2021年陕西省西安中学高考数学八模试卷（理科）（解析版）.pdf

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1、2021年陕西省西安中学高考数学八模试卷（理科）一、选 择 题（共12小题）.1.下列命题中的假命题是（）A.2门 0B.V x eN,(x-1)2 0C.3x 6R,IgxC lD.3.rG R,t a n x=22.设 a e(-1,1,y,3,则使函数），=F的定义域是R,且为奇函数的所有的值是（）A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,33.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设/为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r=0.6/g/,若 6.5级地震释放的相对能量为h,7.4级地震释放的相对能量为h,记=12，n约 等 于（)4.A.16B.20C.32D.9

2、0若 a 60,c d c dc9注D.产5.男、女学生共有8 人，从男生中选取2 人,从女生中选取1 人，共有30种不同的选法,其中女生有（）A.2 人或3 人B.3 人或4 人C.3 人D.4 人6.设(2x -1 )10=0+/+M 2+侬1 0,贝|J 0+。3+。5+7+9 的 值()A.1+312B 1-310c.D.7.数列 m 是等比数列，首项为2 2公比为q,则（0”是“数列 递增”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件的（）28.如图所示是一个无水游泳池，A B C D -A B C D 是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三

3、棱柱得到的.现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变）,水面与A B的交点为M,则AM的高度h随时间f变化的图象可能是（）B9.已知三棱柱A B C-4B 1G 的侧棱与底面边长都相等，BC的中点为。，4。，底面ABC,则异面直线A B 与 C G 所成角的余弦值为（）A.遮 B.近 C.近 D.4 4 4 41 0.黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在ABC中，角 4,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=2,解 得 8=60,根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件（）A.b=2

4、g C=90 B.A=30,c=4 C.6=2 ,A=30D.c=41 1.已知过抛物线G：y=2px（p 0）焦点尸的直线/与抛物线G 交于M、N 两 点（M 在x 轴上方），满 足 诬=3奔，l im|=，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方 程 为（）A.舄产+缶竽产卷B.（T）2+（y.2卷C.（x-3）?+（y-2v）2=16D-(x-3)2+(y-V 3)2=1612.己知函数/(x)=axi+bx2+cx+d(a WO),f(x)=g(x),给出下列四个结论，分别是：。0；/(x)在 R上单调；f(x)有唯一零点；存在xo,使得g(xo)0,a为参数).以y=s inC I

5、坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线/的极TT坐 标 方 程 为s in(8 -f-=3-(1)当r=l时，求曲线C上的点到直线/的距离的最大值；(2)若曲线C上的所有点都在直线/的下方，求实数，的取值范围.2 3 .己知函数/(x)=|2 x|+|x -1|,xeR.(I )求/(x)22的解集；(I I)若f(x)=有2个不同的实数根，求实数k的取值范围.参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1.下列命题中的假命题是（）A.VA-R,2 1 0 B.VxeN*,（x-1）20C.3

6、x6R,lgx 0 成立，故 A 项正确；.当X6N*时，x-1E N,可 得（x-1）2 2 0,当且仅当x=l时等号存在xe N*,使（x-1）20不成立，故 B 项不正确；.当 x=l 时;lgx=0.存在x e R,使得/g x 0 X 7 1 0 3 2故选：C.4.若 cV d V O,则一定有（)A MB.a x bc dc 9注D.旦一d .A、c dB不正确;Ta _一 93，-b-_d c1.C不正确，O 正确.解法二:V c J -d0,-ac -bd,.一 软。-b dc d c d-TT故选：D.5.男、女学生共有8 人，从男生中选取2 人,从女生中选取1人,共有30

7、种不同的选法,其中女生有（）A.2 人或3 人B.3 人或4 人C.3 人D.4 人解：设男学生有X人，则女学生有8-X 人，从男生中选2 人，从女生中选1 人，共有30种不同的选法，是组合问题,Cx2c8-=30,Ax(x-1)(8-x)=3 0 X 2=2 X 6 X 5,或 x(x-l)(8-x)=3X 4X 5.：x=6,8-6=2.或冗=5,8-5 =3.女生有：2 或 3 人.故选：A.6.设(2x-1 )1。=()+1X+22+410X?则 0+白 3+5+7+9 的 值()A 1+310 B 1-310 C 310-1 D-1+3102 2 2 2解：令展开式的 X-1 得 a

8、n+a 1 +02+,+a 0”是“数列 斯 递增”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解：由tn”-1)0 得 切 0 且夕 1,或 切 0 且 q 0 且 4 1 时，数列 斯 递增,当的 0 且 4 1 且 qWO时，数列不一定是递增数列，当 4。，即 m(q-l)q 0,即 ai(0 成立，即必要性成立，即“0(q-l)0”是“数列 “递增”的必要不充分条件，故选：B.8.如图所示是一个无水游泳池，ABC D-A1 B C D 是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的(单位时间内注

9、入的水量不变),水面与AB的交点为M,则AM的高度h 随时间f变化的图象可能是()B解：依题意及四棱柱ABC。-A B C D 可知，开始的一部分时间，随着，的增加，高度增加得逐渐平缓，之后随着 的增加，高度增速不变，故选：A.9.已知三棱柱ABC-的侧棱与底面边长都相等，8 c 的中点为O,4 C底面ABC,则异面直线AB与 CG 所成角的余弦值为（）A.叵 B.豆 C.近 D.4 4 4 4解：设 BC的中点为Q,连接Ai。、AD.A B,易知9=NAiAB即为异面直线A 8与 CCi所成的角并设三棱柱AB C-4 8 G 的侧棱与底面边长为1,则|A|=返，尸，|4 阴=返，2 2 2由

10、余弦定理，得 c o s e=i+i-3=g.T 4故选：D.1 0.黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在 A B C 中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,己知=2,解 得 8=6 0 ,根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件（）A.b=2 ,C=9 0 B.A =3 0 ,c=4 C.6=2,4=3 0 D.%=2,c=4解：A：a=2,b-2-2,C=9 0 ,t a n 8=,所以 B=6 0 ,4=3 0 ,可以；B：A=3 0 ,c4,a2,由正弦定理得，sinA sinC2=4所以工 s i

11、 n C，即 s i n C=l,2所以 C=9 0 ,B=6 0 ,可以;C：b2y2,a2,4=3 0。，由正弦定理得,2 二2 百sin300 sinB所以而8=立2因为h a,所以8A,故 8=6 0 或 1 2 0 ,不可以；D：0=2，*,c=4f。=2,由余弦定理得，c o s B=a?+c2-b2=&,：0二2 a c 2X2X4 2由 8为三角形内角得，8=6 0 ,。可以.故选：C.1 1.已知过抛物线G：y=2px（p 0）焦点尸的直线/与抛物线G交于M、N两 点（M 在X轴上方)，满 足 而=3诃，慌N|=，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方 程 为()A.产+

12、(厂竽)2考B.(x总 产+6-年产=竽C.(x-3)2+(y-2 V 3)2=16D.(x-3 )2+(y-V 3)2 =16解：如图，过点N作 N E _ L M M,由抛物线的定义，|M M|=|M F 1，|M V|=|N f.解三角形EMM得NE MF=1 ,所以直线/的斜率为O其方程为尸，与抛物线方程联立可得3 N -5 px+3 2=0,4.X1+X2=Pr3孕，:p=2,：.M(3,2 ),r=4,.圆的标准方程为(x-3)2+(厂2)占16.(x)=g(x),给出下列四个结论，分别是：。0；/(x)在R上单调；f C x)有唯一零点；存在x o,使得g(x o)0,即 3 a

13、 c,=b /b2-3 a c_ =_述2刍 邑,此 时 正 确，x 3 a X2-3 a若使正确，则a 0,g (x)开口向上，/(%)先增后减再增，若使正确，则/(为)0,即-b b 2-3 a c或J b 2-3 a c 上 有 满 足条件的a,b,c,例如a=l,b=,c=-2满足题意；若错误，则.f (x)在R上单调，且。0,那么g (x)2 0恒成立，与正确矛盾，不满足题意；若错误，则/(x)在R上单调，且a 0,那么g (x)2 0恒成立，此时f(x)有且仅有一个零点，满足题意.故选：C.二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共 计20分，其中第15题第一空2分，第二空3分)1

14、3.将一长为4,宽为2的矩形AB C力沿4 B、DC的中点E、尸连线折成如图所示的几何体，若折叠后A E=A 8,则该几何体的正(主)视图面积为，解：将一长为4,宽为2的矩形AB C 沿AB、0c的中点E、尸连线折成如图所示的几何体，若折叠后AE=4 8,则4 E B为等边三角形，所以底边B E上的高为h=l X si n 60 所以正视图的面积为S=4 X 乎=2、尽故答案为：2 y.14.在椭圆=1（a b 0）中，左焦点为F,右顶点为A,短轴上方端点为B,若N 4 B F=9 0 ,则该椭圆的离心率为近 二解：依题意可知A 产=A5+B尸,:.(a+c)2=辟+儿+/!+,.”2 =+c

15、2/.a2-d=ac,=e2+e-1=0.6=近 二 1（负值舍去）2 _故答案为：近 二.215.“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”“鬼谷算”“隔墙算”“大衍求一术”等，其 中 孙子算经中“物不知数”问题的解法直至1 8 5 2年传由传教士传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被3除余2,被 5除余3,被7除余2,求此数的问题.满足条件的数中最小的正整数是2 3 ；1 至 2 0 2 1 这 2 0 2 1

16、个数中满足条件的数的个数是2 0 .解：从 3和 5的公倍数中找出被7除 余 1的最小数1 5,从 3 和 7的公倍数中找出被5除 余 1的最小数2 1,最后从5和 7的公倍数中找出除3余 1的最小数7 0,用 1 5 乘以2 （2为最终结果除以7的余数），用 2 1 乘以3 （3 为最终结果除以5的余数），同理，用 7 0 乘以2 （2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加，即 1 5 X 2+2 1 X 3+7 0 X 2=2 3 3,用 2 3 3 除 以 3,5,7三个数的最小公倍数1 0 5,得到余数2 3,同理可得余下的数(前后两个数的差为1 0 5).将1 至 2 0 1

17、7 这 2 0 1 7 个数中满足条件的数依次为：2 3,1 2 8,2 3 3,3 3 8,4 4 3,5 4 8,6 5 3,7 5 8,8 6 3,9 6 8,1 0 7 3,1 1 7 8,1 2 8 3,1 3 8 8,1 4 9 3,1 5 9 8,1 7 0 3,1 8 0 8,1 9 1 3,2 0 1 8 共有 2 0 个,故答案为：2 3,2 0.1 6.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A (前轮)，圆。(后轮)的半径均为、石，AAB E,B EC,(?均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一

18、点，则在骑动该自行车的过程中，亚 丽 的 最 大 值 为 3 6 .解：据题意：圆 D (后 轮)的 半 径 均 为AAB E,B E C,均是边长为4的等边三角形.点尸为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则 A (-8,0),B (-6,2y),C (-2,2 折.圆。的方程为/+y 2=3,可设 P(/co s a,1/s i n a),0 W a 2 n,所以正=(6,2)，丽=(5/3 co s a+6,sinaF)故 正 而=6 s i n a+6 /co s a+2 4=1 2 (工 i n a+co s a)+2 42 2j r j r=1 2 s i n (a+-)+2 4

19、 1 2+2 4=3 6,当且仅当-时，取得最大值 3 6.3 6故答案为：3 6.三、解答题：本大题共5 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.新时代的青年应该注重体育锻炼，全面发展.为了强健学生体魄，陕西省西安中学决定全校学生参与课间健身操运动.为了调查学生对健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽取了 2 0 名男生和2 0 名女生的测试成绩（满 分 100分）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，并且认为得分不低于80分的学生为喜欢.（1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判定能否有85%的把握认为该校学生是否喜欢健身操与性别有关？中喜欢健身操的人数X 的分布列及

20、数学期望.参考公式及数据：心=-n（a-bc）-,其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)p（群2 公）0.1500.1000.0500.0250.0100.001ko2.0722.7063.8415.0246.63510.828织生wq攵生成建521451286532604594511-“56$h(20969解：（1）列联表如下:喜欢不喜欢合计男生 51 52 0女生 1 01 02 0合计 1 52 54 0二不的观测值 T 迤.兰 必1江 线1271 5 X 2 5 X 2 0 X 2 02.6 6 7 2.0 7 2,所以有8 5%的把握认为该校学生是否喜欢健身

21、操与性别有关.（2）由题意知X的可能取值为0,1,2,2 1 2P(X=0)=X=,4 2 8p(x=i)=3xLx=，4 2 4 2 2P(X=2)=工*2=工4 2 8所以X的分布列为：X012P3,S-22s-E(X)=0 X J 1XL 2 X 工=3.8 2 8 41 8.如图，四棱柱A B C Q-AIBIG CI的底面A B C。是正方形，O为底面中心，A 0 _ L平面AB C D,AB=AA=1y2-(1)证明：A i C _ L平面 8 B Q 1 D；（2）求平面O C B i与平面B B iDtD的夹角9的大小.【解答】（1）证明：由题意知O A、O B、两两垂直，建立

22、如图所示的空间直角坐标系，又因为 A 8=A 4 i =&,所以 O A =O C=O B=O O=O 4 =1,A j C=(-L 0,-1),OB=(0,1,0),B B =A A =(-L 0,1),因 为 布 祈=0,W 西=0,所以 4 C J _ O B,4 C J _ 8 B,所以AC,平面83QQ；(2)解：由(1)知平面88QO的法向量为7=A C=(-1,0，-1),=(-h 0,0),0B=(-1,1,1),平 面0 C 8 i与的法向量力=(x,y,z),0C wn=-x=00B n=-x-y+z=0令 z=-1,7=(0,1,-1),|cos0|I m,n|_ 1=1

23、|m|.|n rV 2-V 2-2所以平面OCB与平面B 8 1 9 D的夹角。的大小为6 0 .1 9.如图，在平面直角坐标系x O y中，角的终边与单位圆的交点为A,圆C N+y=3与x轴正半轴的交点是P o.若 圆C上一动点从尸o开始，以itradls的角速度逆时针做圆周运动，r秒后到达点P.设/G)=|4P/.(1)若0 行 且 任(0,2),求函数/(f)的单调递增区间;解：由已知和三角函数的定义可知，A(co s(p,s i n(p),P(、Bco s兀t,Js i n兀t)，所 以 /（/）=|A P|2二（co s e-孤co s兀 t）,（s i n。-as i n兀 t）2

24、=4-2V co s （冗 t-），TT TT（1）若。则/=4-2jco s（兀 t*w），o o令2k兀 兀t-2 k兀+兀，k E Z，解得2k 4*!t42k 4,k Z，又 怎（0,2）,所以函数f G）的 单 调 递 增 区 间 为 育,恭 若 f A）=4-2V co s（_-0）=2,可得co s（q _。）=写,O O S3因为军，所以 T萼 0，3 6 2 3故s i n（子 0）=-，卜co s&（；-3）=所以 f（1_）=4-2A/5co s）u oL .7 1 JT.=4-2v3co s （-Q）=4+2 s i n（-。）o=4+2 X （平）o=4-2瓜故 f

25、q）=4-2&.20.已知函数/（x）ex-（x+m）In（,x+m）+x,m2.(1)当?=1时，求函数在x=0处的切线方程;(2)证明：函数/(x)为单调递增函数.解：(1)函数/(无)的定义域为(-m,+8),对函数/(x)求导可得/(x)ex-In(x+m),m=1 时，f(JC)=e-(x+1)In(x+1)+x,则 f(x)ex-In(x+1),故7 (0)=1,f(0)=1,故切线方程是：y-l=x-0,即y=x+l；(2)证明：由 第(1)问可得/(x)=e-/”(x+机)，令 g(x)ex-(x+1),则 g (x)=-1,可 知 在(-8,o)上，g(x)0,即g(x)在(

26、-8,0)上单调递减，在(0,+OO)上单调递增，于是有g(x)-(x+1)N g (0)=0,即 2 1恒成立，构造函数人(x)=(x+1)-In(x+2),则/(x)=1,x+2可 知 在(-2,-1)上，h(x)0,即小(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，于是有 h(x)=(x+1)-In(x+2)(-1)=0,即 In(x+2)Wx+1 恒成立，当机W 2 时，In(x+m)Win(x+2)Wx+l 成立，综上可得，(x+机)，即有/(x)2 0,函数/(x)为单调递增函数.2 1.在平面直角坐标系X。)，中，。为坐标原点，M(V3 0)，0),已知 PMN周

27、长为定值4+27 3.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)过 M(J,0)作互相垂直的两条直线小li,小与动点尸的轨迹交于4、B,/2与动点 P 的轨迹交于点C、D,AB,C D的中点分别为E、F；证明：直线E F 恒过定点，并求出定点坐标.求四边形A C B D面积的最小值.【解答】(1)解：因为0),N(-V3-0)，则|MN|=2,又 周 长 为 定 值 4+2 V 3.即 1PM+|PN|+|MA 1=4+27 3-所以|PM+|PN|=4|MN|,所以动点尸的轨迹为以M,N 为焦点的椭圆，a2,c=F，则 b=l,2所以动点P的轨迹方程为，+)2=1.4(2)证明：若八与x 轴重合，则

28、直线人与动点P 的轨迹没有交点，不符合题意；若/2与 X轴重合，则直线/2与动点尸的轨迹没有交点，不符合题意；设直线/!的方程为x=m y+4 2(,W0),则直线h的方程为x=-)，+,m直 线(、/2均过椭圆的焦点(椭圆内一点)，11、/2与椭圆必有交点，,(x=my+V3,r-设 A (xi,y),B(必 然)，由,得 0 层+4)y2+2jO fny-1=0,Ix+4y2=4由根与系数的关系得6+”=-2 卓 三，则加+及=m(yi+y2)+2=与 巨，m+4IR+4所以点E的坐标为（言 应,m +4娟 m、-）+4同理可得点F（华m2,二 学 一）,4 mJ+l 4 m +1V 3

29、m V 3 m-9 *9m +4 4 m +1直线E F的斜率为kEF=z r 小6 4A/32 94m+l m +451n4(m2-l)(mWl)，直线E 尸的方程是y+_5mm2+4 4(m2-l)a学)m+4nn 5 m 4 f(m2-1)5 m2,4 、即 尸-5-lx-5-=-尸-5-(X -).4(m-l)m +4 5(m2+4)4(mJ-l)5当?=1 时，直线E F 的方程为x=之巨，直线E F 过 点 的(&S,0),5 5综上，直线E 尸过定点（至 巨，0）.5解：由可得|+丫 2=-）1 =-7 mz+4 m +4所以H B I*i+m 2 M 7 2|=d i+m 2

30、j(y i+y 2)2-4 y i y 24(1+i n 2)m2+44(l+-y)2、同理可得 I C O|=2=1 U 1 S!-2为+4 4 m 2+1所以四边形A C B O 的面积为:5=抑|3|=8(I R2+1)2(m +4)(4m 2+l)8(m 2+l)2,m 2+4+4m 2+l、2=f f 当且仅当那(-n-)1 时取等号，因此，四边形A C B D的面积的最小值为弟.25请考生在第22、2 3 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,的第一个题目计分，作答时请用2 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.则按所做I v=+c n s Cl22.在平面直

31、角坐标系x O y中，已知曲线C的参数方程为1（r 0,a为参数）.以 y=s i n C I坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线/的极TT坐 标 方 程 为s i n（8 =3-（1）当f=l时，求曲线C上的点到直线/的距离的最大值；（2）若曲线C上的所有点都在直线/的下方，求实数f的取值范围.JT解：（1）直线/的极坐标方程为如p s i n（8 咛）=3，即 p s i n e+p c o s 9=3,化为直角坐标方程是x+y-3=0,t=时，曲线cJx=cosa上的点到直线/的距离为l y=s i n C I,|c o s a +s i n a -3

32、|d=V2J T_ I V 2s i n（C l-H ）-3|GTT当s i n（a +丁）=-l时,4/加+3|_ 2+3加d*-2，即曲线c上的点到直线/的 距 离 的 最 大 值 为 返；2（2）.曲线C上的所有点均在直线/的下方，对V a E R,有 r c o s a+s i n a -3 V o 恒成立，即）3（其中t a n。二:）恒成立，AV t*2+l 0,.解得0 t 2加,实数，的取值范围是（0,2&）.23.己知函数/（x）=|2x|+x-l|,xeR.（I）求/（x）2 2的解集；（I I）若f （x）=履 有2个不同的实数根，求实数上的取值范围.-3 x+l,x=C 0解：(/)f(x)=2x+x-1|=x+1,0 x l,3 x-l,xl由-3 x+l 2 2,解得：x W -1，由x+122,解得：x 2 1,无解,由 3 x-122,解得：x 21,故/(1)2 2的解集是 x|x 21或x 4 .(I I)由图易知：k0A得必.仁3,koAk即 2C Z V 3,