2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国,高中数学联合竞赛加试试题(A卷).pdf

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1、2023 年全国中学生数学奥林匹克(预赛)暨 2023 年全国高中数学联合竞赛 加试试题(A 卷)一、一、(本题满分本题满分 40 分分)如图，是以 AB 为直径的固定的半圆弧，是经过点 A 及上另一定点 T 的定圆，且的圆心位于ABT 内，设 P 是的弧(不含端点)上的动点，C、D是上的两动点，满足：C 在线段 AP 上，C、D 在直线 AB 的异侧，且 CDAB.记CDP的外心为 K.证明：(1)点 K 在TDP 的外接圆上；(2)K 为定点.(答题时请将图画在答卷纸上答题时请将图画在答卷纸上)二、二、(本题满分本题满分 40 分分)正整数 n 称为“好数”，如果对任意不同于 n 的正整数

2、 m，均有22 22，这里表示 x 的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.三、三、(本题满分本题满分 50 分分)求具有下述性质的最小正整数 k：若将 1,2，k 中的每个数任意染成红色或蓝色，则或者存在 9 个互不相同的红色的数1,2,9满足1+2+89，或者存在 10 个互不相同的蓝色的数1,2,10满足1+2+9 10.四、四、(本题满分本题满分 50 分分)设=1+104.在 20232023 的方格表的每一个小方格中填入区间1，中的一个实数.设第 i 行的总和为，第 i 列的总和为，1 2023.求122023122023的最大值(答案用含 a 的式子表示).DCABTP