D11-1对弧长和曲线积分96855省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

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1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长曲线积分对坐标曲线积分对面积曲面积分对坐标曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第1页第一节一、对弧长曲线积分概念与性质一、对弧长曲线积分概念与性质二、对弧长曲线积分计算法二、对弧长曲线积分计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一型曲线积分 第十一章 第2页一、对弧长曲线积分概念与性质一、对弧长曲线积分概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件质量,1.1.引例引例:曲

2、线形构件质量采取机动 目录 上页 下页 返回 结束(其中 为 n 个小弧段最大长度)第3页设 是空间中一条有限长光滑曲线,义在 上一个有界函数,都存在,上对弧长曲线积分,记作若经过对 任意分割局部任意取点,2.定义定义以下“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件质量和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页假如 L 是 xoy 面上曲线弧,假如 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思索思索:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分特例?否!对弧长曲线积分要求 ds

3、 0,但定积分中dx 可能为负.第5页3.性质性质（k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页二、对弧长曲线积分计算法二、对弧长曲线积分计算法基本思绪基本思绪:计算定积分转 化定理定理:且上连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分依据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页点设各分点对应参数为对应参数为 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页说明说明:所以积分限必须满足(2)注意到 所以上述计算公式相当于“换元法”.所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页假如曲线 L 方程为则有假如方程为极坐标形式:则推广推广:设

4、空间曲线弧参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页例例1.计算其中L是抛物线与点 B(1,1)之间一段弧.解解:上点 O(0,0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页例例2.计算半径为 R,中心角为圆弧 L 对于它对称轴转动惯量I(设线密度=1).解解:建立坐标系如图,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页例例3.计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页例例4.有二分之一圆弧其线密度 解解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页课堂练习课堂练

5、习.计算其中L为提醒提醒:L 分为四段进行计算：化为定积分,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页例例5.计算曲线积分 其中为螺旋一段弧.解解:线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页例例6.计算其中为球面 被平面 所截圆周.解解:由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页思索思索:例6中 改为计算解解:令,则圆形心在原点,故,怎样机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页例例7.计算其中为球面解解:化为参数方程 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页课堂练习课堂练习.L为球面三个坐标面交线,求其形心。在第一卦限与提醒提醒:如图所表示,交线长度为由对称性,

6、形心坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页内容小结内容小结1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧 长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页思索与练习思索与练习1.已知椭圆周长为a,求提醒提醒:原式=利用对称性分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页2.设均匀螺旋形弹簧L方程为(1)求它关于 z 轴转动惯量(2)求它质心.解解:设其密度为(常数).(2)L质量而(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页故重心坐标为第二节 目录 上页 下页 返回 结束 3.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域边界,求提醒提醒:分段积分第25页教材疑难题教材疑难题p161.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上上下下4.求圆绕 x 轴旋转而成圆环体表面积 S.提醒：提醒：利用对称性，只计算右半部份，因为第26页