第三章 圆锥曲线的方程（公式、定理、结论图表）.docx

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1、第三章圆锥曲线的方程（公式、定理、结论图表）一、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆若，M的轨迹为线段；若，M的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a,0)，A2(a,0),_ B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2

2、(0，a), B1(b,0)，B2(b,0)轴长长轴长，短轴长焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e(0eb0)上一点P(x0，y0)(y00)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2中，若F1PF2，则(1)椭圆的定义：|PF1|PF2|2a.(2)余弦定理：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)面积公式：SPF1F2|PF1|PF2|sin ，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.重要结论：SPF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F

3、2|2=|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 得由三角形的面积公式可得SPF1F2=注：SPF1F2=（是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(ac)(5)在椭圆C：1(ab0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.四、点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.五、直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程当0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1

4、(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或 xa，yya或 ya，x对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e(1，)渐近线yxyx九、双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理以双曲线上一点P(x0，y0)(y00)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2中，若F1PF2，则(1)双曲线的定义：(2)余弦定理：|P

5、F1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)面积公式：SPF1F2|PF1|PF2|sin ，重要结论：SPF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 得由三角形的面积公式可得SPF1F2=十、直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考察方程的判别式(1)0时，直线与双曲线有两个不同的公共点(2)0时，直线与双曲线只有一个公共点(3)0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0x

6、R，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下十三、直线与抛物线的位置关系设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x22(kmp)xm20.(1)若k0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.注：(1)x1x2.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1x2p (是直线AB的倾斜

7、角)(4)为定值(F是抛物线的焦点)（5）求弦长问题的方法一般弦长：|AB|x1x2|，或|AB|y1y2|.焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.1轨迹类型：方程1，当mn0时表示圆；当mn0或nm0时表示椭圆；当mn0时表示双曲线2椭圆结论：(1)如图1：焦点F1AF2周长CF1AF22a2c、面积SF1AF2b2tan ；ABF2的周长为：CABF24a；通径：|AC| (椭圆、双曲线通用)；图1(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0A1PA2A1BA2；焦半径范围：ac|PF1|ac (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近

8、地点)；|PO|范围：b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近； 斜率：kPA1kPA2.(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系：图2点P在椭圆内1.(4)椭圆扁平程度：因为e，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆3双曲线结论：(1)如图3：动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小|A2F2|ca；焦点到渐近线的距离为：|F2M|b；(2)渐近线求法结论：可直接令方程(0)等号右边的常数为0，化简解得；图34抛物线结论：如图4：抛物线y22px(p0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：焦半径：|AF|AD|x1，|BF|B

9、C|x2 (随焦点位置变动而改变)；焦点弦：|AB|x1x2p (其中，为直线AB的倾斜角)；(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2 (随焦点动而变)；图4(3)其他结论：SOAB(其中，为直线AB的倾斜角)；以AB为直径的圆必与准线相切于点H一、“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用

10、几何意义去解决提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件典例1：(1)一动圆与两圆：x2y21和x2y26x50都外切，则动圆圆心的轨迹为()A抛物线B双曲线 C双曲线的一支 D椭圆(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析：(1)x2y21是圆心为原点，半径为1的圆，x2y26x50化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则|PA|PO|1|AO|3，符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支(2)设

11、椭圆方程为1(ab0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4.又离心率e，c2，b2a2c28，椭圆C的方程为1.答案：(1)C(2)1二、求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典例2：(1

12、)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1 C.1 D.1(2)已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_解析：(1)由题意得，解得，则b2a2c23，故椭圆方程为1.(2)由题意得，解得，则b2c2a23，因此双曲线方程为x21.答案：(1)D(2)x21三、圆锥曲线的性质及应用1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线)2椭圆的离心率，双曲线的离心率和渐近线，抛物线的焦点和准线，都是常考的性质，要熟练

13、掌握典例3： (1)若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的渐近线方程为()Ayx By2x Cy4x Dyx(2)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：(1)由椭圆的离心率e，可知，故双曲线的渐近线方程为yx.(2)由题意可得，即ca.又左焦点F(c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为，化简即得yx4.结合已知条件和图象易知直线PF与yx平行，则，即4abc，故解得故双曲线方程为1.答案：(1)A(2)B四、直线与圆锥曲线相交，经常出现弦长、中点弦问题(1)处理

14、弦长问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组，化为一元二次方程后，利用根与系数的关系，代入弦长公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)(2)处理中点弦问题，一般有两种思路，思路一：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求；思路二：利用“点差法”典例4：已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求CDF2的面积解：(1)由题意知b1，且a2c2b2，解得a，c1，易得椭圆方程为y21.(2)F1(1,0)，直线B

15、F1的方程为y2x2，由得9x216x60.162496400，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则|CD|x1x2|，又点F2到直线BF1的距离d，故SCDF2|CD|d.五、圆锥曲线中的定值、定点问题(1)定值问题的常见类型及解题策略求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得(2)定点问题的两种解法引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示

16、变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关典例5：在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点(1)解：由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明：设l：xtyb代入抛物线y2

17、4x，消去x得y24ty4b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2.直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)六、最值问题的常用解法有两种(1)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数再求这个函数的最值求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、均值不等式法、单调性法(2)几何法：若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用几何图形性质来解决典例6：

18、已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x24y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当ABC面积为最大值时，求直线l的方程解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1.将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，得a24或a21(舍)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线BC的方程为yxm，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x22mxm240，由8m216(m24)8(8m2)0，可得m28.(*)又x1x2m，x1x2，故|BC|x1x2|.又点A到BC的距离为d，故SABC|BC|d，当且仅当2m2162m2，即m2时取等号(满足(*)式)，S取得最大值，此时直线l的方程为yx.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期