形。EBE为菱形.故C选项结论正确，AE=3.6时，四边形。硝 尸为矩形，A E=5时，四边形DEB/为菱形，：.AE=4.8时，四边形D E B F不可能是正方形.故D不正确.故选：D.6.【答案】B【解析】设Ca=x,：BE：EC=2：1,BC=9,：.E C=3,由折叠可知，E H=D H=9 x,在RtEC”中，由勾股定理得：(9-%)2=32+,解得：x=4.7.【答案】B【解析】:AB=2,：.BF=2,又.8M=g

13、3C=1,由勾股定理得FM=ylFB2-B M2=y3.8【答案】B【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5 个结论的正确性，得出结论.,正方形 ABC。，/.ZAPE=ZAME=45,：PMAE,：.ZAEP=ZAEM=,：AE=AE,：.A PE AM E(ASA)；过点N作N0_LAC于点。，则四边形PNQE是矩形，PN=EQ,

14、.正方形ABC。,：.ZPAE=ZMAE=45,PMAE,：.ZPEA=45,：.ZPAE=AAPE,PE=NQ,.APE等腰直角三角形，.AE=PE,同理得：NQC等腰直角三角形，NQ=CQ,V/XAPE/XAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即 PM+PN=AC 成立;.正方形ABC。，.4C_LBD,；.NEO尸是直角，过点尸分别作AC、8。的垂线，分别交AC、BD于点、E、R和/P F O 是直角，四边形PR9E是矩形，.PQ O E,在 R dP E O 中，有。/+0层=尸0 2,.”炉+产=尸0 2,即

15、PU+PF2=P()2 成立;ZBN/是等腰直角三角形，点尸不在4 3 的中点时，POE不是等腰直角三角形，所 以 尸 与 3NR不一定相似，即P O FSARVE不一定成立；.AMP是等腰直角三角形，PMNsaAMP,.PMN是等腰直角三角形，:/MPN=90。,：.PM=PN,：AP=PM,BP=PN,：.AP=BP,，点尸是2 2AB的中点，又;。为正方形的对称中点，.点。在M、N 两点的连线上.综上，成立，即正确的结论有4 个，答案选B.二、填空题9.【答案】也-1 解析 .四边形ABCO为正方形，：.CD=,ZCDA=90,边长为1 的正方形ABC。绕点C 按顺时针方向旋转到正方形F

16、ECG的位置，使得点D 落在对角线CF上，：.CF=2,NCEE=45。，DFH 为等腰直角三角形，.,。”=。/=。K。=也-1.故答案为也-1.10.【答案】8 解析四边形AC。尸是正方形，：.AC=AF,ZCAF=90,ZCAE+ZBAF=90,又/C4E+NECA=90。，二 ZECA=ZBAF,则在 ACE 和 E43 中，ZAEC=ZABF=90,.4ECA=NBAF,(AC=AF,；.ACEAMB(AAS),：.ABCE=4,.阴影部分的面积，4BCE=5X4X4=8.11.【答案】8右 解析 如图，连接8。交AC于点0.四边形A3Q9为正方形,BDLAC,OD=OB=OA=OC

17、,：AE=CF=2,：.OA-AE=OC-CF,B P OE=OF,，四边形BED/为 平行四边形，且BD上EF,，四边形BE。尸为菱形，:.DE=DF=BE=BF,：AC=BD=S,0E=0F=Y=2,，由勾股定理得:E=JO D2 +2?=2、行,/.四边形BEDF的周长=4OE=4X2/=8A5，故答案为:8亚12.【答案】5 解析 .四边形A8CD是正方形，AC为对角线,/.ZME=45,XVEFAC,/.ZAFE=90,/.ZAEF=45,：.EF=AF=3,EFC的周长为12,：.FC=l2-3-EC=9-EC,在 RtA EFC 中，E(=EF2+FC2,：.EC2=9+(9-E

18、C)2,解得EC=5.13.【答案】（,+2,1）【解析】如解图，过点D 作 DGLBC于 G,DF，x 轴于 F,.在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=6 0 ,，4BCD 是等边三角形，.,.DF=CG=1BC=1,C F=D G=4，O F=4+2,，D（小+2,1）.C F a解图14.【答案】44 解析 如图，连接E G,作 GMLEN交硒的延长线于K在 RQEMG 中，：GM=4,M=2+2+4+4=12,EG=VEM2+GM2=V122+42=4/10,:EH=15.【答案】事 七 3-S 【解析】:A B C D 是正方形，.3=4=乎 AC,的取值范围与AC的长度直接相关

19、.如解图，当A,C 两点恰好是正六边形一组对边中点时，。的值最小，.正六边形的边长为1,，AC=小，A B=a=坐AC=*;如解图，连接M N,延长AE,BF交于点G,二正六边形和正方形ABCD,.MNG、zXABG、AEFG 为正三角形，设 AE=B F=x,则 AM=BN=l-x,AG=BG=AB=l+x=a,VGM=MN=2,ZBNM=60,BC a2 2sinZBNM=sin60=,木(1-x)=，仍(2 a)=，解得，a=潇7=3一小;正方形边长a 的取值范围是唳好3一小.c图【解析】如解图，过 N 作 N G LA B,交 AB于点G,.四边形 ABCD 为正方形，.AB=A D=

20、N G=/cm,在 RtAABE 中，ZBAE=30,A B=#cm,/.BE=1 cm,AE=2 cm,.F 为 AE 的中点，.,.AF=AE=1 cm,AB=NG在 RfABE 和 RfZXNGM 中，彳 ，/?rA A BE/?/NGM(HL),/.BE=,AE=NMGM,ZBAE=ZMNG=30,ZAEB=ZNMG=60,.,.ZA FM=90,即M N1AE,在/?rAAMF 中，NFAM=30,AF=1 cm,A E AF 1 2 s2c m,由对称性得到AM，=BM=AB-A M=，邛 =坐等于或 理cm.cm,综上，AM的长三、解答题1 7.【答案】解：(1)由题意知 EC=

21、2,AE=V10,如解图，过点E 作 EMJ_AC于点M,.,.ZEM C=90,易知NACD=45。，.EMC是等腰直角三角形，；.E M=小,.szt/EAC=W;(4 分)A 匕 J(2)在4 GDC 与 EDA 中，fDG=DE10=产+13方/13、2/6 9=-(r-y)2+)即S=一Q学 产+竽，13.当，了时，S 随f 的增大而增大，.当t=3 时，S 取得最大值，最大值为30；(3)当3s/8 时，如解图，过点F 作/。_LCO于点0,解图由/A =NO=90。，知四边形ADQR是矩形,FQ=AD=6 cm,VAD+DE=2r,AD=6cm,CD=10 cm,:.CE=(16

22、2r)cm,则此时 S=；x(1627)x6=4863V-6 JAE2+AF2 fiA E,:AE=4BE,:.EF=#AE=G 4BE=5BE,：.DE=EF-DF=5BE2BE=3BE,丝=亚,D E-3，2 1.【答案】(l)BG/CD；【解法提示】.四边形EFGC是正方形，CG=CE,/GCE=NGFE=NFEC=90,V ZACB=ZGCE=90,：.ZGCB=ZECA,:GC=CE,CB=CA,.6 后 g 4。36.又：/4。8=90。，BC=AC,D 是 AB 的中点，:.NCBG=ZG4E=45,ZBCD=45,：.ZCBG=ZBCD,：.BG/CD.(2)：CB=C4,CD

23、1AB,ZACB=90,：.CD=BD=AD=3,ZCBA=ZA=45,易得 CAEL CBG,：.ZCBG=ZA=45,：.ZGBA=ZGBC+ZCBA=90.,/ZBEN+ZBNE=90,ZBEN+ZCED=90,:.NBNE=NCED,ZEBN=ZCDE=90,:.NBEsAEDC,BN_BEED=CD,.y 3-r3，._卜 一I,(L3 寸2+3不,一 VO,时，y 的最大值为东(3)如解图，作 于点”.C3=C4,BD=CD,ZBCA=90,：.CDA.AB,CD=BD=AD=3,.*/八/_ 匹 _ 龙 tun DCE CD 3 9：.ZDCE=30,.四边形EFGC是正方形，：.EF=EC,：Z CDE=ZEHF=9 0 ,易证 NDCE=NHEF,:.ACDE 出 AEHF,；.NDCE=NHEF=3。,FH=DE,CD=EH,：CD=BD,：.BD=EH,：.BH=DE=FH,.BHF是等腰直角三角形，：.ZBFH=45,VZFH=90 ZHEF=60,：.NBFE=NBFH+NEFH=105.解图