江苏省泰州中学2023-2024学年高三上学期期初调研数学试题含答案.pdf

《江苏省泰州中学2023-2024学年高三上学期期初调研数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省泰州中学2023-2024学年高三上学期期初调研数学试题含答案.pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分一、选择题：本题共分一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3A，20,xBxxZx，则AB（）A 1,2B.0,1,2,3C.1,2,3D.0,1,22.已知复数2i34iz，则|z（）A.5B.55C.15D.223.已知等比数列

2、 na的前n项和为nS，且32S，53S，64S成等差数列，则数列 na的公比q（）A.1 或12B.1或12C.12D.124.若双曲线2288kyx的焦距为 6，则该双曲线的离心率为（）A.3 24B.32C.3D.1035.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量,ABx y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosAPxyxy，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转角得到点 P.已知平面内点1,2A，点12,22 2B，把点 B 绕点 A

3、 沿顺时针方向旋转4后得到点 P，则点 P 的坐标为（）A 2,1B.4,1C.()2,1-D.0,16.已知3cos,0,1252，则cos3（）A.34 310B.45C.210D.210.江苏省泰州中学2023-2024学年高三上学期期初调研数学试题第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司7.已知函数 sinf xx（0，02）的部分图象如图所示，则 f的值为（）A.32B.22C.12D.328.若关于x的方程1e0eexxxxmx有三个不等的实数解123,x xx，且1230 xxx，其中Rm，e2.71828为自然对数的底数，则3122312111eeexxxxxx 的值为

4、（）A.eB.2eC.e1D.2e1二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知0a，0b，21ab，下列结论正确是（）A.12ab的最小值为 9B.22ab的最小值为55C.22loglogab的最小值为3D.24ab的最小值为2 210.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜

5、爱程度，某学校从全校学生中随机抽取 200 名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（）喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生8020女生7030参考公式及数据：22n adbcabcdacbd，nabcd.当0.05时，3.841x.A.从这 200 名学生中任选 1 人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为25的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选 3 人，恰有 2 人不喜欢天宫课堂的概率为964C.根据小概率值0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为 80，女生的平

6、均成绩为 90，则参加测试的学生成绩的均值为 8511.（多选题）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为a，线段11B D上有两个动点E，F，且22EFa，以下结论正确的有（）A.ACBEB.点A 到平面BEF距离为定值C.三棱锥ABEF的体积是正方体1111ABCDABC D体积的112D.异面直线AE，BF所成的角为定值12.已知0e sine sinyxxyxy，则（）A.sinsinxy B.coscosxy C.sincosxy D.cossinxy 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知“212102x,

7、xmx ”是假命题,则实数m的取值范围为_.14.数据23,76,45,37,58,16,28,15,53,24,42,36的第 25 百分位数是_.15.已知随机变量,X Y，其中 216,(2)0.33XBYNE XE YP Y，则(6)P Y _.16.定义在实数集R上的偶函数 f x满足2(2)24()()f xf xfx，则(2021)f_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司17.在ABC中，cos(3sin)sin c

8、osBabCbBC（1）求B；（2）若2,caABC的面积为2 33，求ABC的周长18.已知等差数列 na和等比数列 nb满足111231961,15abaabaab.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）记21lognncb，求数列21nnnca a的前n项和nS.19.如图 1，在ABC中，2AC，90ACB，30ABC，P 是AB边的中点，现把ACP沿CP折成如图 2 所示的三棱锥ABCP，使得10AB=.（1）求证：平面ACP平面BCP；（2）求二面角BACP的余弦值.20.现有甲、乙、丙、丁等 6 人去参加新冠疫苗的接种排队，有 A、B、C、D 4 个不同的窗口供排队等候接种

9、，每个窗口至少有一位同学等候（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；（2）设随机变量 X 表示在窗口 A 排队等候的人数，求随机变量 X 的期望21.已知椭圆2214xy的左右顶点为 A、B，直线 l：1x.已知 O 为坐标原点，圆 G 过点 O、B 交直线l 于 M、N 两点，直线 AM、AN 分别交椭圆于 P、Q.第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（1）记直线 AM，AN 的斜率分别为1k、2k，求12k k的值；（2）证明直线 PQ 过定点，并求该定点坐标.22.已知函数 ee1Rxxf xaax a，f x既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a取值范围；（2）当01a

10、时，1x、2x分别为 f x的极大值点和极小值点，且 120f xkf x，求实数k的取值范围.的第 1 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年秋学期高三年级期初调研考试学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷数学学科试卷时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3A，20,xBxxZx，则AB（）A.1,2B.0,1,2,3C.1,2

11、,3D.0,1,2【答案】C【解析】【分析】化简集合 B，利用并集概念及运算即可得到结果.【详解】由题意可得：2|0,1,2xBxxZx又1,2,3AAB12 3，故选：C【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.2.已知复数2i34iz，则|z（）A.5B.55C.15D.22【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算，得到z，再根据复数的模长公式即可得到结果.【详解】因为2i34i2i211i34i34i(34i)2525z则211i2525z，所以22211525255z故选:B.第 2 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司3.已知等比数列 na的前n项和为

12、nS，且32S，53S，64S成等差数列，则数列 na的公比q（）A.1 或12B.1或12C.12D.12【答案】A【解析】【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式计算可得.【详解】32S，53S，64S成等差数列，536624SSS，即12345123123456624aaaaaaaaaaaaaa，整理得4545666444aaaaa，即6544220aaa，40a，2210qq，解得1q 或12q .故选：A4.若双曲线2288kyx的焦距为 6，则该双曲线的离心率为（）A.3 24B.32C.3D.103【答案】A【解析】【分析】直接求出 k，即可求出离心率.【详解】因为2288k

13、yx为双曲线，所以0k，化为标准方程为：22181yxk.由焦距为 6 可得：813ck，解得：k=1.所以双曲线为22181yx.所以双曲线的离心率为33 248cea.故选：A5.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量,ABx y，把AB绕第 3 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司其起点沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosAPxyxy，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转角得到点 P.已知平面内点1,2A，点12,22 2B，把点 B 绕点

14、 A 沿顺时针方向旋转4后得到点 P，则点 P 的坐标为（）A.2,1B.4,1C.()2,1-D.0,1【答案】D【解析】【分析】先求出AB的坐标，再根据旋转角求出AP的坐标，然后设出点 P 的坐标，解出即可.【详解】解：由题意可知2,2 2AB，把点B绕点 A 逆时针方向旋转74，得到点P，设,P x y，则77772cos2 2sin,2sin2 2cos1,34444AP ，所以1123xy ，解得0 x，1y ，所以点P的坐标为()0,1-，故选：D.6.已知3cos,0,1252，则cos3（）A.34 310B.45C.210D.210【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的

15、基本关系求出sin12，再根据coscos3412利用两角和的余弦公式计算可得.【详解】解：因为0,2，所以7,1212 12，又3cos125，所以2sin1 cos121254，第 4 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以coscos3412coscossinsin42412132422525210 故选：C7.已知函数 sinf xx（0，02）的部分图象如图所示，则 f的值为（）A.32B.22C.12D.32【答案】C【解析】【分析】利用给定图象求出，进而求出即得函数 f x解析式，再代入求解作答.【详解】由 30sin2f，02，得3，由4,Z153kk，又0，得155,

16、N44kk，观察图象知，1 244151 24215，解得151584，则51,2k，因此，5sin()23f xx，所以 51sin()sin()23232f故选：C8.若关于x的方程1e0eexxxxmx有三个不等的实数解123,x xx，且1230 xxx，其中Rm，e2.71828为自然对数的底数，则3122312111eeexxxxxx 的值为（）第 5 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司A.eB.2eC.e1D.2e1【答案】B【解析】【分析】令exxt，则有20(1)e01etmtmtmt，令函数()exxg x，画出其图象，结合图象可得关于t的方程2(1)e0tmtm一

17、定有两个实根1t，212(0)t tt且111exxt，32322eexxxxt，即可求解【详解】解：由关于的x方程1ee00eee1exxxxxxxmmxx，令exxt，则有2e0(1)e01tmtmtmt，令函数()exxg x，则1()exxg x，当1x 时()0g x，当1x 时()0g x，()g x在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，其图象如下：要使关于x的方程1e0eexxxxmx有 3 个不相等的实数解1x，2x，3x，且1230 xxx，第 6 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司结合图象可得关于t的方程2(1)e0tmtm一定有两个实根1t，212(0)t

18、tt，且111exxt，32322eexxxxt，由韦达定理知，12(1)ttm，1 2et tm，1232231212(1)(1)(1)(1)(1)eeexxxxxxtt，又121 212(1)(1)()1(e)(1)1ettt tttmm ，可得12322312111eeeexxxxxx ，故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是通过换元，将较复杂的方程转化为一元二次方程，再利用导数工具说明函数的单调性.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

19、求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知0a，0b，21ab，下列结论正确的是（）A.12ab的最小值为 9B.22ab的最小值为55C.22loglogab最小值为3D.24ab的最小值为2 2【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可.【详解】因为0a，0b，21ab，所以1212222225529babaababababab，当且仅当22baab，即13ab时取等号，12ab取得最小值 9，故 A 正确；222222211 2541555abbbbbb，根据二次函数

20、的性质可知，当25b，15a 时，22ab取得最小值15，故 B 错误；因为1222abab，即18ab，当且仅当122ab，即4,112ab时取等号，所以22221loglogloglog38abab，即22loglogab最大值3，故 C 错误；的第 7 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司2242 242 22 2ababab，当且仅当122ab，即4,112ab时取等号，此时24ab取得最小值2 2，故 D 正确故选：AD10.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取 200 名学生进行问

21、卷调查，得到以下数据，则（）喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生8020女生7030参考公式及数据：22n adbcabcdacbd，nabcd.当0.05时，3.841x.A.从这 200 名学生中任选 1 人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为25B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选 3 人，恰有 2 人不喜欢天宫课堂的概率为964C.根据小概率值0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为 80，女生的平均成绩为 90，则参加测试的学生成绩的均值为 85【答案】BC【解析】【分析】根据古典概型的概率公式判断

22、A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断 B，计算出卡方，即可判断 C，根据平均公式判断 D.【详解】对于 A：从这 200 名学生中任选 1 人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率80480205P，故 A 错误；对于 B：样本中喜欢天宫课堂的频率807032004，从全校学生中任选 3 人，恰有 2 人不喜欢天宫课堂的概率2213339C14464P，故 B 正确；第 8 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司对于 C：因为22200 80 3070 2082.6673.841100 100 150 503，所以根据小概率值0.05的独立性检验，认为

23、喜欢天宫课堂与性别没有关联，故 C 正确；对于 D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70，又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为80 8070 9025480703，故 D 错误；故选：BC11.（多选题）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为a，线段11B D上有两个动点E，F，且22EFa，以下结论正确的有（）A.ACBEB.点A 到平面BEF的距离为定值C.三棱锥ABEF的体积是正方体1111ABCDABC D体积的112D.异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】ABC【解析】【分析】由线面垂直推出异面直线垂直可判断 A；由

24、点到平面的距离可判断 B；运用三棱锥的体积公式可判断 C；根据异面直线所成角的定义判断 D.【详解】解：对于A，根据题意，ACBD，1ACDD，且1BDDDD，所以AC 平面11BDD B，而BE 平面11BDD B，所以ACBE，所以A 正确；对于B，A 到平面11CDDC距离是定值，所以点A 到BEF的距离为定值，所以B正确；对于C，三棱锥ABEF的体积为的第 9 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司311 111221453 2322212A BEFVEF AB BB sinaaaa ，三棱锥ABEF的体积是正方体1111ABCDABC D体积的112，所以C正确；对于D，当点 E

25、 在1D处，F 为11D B的中点时，异面直线 AE，BF 所成的角是1FBC，当E在11D B的中点时，F 在1B的位置，异面直线 AE，BF 所成的角是1EAA，显然两个角不相等，命题D错误；故选：ABC12.已知0e sine sinyxxyxy，则（）A.sinsinxy B.coscosxy C.sincosxy D.cossinxy 【答案】ABC【解析】【分析】将e sine sinyxxy变为esinesinyxyx结合指数函数的性质，判断 A;构造函数e(),(0,)sinxf xxx，求导，利用其单调性结合图象判断 x,y 的范围，利用余弦函数单调性，判断 B;利用正弦函数

26、的单调性判断 C，结合余弦函数的单调性，判断 D.【详解】由题意，0e sine sinyxxyxy，得0yx，esinesinyxyx，e1y x，sin1sinyx，sinsinyx，A 对；eesinsinyxyx，令e(),(0,)sinxf xxx，即有()()f xf y，令2e(sincos)()0,sin4xxxfxxx，()f x在0,4上递减，在,4上递增，因为()()f xf y，04xy，作出函数e(),(0,)sinxf xxx以及sin,0,yx x 大致图象如图：第 10 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司 则30sinsin4yyx，sin()sinyx

27、，结合图象则yx，cos()cosyx，coscosxy，B 对；结合以上分析以及图象可得2xy，2xy，且,4224yy，sinsincos2xyy，C 对；由 C 的分析可知，224yx，在区间,2 4 上，函数cosyx 不是单调函数，即cos()cos2yx不成立，即sincosyx不成立，故 D 错误；故选：ABC【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.

28、已知“212102x,xmx ”是假命题,则实数m的取值范围为_.【答案】(,2)【解析】【分析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1mxx，构造函数 1g xxx求 g x在所给区间上的最小值.【详解】解：由题意可知，212102x,xmx 是真命题1mxx对122x,恒成立，令 1g xxx第 11 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司 211gxx 令 0gx则12x；令 0gx则112x；即 1g xxx在1,12上单调递减，1,2上单调递增；min11121g xg 2m 故答案为：(,2)【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是

29、将问题进行转化，属于中档题.14.数据23,76,45,37,58,16,28,15,53,24,42,36的第 25 百分位数是_.【答案】23.5【解析】【分析】先按照从小到大，排序，计算第三和第四个数据的平均数即为所求.【详解】先按照从小到大排序：15,16,23,24,28,36,37,42,45,53,58,76，共 12 个数据，12 25%3.第 3，4 个数据分别为23,24,则第 25 百分位数为232423.52，故答案为：23.5.15.已知随机变量,X Y，其中 216,(2)0.33XBYNE XE YP Y，则(6)P Y _.【答案】0.2【解析】【分析】由,X

30、Y服从的分布类型可直接求出E X，E Y，从而求出，再根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为16,3XB，所以1623E X，因为2,YN，所以 E Y，又因为 E XE Y，所以2，因为2,YN，所以(2)0.5P Y，且(6)(2)P YP Y，第 12 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司又因为(2)0.3P Y，所以(2)0.2P Y ，所以(6)0.2P Y.故答案为：0.2.16.定义在实数集R上的偶函数 f x满足2(2)24()()f xf xfx，则(2021)f_.【答案】22【解析】【分析】2(2)24()()f xf xfx22(2)4(2)()4()4fxf

31、 xfxf x，令2()()4()g xfxf x，则(2)()4g xg x，进 一 步 可 得 函 数 g x的 周 期 为4，(2021)(4 505 1)(1)2ggg 2(2021)4(2021)2ff，解方程即可.【详解】因为2(2)24()()f xf xfx，所以2(2)24()()f xf xfx，即22(2)2)4()()f xf xfx，即22(2)4(2)()4()4fxf xfxf x，令2()()4()g xfxf x，则(2)()4g xg x，所以(4)(2)4()g xg xg x 故函数 g x的周期为 4，所以(2021)(4 505 1)(1)ggg，又

32、因为 f x是偶函数，则2()()4()g xfxf x为偶函数，又因为(1)(1)4gg，所以(1)2g，即2(2021)4(2021)2ff，解得(2021)22f，又2(2)24()()2f xf xfx，即(2021)2f，即(2021)22f.故答案为：22【点睛】本题主要考查抽象函数周期性，涉及到函数的奇偶性等知识，考查学生逻辑推理能力与数学运算第 13 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司求解能力，是一道有一定难度的题.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.

33、在ABC中，cos(3sin)sin cosBabCbBC（1）求B；（2）若2,caABC的面积为2 33，求ABC的周长【答案】（1）3 （2）2 32【解析】【分析】(1)应用三角恒等变换,正弦定理化简已知等式,结合sin0A,可得tanB值,即得B的值;(2)由题意利用三角形面积公式可求a的值,进而可求c的值,由余弦定理可求b的值,即可求解ABC的周长的值.【小问 1 详解】由cos(3sin)sin cosBabCbBC,及正弦定理得23cos sinsin sin cossincosBABCBBC，即得23cos sinsincossin sin cossinsin coscos

34、sinBABCBCBBBCBC，又因为ABC中,sinsinBCA，所以3cos sinsin sinBABA,又因为sin0A,所以sin3cosBB即tan3B 又0,B，故3B【小问 2 详解】由题意，12 3sin23acB，故232 323a，即2 33a，故4 323ca，由余弦定理2222 34 32 34 31233332b ，解得2b.故三角形ABC的周长为2 34 322 3233的第 14 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司18.已知等差数列 na和等比数列 nb满足111231961,15abaabaab.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）记21log

35、nncb，求数列21nnnca a的前n项和nS.【答案】（1）121,2nnnanb （2）242nnnSn【解析】【分析】（1）根据条件列出方程组，求出公差和公比，得到通项公式；（2）先求出ncn，利用裂项相消法求出nS.【小问 1 详解】设 na公差为,ndb公比为q，则251 115 1 8dqdq ，解得2,2qd；112121,2nnnannb.【小问 2 详解】2log 2nncn，2212121nnncna ann2211414441nn111148 2121nn.11111111483352121nSnnn11114821nn44 21nnn242nnn19.如图 1，在AB

36、C中，2AC，90ACB，30ABC，P 是AB边的中点，现把ACP沿CP折成如图 2 所示的三棱锥ABCP，使得10AB=.第 15 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：平面ACP平面BCP；（2）求二面角BACP的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）3 1313【解析】【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理逆定理，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问 1 详解】在图 1 中作AOCP，交CP于O，连接OB，2AC，90ACB，30ABC，P 是AB边的中点，112 3,4,2,222

37、BCABAPABCPAB，ACP是等边三角形，13,12AOOCCP，AOCP，在OBC中，由余弦定理得231 122 1 2 372OB ，在图 2 中，10AB=，222AOOBAB，AOOB 又CP 平面BCP，BC平面BCP，CPBCC，AO 平面BCP，又AO 平面ACP，平面ACP平面BCP；【小问 2 详解】以 O 为原点，以OC、OE、OA为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示：则30,0,3,1,0,0,0,03ACE，的第 16 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司1,0,3AC，30,33AE，设平面 ABC 的法向量为,mx y z，3003,3,13030

38、3xzm ACmm AEyz，OE 平面ACP，0,1,0n 为平面ACP的一个法向量，33 13cos,1313 1m nm nmn ，由图可知二面角BACP为锐角，二面角BACP的余弦值为3 1313 20.现有甲、乙、丙、丁等 6 人去参加新冠疫苗的接种排队，有 A、B、C、D 4 个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；（2）设随机变量 X 表示在窗口 A 排队等候的人数，求随机变量 X 的期望【答案】（1）1113 （2）32【解析】【分析】（1）先利用排列组合求出事件得总数及甲乙排在一起的情况得数量，再根据古典概型及对立事件得概

39、率公式即可得解；（2）先写出随机变量X的取值，再求出对应随机变量的概率，再根据期望公式进行求解()E X【小问 1 详解】解：总数为2234646422C CCA1560A，第 17 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司其中甲乙排在一起的情况为：124444(CC)A240，故甲、乙两人在不同窗口等候的概率为156024011156013；【小问 2 详解】解：X可取1,2,3，223643C C A92156026P X，3363C A13156013P X，15112326P XP XP X，所以159131232626132E X .21.已知椭圆2214xy的左右顶点为 A、B，

40、直线 l：1x.已知 O 为坐标原点，圆 G 过点 O、B 交直线l 于 M、N 两点，直线 AM、AN 分别交椭圆于 P、Q.（1）记直线 AM，AN 的斜率分别为1k、2k，求12k k的值；（2）证明直线 PQ 过定点，并求该定点坐标.【答案】（1）1219kk （2）证明见解析，10,013【解析】【分析】（1）首先设出点,M N的坐标，根据OMON，利用斜率公式表示12k k；（2）当直线 PQ 的斜率存在时，设直线方程ykxm，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示第 18 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司12121229APAQy ykkxx，从而得到k与m的关系，计算定点坐

41、标，并验证当直线的斜率不存在时，也过此定点.【小问 1 详解】由已知可得 MN 为圆 G 的直径，所以OMON，则1OMONkk，根据题意不妨设1,Mm，1,Nn，2,0A 则1mn ，所以112123 39AMANmnm nkk ，所以1219kk.【小问 2 详解】证明：当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为ykxm，11,P x y，22,Q xy，联立2244ykxmxy，得222148440kxkmxm，所以122814kmxxk，21224414mx xk，222121212122414mky ykxmkxmk x xkm xxk，所以12121212121924022

42、9APAQy ykky yx xxxxx，所以22222222444892401316200141414mkmkmmkmkkkk，131020mkmk即1013mk，或2mk，当1013mk 时，直线 l 的方程为1013yk x，过定点10,013，当2mk时，直线 l 的方程为2yk x，过定点2,0A，舍去.当直线 PQ 斜率不存在时，1,1M，1,1N，2,0A，直线AM方程是123yx与椭圆方程2214xy联立得10 12,13 13P，同理得1012,1313Q，此时直线 PQ 的方程是1013x，过定点10,013，第 19 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司综上可知，直

43、线 PQ 过定点，该定点坐标是10,013.22.已知函数 ee1Rxxf xaax a，f x既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a的取值范围；（2）当01a时，1x、2x分别为 f x的极大值点和极小值点，且 120f xkf x，求实数k的取值范围.【答案】（1）0,11,；（2）,1.【解析】【分析】（1）由已知可得 e1 e1exxxafx，分析可知方程 0fx有两个不等的实根，解方程 0fx，可得出关于a的不等式，即可得解；（2）求得10 x，2lnxa，可得出11f xa，211 lnf xaaa，由已知可得11ln11aaka，构造函数 11ln11xg xxkx，其中01

44、x，分1k 、10k 两种情况讨论，利用导数分析函数 g x的单调性，验证不等式 0g x 对任意的0,1x是否恒成立，综合可得出实数k的取值范围.【小问 1 详解】解：由 ee1xxf xaax可得 2e1 e1ee1exxxxxaafxaae1 e1exxxa，因为函数 f x既存在极大值，又存在极小值，则 0fx必有两个不等的实根，则0a，由 0fx可得10 x，2lnxa，所以，ln0a，解得0a 且1a.因此，实数a的取值范围是0,11,.【小问 2 详解】解：01a，则ln0a.第 20 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司由 0fx可得0lnxa，此时函数 f x单调递减，

45、由()0fx可得0 x 或lnxa，则函数 f x的增区间为,0和ln,a，所以，10 x，2lnxa，则11f xa，211 lnf xaaa，由题意可得111 ln0akaaa 对任意的0,1a恒成立，由于此时210f xf x，则0k，所以，1 ln11k aaka，则11ln11aaka，构造函数 11ln11xg xxkx，其中01x，则 222221212111121111xxxxkkgxxkxx xx x，令2210 xxk，则2224 144kkk.当1k 时，0，所以 0gx，g x在0,1上单调递增，所以 10g xg，即11ln11aaka，符合题意；当10k 时，0，设方程2210 xxk 的两根分别为3x、4x，则3420 xxk，3 41xx，设3401xx，则当31xx时，0gx，则 g x在3,1x上单调递减，所以当31xa时，10g ag，即11ln11aaka，不合题意.综上所述，k的取值范围是,1.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，在求解时注意根据函数值符号判断出参数的符号，进而对参数进行分类讨论求解.第 21 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司