2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合解答题》培优提升训练(附答案).pdf
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1、2022-2023学年九年级数学中考复习 圆综合解答题培优提升专题训练(附答案)1 .如图,为。的内接三角形,为。的直径,将N8 C沿直线N 8折叠得到4A B D,交。于点。.连接C。交 于 点E,延长8。和C 4相交于点P,过 点/作Z G CD交 B P 千点、G.(1)求证:直线G Z是。的切线;(2)求证:A C2=G D B D;(3)若 tan/4 GB=声,P G=6,求 c o s/P 的值.2 .已知:如图,/8 C中,A B=A C=5,8 c=6,点。在上,以。为圆心,OB 为半径画O O,分别与边工8、8 c相交于点。、E,E F1 A C,AH LB C,垂足分别为
2、R H.(1)求证:跖 是。的切线;(2)设0 8=2,求E C的长;设O8=f,求/C的 长(用 含,的代数式表示).3 .己知R tZ UBC,两直角边Z 8与4 c之和为4,作/8 C的外接圆,点。为圆心.(1)如 图1,连结0 4,当菽:9 0时,求。力的值.(2)如图2,过点工作于点。,点E为4 C中点,连结DE,(3)如图3,作/历/C的平分线交8 c于点F,线段N F是否存在最大值?若存在,请求出/尸的最大值;若不存在,请说明理由.图1图2图34.如图,已 知 是。的直径,弦于点E,点尸是线段C。延长线上的一点,连 结 应 交。于点G,连结C G交“,于点P,连结C 4.(1)求
3、证:Z A C G=ZF.(2)如图,若C 4=C G,求证:A G=C D.(3)如图,连结。G,A E=8.BE=2.若ta n/二旦,求“尸的长;4求Z GDG的最大值.5 .如图,在锐角三角形N 8 C中,AB=B C,以8 c为直径作0。,分别交N8,AC于点D,E,点尸是8。的中点,连接BE,C户交于点G.(1)求 证:C E=DE.(2)若N 4 B C=4 5。,B O=r,求线段4。的长(用含/的代数式表示).(3)若8 c=3 4),探索C G与尸G的数量关系,并说明理由.6 .定义:圆心在三角形的一条边上,并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆,相切的边
4、称为这个圆的切边.(1)如 图1,/8 C中,A B=CB,/Z=3 0,点。在/C边上,以0 c为半径的0。恰好经过点8,求证:是/BC的切圆.(2)如图2,4 BC中,A B=A C=5,B C=6,。是4 8。的切圆,且另外两条边都是。的切边,求。的半径.(3)如图3,/8 C中,以Z 8为直径的。恰好是 NBC的切圆,4 C是。的切边,。与5 c交于点尸,取弧8尸的中点。,连接4。交8 c于点E,过点E作 EH L4B 于点、H,若 b=8,8/=1 0,求Z C和E 4的长.7.如 图1、己知/、B、。在。上,经过点。且 与 垂 直 垂 足 为 点 ,点 尸是线段“8上的一个动点(不
5、与H,8重合),连 接。尸并延长与。交于点C,过 点C作。的切线C E交AB的延长线于点E.(1)求证:E C=E F;(2)如图 2,连 接/C,DE,DB,C B,已知N/C =6 0,当时,求8 .如 图1,四边形488内接于。,2。为直径,俞上存在点E,满 足 定=而,连结2 E并延长交8 的延长线于点尸,B E与AD 交于点、G.(1)若N D B C=a,请用含a的代数式表示/N G 8;(2)如图 2,连结 C E,C E=B G.求证:E F=D G;(3)如图3,在(2)的条件下,连结C G,AD=2,求CG的最小值.图1图2图39.请仅用无刻度直尺完成下列画图,不写画法,保
6、留画图痕迹(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果).(1)如图,正六边形4 B C D E F中,G为8 C上一点,连接Z G.连接NE,G E,在 图1中过点G画一条直线平分 GE/的面积;将/BG绕点O旋 转1 8 0得到 ),在图2中画出旋转中心点0和AD EH;(2)如图3,弦4 B,BC,8 是。的内接正五边形/8 C DE的三条边,在图中画出另两边/E,以及圆心。.1 0.已知,为。的直径,弦Z C、C E交于点F,连接OF,DF=A F.(1)如图 1,求证:N C F O=N EF O;(2)如图 2,连接 若N/8 E+2 NR 9 4=9 0,求证:FA=FO-,(3)如图
7、3,在(2)的条件下,连接尸。并延长交8 E于 点0,若C F 7 F=8,E Q:8 0=1 3:5,求 08 的长.如 图1,A B,8 c是。的两条弦,M是弧4 c的中点,MD LB C于点、D,点E为C D上一点,S.C E=A B,连接 Z M、B M、CM.E M.(1)求证:A AB M必 C E M;(2)求证:A B+BD=DC.【探究应用】(3)如图2,已知等边/BC内接于。0,/8=3施,。为。上一点,ZA BD=4 5 ,连接 8,过点工作于点E,求 8 OC的周长.MA图1图21 2.如 图,N8 C内接于。,点。在A C上,射 线/。交8。于点E,Z A E D=Z
8、A BC.(1)求证:BDL A Cx(2)当/C 4 E=/C 8。时,求证:A B=A C;(3)在(2)的条件下,延长8。交。于点尸,连接4 F,若ta n/DA F弓,S;ABE=1 5,求0。的半径.1 3.如图,点/、8、C、。是。上的点,弦/C、B D 交于点、E,连接/。,N C E D=N C D A.(1)如 图1,求证:BC =C D;(2)如图2,连接若 AB+AD=6 4C,求证:8。为0。直径,(3)如图3,在(2)条件下,点尸在4 0上,点G在 8上,连接。G、E F、FG,BD=3近,G=V1 0-E F/CD,ZA GF+ZB=4 5 ,求/E 长.图1图2图
9、31 4.如图,已知矩形0Z 8 C,A(6,0),C(0,4),。是矩形O/边上的一点且满足N O C D=4 5 ,点尸从点0(-6,0)出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为f秒.(1)求点D的坐标;(2)当N D C P=1 5 时,求f的值;(3)以尸为圆心,P C为半径的圆P随点P的运动而变化,当圆尸与四边形/B C D的边(或边所在的直线)相切时,直接写出f的值.名用图1 5.如 图1,N 8为圆。直 径.点。为1 8下方圆上一点,点C为弧4 8。中点,连 结C Z),CA.(1)若NA BD=7 0 ,求N 8ZJC 的度数;(2)如图2,过点C作C E L 4
10、 B于点H,交AD于点E,Z C AD=a,求N ZC E (用含a的代数式表示);(3)在(2)的条件下,若0/7=5,A D=2 4,求线段。E的长.图1图2备用图1 6.概念认识与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第/类圆;与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第I I类圆.初步理解(1)如图,四边形/8C Z)是矩形,03和。2都与边力。相切,。2与边相切、。1和。2都经过点8,。3经过点。,3个圆都经过点C,在这3个圆中,是矩形4 8 c o的第I类圆的是,是 矩 形 的 第H类圆的是.计算求解(2)已知一个矩形的相邻两边的长分
11、别为4和6,请求出它的第I类圆的半径长.深入研究(3)如图,已知矩形A B C D,用直尺和圆规作出矩形A B C D经过点C和点D的第I类圆.(保留作图痕迹,不用写出作图步骤)1 7.(1)如图,/BC内接于/B=8 C=/C,点。在。0上.求证:BD=A D+CD.小明和小红在解决该问题时,有两种不同的添加辅助线的方式:小明的作法在。上截取。连接.小红的作法延长 8 至点N,使得。N=4),连接力 请选择其中一种作法,完成证明:(2)如图,4 8C内接于。8 C是。的直径,点。在O。上.求证:B D=A D+C D.(3)如图,/8C内接于。,8 C是。的直径,ZA BC=3 0 ,点。在
12、。0上.则A D、B D、C 之间的数量关系是(1)如 图1,求证:A D L B C;(2)如图2,连接C D,OC,过点、E作E FOC交C D于点、F,若/C=5 C,求证:点厂是8的中点.(3)如 图3,在(2)的条件下,点G在/C上,C G;C E=1:2,过 点G作于点“,交/。于点K,若t a n/4 C E=,H K=,求线段C D的长.图1图2图31 9.如图,4 8为。的直径,点C是。上一点,C Q与。相切于点C,过点8作80 J_D C,连接/C,BC.(1)求证:8 c是 的 角 平 分 线;(2)若 BD=3,4B=4,求 BC 的长;(3)在(2)的条件下,求阴影部
13、分的面积.2 0.苏科版九年级(上册)教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题:1 .如 图(1),在。的内接四边形力8 a)中,8。是 的 直 径,/A与N C、N AB C 与N/QC有怎样的数量关系?2 .如 图(2),若圆心。不在。的内接四边形/8 CD的对角线上,问 题(1)中发现的结论是否仍然成立?(1)小明发现问题1 中 的/与/C、/8 C与N/OC都满足互补关系,请帮助他完善问 题 1 的证明:是。的直径,.4+/C=1 80 ,.四边形内角和等于3 60 ,(2)请回答问题2,并说明理由.(3)如 图(3),点 4 B、C、D、E、尸在上,A D/E F,CE/
14、A B,请用上面发现的结论证明CD/BF.图 参考答案1.(1)证明:.,将 沿 直 线 折 叠 得 到48 Z),:.BC=BD.点 8在CD 的垂直平分线上.同理得:点/在C。的垂直平分线上.:.ABCD 即 OACD,:AG/CD.:.OA1GA.,:OA是。0的半径,二直线GA是。的切线;(2)证明:.7 8为。的直径,A ZACBZAD B=90.乙48。+/历10=90.V ZGAB=90,:.ZGAD+ZBAD=90.二 N ABD=/G 4D.:NADB=/ADG=90,:.B4DSA4GD.A D B DG D A D:.AD2=GD-BD.:AC=AD,:.ACGD+BD;
15、(3)解:tanZAGB=2,ZADG=90,.理 仍G D.*.AD=V2GD.:AD2=GDBD,:.BD=2GD.V A D=A D,/GAD=ZGBA=A PCD.:AG CD,:.NPAG=NPCD.:./PAG=NPBA.ZP=ZP,工 AR4Gs/PBA.:.PA2=PGB*:PG=6,BD=2GD,以 2=6(6+3G D).V ZADP=90,:.PA2=AD2+PD.:.6(6+3G。)=(V 2 G D)2+(6+G Q)2.解得:G O=2 或G O=0(舍去).:.PD=8,力。=6&,2.证明:(1)如图1,连接。,?OE=OB,ZB=ZOEBfuAB=ACf:.N
16、 B=/C,:/OEB=/C,:.OE/AC,:.ZOEF=ZEFCf9EFAC,A ZFC=90 ,:.ZOEF=90,:.EFLOE,点七在。上,族 是。的切线;(2)如图2,连 接。E,:BOEsXBAC.B E _ 0E,B C 一 而.B E _ 26 512:.BE=,5.-12 185 5:AB=AC,2:BC=6,:BH=3,由知喈楮:.BE=,559:AHLBC,EFA.AC,:/AHB=/EFC=9。,:NOBE=NC,:.AABHsAEFC,.-A-B -_-B-H ,EC C F.5 36t _ C F 6 万5 253.(1)解:V ZBAC90Q,是G)O 的直径.
17、菽?90。,A Z ABC=45./.Rt A SC 为等腰直角三角形.:.BA=AC.:两 直 角 边 与 N C 之和为4,:.BA=AC=2.A5C=VAB2+A C2=272-;.O A*B C=g.(2)证明:8 c 于点。,点E 为/C 中点,DE-;A C =AEEC.:.ZEDA=ZEAD.:/A 4c=90,ADVBC,/ABD/CAD.:.ZB=ZDAC.:./A D E=/B.;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半,.7*余.=2.菽 2N/E.(3)解:线段/尸存在最大值,理由:过点F作ED_L49于点。,FEL4 c于点E,如图,V ZBAC=90,FDA.AB,F
18、ELAC,四边形4。尸为矩形.ZBAC=90,ZF 是 NA4c 的平分线,./8=N C/F=45.矩形ZDFE为正方形.:.FD=FE=AD=AE,/P=JDF.设正方形/。尸E的边长为x,BD=m,/.DF=AD=AE=x,AB=xm.VAC+AB=4t/AC=4-x-m.yDF/AC,:.XBDFsXBAC.B D D FBA AC.-m-X:-x-.x+m 4-x-m二 工2+用工=4加-mx-m2.x2+2mx+m24m.即:(x+w)2=4/77.,x0,m0,x+m=2lEL.*.x=-/H+2fm=(ViiiT)2+l-l.5 5.四边形力。G是圆的内接四边形,A ZACE+
19、ZAEG=SO.:.sin ZAGD=sin NACE=*=-.A C 4V 5 5S:=-1 XAGDGsinZAGD=-AGDG,.当SDG取最大值时,最大.:点G为加上任意一点,当点G为薪的中点时,NOG的面积最大.若G为俞的中点,连接0 G,交/。于点,如图,贝|JOG_L/。,S.AH=DH=AD,2:ADAC45,:.AH=HD=25.,O ROA2 f H 2=遥.:.HG=OG-OH=5-5.二 S仙G 总 甘 X4立 X(5-V 5).OG=X4石 义(5-V 5).G G的最大值为:50-10VS.5.(1)证明::B C是。的直径,A Z BEC=90,又,:AB=BC,
20、:.ZABE=ZCBE,*CE=DE;(2)解:如图,连接CD:.ZBDC=90,V ZABC=45,BC=2BO=2r=AB,:.BD=BC-cos45=2 rX X2:.AD=AB-BD=(2-V2)=2r,(3)解:GC=3FG,理由如下:如图,连接。E,A;BC=3AD=AB,:.BD=2AD,点/是3。的中点,:,AD=DF=BF,:AB=BC,:.ZBEC=90,*AE=ECi:DEFC,FC=2DE,:BFGsXBDE,F G B F 1D E B D 2:DE=2FG,:FC=4FG,:.GC=3FG.6.(1)证明:连接0 8,如图,N 4=NC=30.:.ZCAB=S0-Z
21、A-ZC=120.:OB=OC,:.ZOBC=ZC=30.:.ZOBA=ZCBA-NOBC=90。.即 OBLBA.是圆的半径,与。O相切.圆心。在ZC边上,。是/B C的切圆;(2)解:当圆心。在8 c边上,。0与4B,/C边相切于点M,N时,连接。力,OM,O N,如图,:.OMYAB,ON A.AC,/O 平分 N8/C.:AB=AC,:.AOLBC,OB=OC=BC=3.2:AOBO,OMLAB,.一O B BH,AB OB.3 BM n 一.5 3g5M=A/OB2-BM 专;J当圆心。在ZC边上,。与8 c边相切于点M,N时,连接。河,ON,B O,过 点/作/_L8C于点H,如图
22、,设 OM=ON=r,AB,8 c 是。的切线,OMAB,ONBC.:AB=AC,AHLBC,:.B H=C H=LBC=3,2汇 辞=4.sAABC 4-X5CMH=1X6X4=I2-,*S&ABC=S&ABCScBcr:.XAB J X 8C r=12.2 2yX 5r+x 6r=12.“丝11综上,。的 半 径 为 或-金;5 11:AB为O O 的直径,:.AFBC.:。是a/B c 的切圆,z c 是。的切边,:.ABAC.,AACFsBAF.AF BF*CF AF.AF _10 8 AF.AF=4yj5.,.C=7C F2+A F2=V A F2+B F2=6V 5-o是弧8尸的中
23、点,4FAD=NBAD.册 _ A F _ 4代 _ 2*B E-A B 67 5 下.设 FE=2k,则 8=3 左,;BF=FE+BE=10,/.2 什3左=10.:k=2,;EF=4,BE=6.:EH LAB,ACLAB,:.EH/AC.B E EH.B C A C.6 _ EH*8+10 12.77=4.7.(1)证明:连接。C,是。的切线,A ZOCD+ZECD=90,:DHLAB,:.NHDC+NHFD=90,:0D=0C=r,NHDC=/OCD,/HFD=NCFE,:.NCFE=NECD,:.EC=EF;(2)证明:u:ZACD=60,且N 4CD与NN3O都是弧力。所对圆周角,
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