贵州省思南中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题 含解析.pdf

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1、思南中学思南中学 20232024 学年度高三第一学期第二次月考学年度高三第一学期第二次月考数学科试题数学科试题注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

2、回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合|21Axx，2,1,0,1B ，则AB（）A.2,1,0,1B.2,1,0C.1,0D.1,0,12.已知3i2iz，则z（）A.13i22B.13i22C.31i22D.31i223.已知函数1,0()(2),0 xxf xf xx，则 1f（）A.0B.1C.2D.34.已知向量()()2 33 2ab，则|ab A.2B.2C.52D.505.

3、学校运动会需要从 5 名男生和 2 名女生中选取 4 名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（）A.20B.30C.35D.406.已知510sin,sin510，且和均为钝角，则的值为（）A.4B.54C.54或74D.747.如图，球面上有A、B、C三点，90ABC，3BABC，球心O到平面ABC的距离是3 22，则球O的体积是（）A 72B.36C.18D.88.已知函数 2(1),0,lg,0,xxf xxx若函数 g xf xb有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（）A.0,1B.0,1C.0,1D.1,二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题

4、，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知22()cossinf xxx,则（）A.f x是偶函数B.f x的最小正周期是C.f x图象一个对称中心是,04D.f x上0,4单调递增10.已知方程22141xytt表示的曲线为 C，则下列四个结论中正确的是（）A.当14t 时，曲线 C 是椭圆B.当4t 或1t 时，曲线 C 是双曲线C.若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则512t D.若曲线 C 是焦

5、点在 y 轴上的双曲线，则4t 11.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1DD的中点（）.的 A.1/BD平面ACEB.11BDABC.若正方体的棱长为 1，则点 D 到平面ACE的距离为66D.若正方体的棱长为 1，则直线1BD与CE所成角的余弦值为5512.若 x，y 满足221xyxy，则（）.A.2 33xyB.1xy C.2232xyD.2223xy三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.341lg2lg3lg5log 2 log 94_.14.曲线1xyx在点2,2P处切线方程为_15.在直线3yx=+上任

6、取一点P作圆22(2)(3)1xy的切线，切点为Q，则切线段PQ 的最小值为_16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过点(3,0)Pc作直线l交椭圆C于,M N两点，若2PMNM ，224F MF N 则椭圆C的离心率为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在递增的等比数列 na中，128a a，126aa，其中*Nn.（1）求数列 na的通项公式；（2）若23nnba，求数列 nb的前 n 项和nT.的18.已知ABC内角,A B C对

7、边分别为,a b c，设22(sinsin)sinsin sinBCABC.（1）求A；（2）若4,bcABC的面积为32，求a的值.19.学校组织的亚运会知识竞赛，设初赛复赛决赛三轮比赛，经过前两轮比赛，甲乙两人进入冠亚军决赛，获胜者获得冠军，失败者获得亚军本轮比赛设置 5 道抢答题目，甲与乙抢到题目的机会均等，先抢到题目者回答问题，回答正确得 10 分，回答错误或者不回答得 0 分，对方得 10 分，先得 30 分者获胜，比赛结束已知甲与乙每题回答正确的概率分别为0.8,0.6（1）在第一题的抢答中，记甲的得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）求乙获得冠军的概率（精确到 0.001）20

8、.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2,1,5ADPDCDPC，点E为棱PC上的点，且BCDE （1）证明：ADPD；（2）若2PECE，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值21.已知抛物线:C220ypx p的焦点为1,0F，点M在直线2x 上运动，直线1l，2l经过点M，且与C分别相切于,A B两点（1）求C的方程；（2）试问直线AB否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由22.已知函数 lnf xx x（1）讨论 f x的单调性（2）若有两个不相等的实数,a b满足 f af b，求证：1ab的是思南中学思南中学 20232024 学年度高三第一学期第二次月考学年

9、度高三第一学期第二次月考数学科试题数学科试题注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：

10、本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合|21Axx，2,1,0,1B ，则AB（）A.2,1,0,1B.2,1,0C.1,0D.1,0,1【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为21Axx，2,1,0,1B ，所以AB 2,1,0，故选：B2.已知3i2iz，则z（）A.13i22B.13i22C.31i22D.31i22【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法运算求解.【详解】由题意可得：3ii3i1 3i13i2i2ii222

11、z .故选：B.3.已知函数1,0()(2),0 xxf xf xx，则 1f（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的解析式，先求得(11)ff，然后再直接求值即可.【详解】因为1,0()(2),0 xxf xf xx，所以 1(1 2)(1)1 10,fff 故选：A.4.已知向量()()2 33 2ab，则|ab A.2B.2C.52D.50【答案】A【解析】【分析】本题先计算ab，再根据模的概念求出|ab【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)ab，所以22|(1)12ab，故选 A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算

12、能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错5.学校运动会需要从 5 名男生和 2 名女生中选取 4 名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（）A.20B.30C.35D.40【答案】B【解析】【分析】根据组合的知识求得正确答案.【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有1325C C=20种，2个女生2个男生时，方法数有2225C C=10种，所以不同选法有201030种.故选：B6.已知510sin,sin510，且和均为钝角，则的值为（）A.4B.54C.54或74D.74【答案】D【解析】【分析】根据角度范

13、围求解cos,cos，再求解cos()，结合角度范围判断即可.【详解】和均为钝角，22 5cos1 sin5 ，23 10cos1 sin10 cos()2 53 105102coscossinsin5105102 由和均为钝角，得2，74故选：D7.如图，球面上有A、B、C三点，90ABC，3BABC，球心O到平面ABC的距离是3 22，则球O的体积是（）A.72B.36C.18D.8【答案】B【解析】【分析】求出ABC外接圆的半径，结合已知条件可求得球O的半径，再利用球体体积公式可求得球O的体积.【详解】在ABC中，90ABC，3BABC，则ABC外接圆的直径为2222323 2rACBA

14、BC，所以，3 22r，因此，球心O到平面ABC距离为3 22，所以，球O的半径为223 23 2322R，因此，球O的体积为3344 33633VR.故选：B.8.已知函数 2(1),0,lg,0,xxf xxx若函数 g xf xb有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（）A.0,1B.0,1C.0,1D.1,【答案】A【解析】【分析】将函数 g xf xb有四个不同的零点，转化为函数 yf x与yb图象由四个交点，再数形结合即可解答.【详解】依题意，函数 g xf xb有四个不同的零点，即 f xb有四个解，转化为函数 yf x与yb图象由四个交点，由函数函数 yf x可知，当,1x 时

15、，函数为单调递减函数，0,y；当1,0 x 时，函数为单调递增函数，0,1y；的当0,1x时，函数为单调递减函数，0,y；当1,x时，函数为单调递增函数，0,y；结合图象，可知实数b的取值范围为0,1.故选：A二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知22()cossinf xxx,则（）A.f x是偶函数B.f x的最小正周期是C.f x图象的一个

16、对称中心是,04D.f x上0,4单调递增【答案】ABC【解析】【分析】因为22()cossincos2f xxxx,根据偶函数的定义判断 A;根据最小正周期公式判断 B;将4x 代入验证 C 的正误;求解函数 f x的单调递增区间即可判断 D.【详解】因为22()cossincos2f xxxx,定义域为R,cos2cos2fxxxf x,所以 f x是偶函数,故 A 正确;f x的最小正周期为22,故 B 正确;cos042f,所以,04是 f x图象的一个对称中心,故 C 正确;令2 22,Zkxk k,解得,Z2kxk k,即 f x单调递增区间为2,Zk kk,故 D 错误.故选:A

17、BC.10.已知方程22141xytt表示的曲线为 C，则下列四个结论中正确的是（）A.当14t 时，曲线 C 是椭圆B.当4t 或1t 时，曲线 C 是双曲线的C.若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则512t D.若曲线 C 是焦点在 y 轴上的双曲线，则4t【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【详解】对于 A，当52t 时，3412tt ，则曲线C是圆，A 错误；对于 B，当4t 或1t 时，(4)(1)0t t，曲线C是双曲线，B 正确；对于 C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则410tt ，解得512t，C 正确；对于 D，若曲线C是

18、焦点在y轴上的双曲线，则401tt ，解得4t，D 正确故选：BCD11.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1DD的中点（）A.1/BD平面ACEB.11BDABC.若正方体的棱长为 1，则点 D 到平面ACE的距离为66D.若正方体的棱长为 1，则直线1BD与CE所成角的余弦值为55【答案】ABC【解析】【分析】利用线面垂直判定定理即可证得选项 A 判断正确；先证1AB 面11BA D，进而证得11BDAB，从而选项 B 判断正确；利用三棱锥等体积法求得点 D 到平面ACE的距离判断选项 C；求得直线1BD与CE所成角的余弦值判断选项 D.【详解】对于 A 项，连接 BD 交

19、AC 于 O 点，连接 OE，易知 OE 为1BDD的中位线，即1OEBD，OE 面ACE，1BD 面ACE，1BD平面ACE，故 A 正确；对于 B 项，连接11ABAB、，由正方体的性质易知11111ADABABAB，又1111111ABADA ABAD,、面11BA D，1AB 面11BA D，而1BD 面11BA D，则11BDAB，故 B 正确；对于 C 项，由正方体的性质知：点B到平面ACE的距离等于点 D 到平面ACE的距离，设该距离为 d，若正方体棱长为 1，则2251622224ACEACACAEECSACAE，111 11162233664D ACEE ADCACEACDV

20、Vd SDE Sd ，故 C 正确；对于 D 项，取 1AA中点 P，连接1,PE BP PD，又E为1DD的中点，由正方体的性质知：/,=PE BC PE BC，则四边形PECB为平行四边形，则/BP CE，则直线1BD与CE所成角为1PBD或其补角.1PBD中，115=,32PB PDBD,则22215532215cos55232PBD，则直线1BD与CE所成角的余弦值为155，故 D 错误.故选：ABC12.若 x，y 满足221xyxy，则（）.A.2 33xyB.1xy C.2232xyD.2223xy【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中 C

21、 选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解.【详解】因为22222ababab（,a bR），由221xyxy可变形为，2212xyxyxy，解得2 32 333xy，当且仅当33 xy时，2 33xy，当且仅当33xy时，2 33xy，故 A 正确，B 错误；由221xyxy可变形为222212xyxyxy ，解得2223xy，当且仅当33xy 时取等号，故 D 正确；因为221xyxy变形可得223124yxy，设3cos,sin22yxy，所以12cossin,sin33xy，因此222252111cossinsincos1sin2cos233333xy 422sin 2,23363，所

22、以当262 时，即=3时，此时1,1xy，22xy取到最大值 2，故 C 错误.故选：AD.【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.341lg2lg3lg5lo

23、g 2 log 94_.【答案】2【解析】【分析】利用对数运算的性质求值即可.【详解】原式231lg22lg23lg52log 2 log3(lg2lg5)13lg10 1223 .故答案为：214.曲线1xyx在点2,2P处的切线方程为_【答案】40 xy【解析】【分析】求导，即可由点斜式得直线方程.【详解】1111xyxx，则211yx，所以21xy，所以点2,2P处的切线方程为21(2)yx，即40 xy，故答案为：40 xy15.在直线3yx=+上任取一点P作圆22(2)(3)1xy的切线，切点为Q，则切线段PQ 的最小值为_【答案】1【解析】【分析】利用圆的切线性质，结合两点间距离公

24、式、配方法进行求解即可.【详解】设22(2)(3)1xy的圆心为A，半径为r，即2,3,1Ar，因为点P在直线3yx=+上，所以设,3P x x，因为PQ是该圆的切线，且切点为Q，所以有PQAQ，因此有2222221211PPAAQxxxQ ，当1x 时，切线段PQ 的最小值为 1，故答案为：116.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过点(3,0)Pc作直线l交椭圆C于,M N两点，若2PMNM ，224F MF N 则椭圆C的离心率为_.【答案】53#153【解析】【分析】由题意可得2F N/1FM，且2112F NFM，延长1MF并延长交椭圆于点Q，然

25、后利用椭圆的对称性和椭圆的定义可得QMa，243aF M，253aF Q，则由勾股定理的逆定理可得290QMF，再在12FMF中利用勾股定理列方程可求出,a c的关系，从而可求出离心率.【详解】因为2PMMN，122PFPF，所以2F N/1FM，且2112F NFM，延长1MF并延长交椭圆于点Q，则由对称性可设12FQF Nt，12FMt，24F Mt，22F Qat，因为122FMF Ma，所以3at，则QMa，243aF M，253aF Q，得22222QMF MF Q所以290QMF，在12FMF中，由2221221FMF MF F，得22224233aac，化简得2259ac，所以5

26、3ac，所以离心率53cea.故答案为：53【点睛】关键点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，解题的关键是利用椭圆的对称性和椭圆的定义表示出各线段的长.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在递增的等比数列 na中，128a a，126aa，其中*Nn.（1）求数列 na的通项公式；（2）若23nnba，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）2nna；（2）2234nnTn.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出 na的首项、公比即可作答.（2）利用分组求和法及等比数列前 n

27、 项和公式求和作答.【小问 1 详解】由12128,6a aaa，等比数列 na递增数列，得122,4aa，是因此数列 na的公比212aqa，则112nnnaa q，所以数列 na的通项公式是2nna.【小问 2 详解】由（1）得，12323nnnba，2124(1 232341 2)nnnnTbbbnn.18.已知ABC内角,A B C的对边分别为,a b c，设22(sinsin)sinsin sinBCABC.（1）求A；（2）若4,bcABC的面积为32，求a的值.【答案】（1）3A （2）10a【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；

28、（2）根据题意，由三角形的面积公式可得6bc，结合余弦定理即可得到结果.【小问 1 详解】原式化简可得：222sin2sin sinsinsinsin sinBBCCABC，整理得：222sinsinsinsin sinBCABC，由正弦定理可得：222bcabc，2221cos,22bcaAbc因此三角形的内角3A；【小问 2 详解】1133sin2222ABCSbcAbc，2bc，22222cos()316610abcbcAbcbc，10a.19.学校组织的亚运会知识竞赛，设初赛复赛决赛三轮比赛，经过前两轮比赛，甲乙两人进入冠亚军决赛，获胜者获得冠军，失败者获得亚军本轮比赛设置 5 道抢答

29、题目，甲与乙抢到题目的机会均等，先抢到题目者回答问题，回答正确得 10 分，回答错误或者不回答得 0 分，对方得 10 分，先得 30 分者获胜，比赛结束已知甲与乙每题回答正确的概率分别为0.8,0.6（1）在第一题的抢答中，记甲的得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）求乙获得冠军的概率（精确到 0.001）【答案】（1）分布列见解析；期望为 6 （2）0.317【解析】【分析】（1）X的可能取值为 0 和 10，每个取值都分甲抢到题目与乙抢到题目两个情况，结合答题是否正确求概率，得分布列，利用公式算数学期望.（2）已知每题两个得分的概率，根据最后的比分，求乙获得冠军的概率.【小问 1 详解

30、】设在第一题的抢答中，甲得分为X，则X的可能取值为 0，1000.51 0.80.5 0.60.4P X，10101 0.40.6P XP X ，所以X的分布列为X010P0.40.6所以0 0.4 10 0.66E X【小问 2 详解】由（1）可知，乙在一题的抢答中得 10 分的概率为 0.40设乙得 30 分甲得 0 分，乙得 30 分甲得 10 分，乙得 30 分甲得 20 分的概率分别为123,P P P由（1）可知，10.4 0.4 0.40.064P；2223C 0.40.6 0.40.1152P；22234C 0.40.60.40.1382P，所以乙获得冠军的概率为1230.31

31、7PPPP20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2,1,5ADPDCDPC，点E为棱PC上的点，且BCDE （1）证明：ADPD；（2）若2PECE，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）3 1010【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得BCPCD 面，再由线面垂直的性质定理即可得到线线垂直；（2）根据题意，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【小问 1 详解】由ABCD为矩形可知：BCCD，又因为BCDE，DECDD，,CD DE 平面PCD，所以BC面PCD，又ADBC，所以AD 面PCD，又PD

32、PCD 面，故ADPD.【小问 2 详解】在PCD中，222PCPDCD，所以PDCD；又PDAD，,CDADD CD AD面ABCD，所以PD 面ABCD；故如图以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0)CBAD，(1,0,2)P，又在PCD中，2PECE，则12(,0,)33E.22(,0,)33DE ，(1,0,2),(0,2,0)CPCB ，设面PBC法向量为(,)nx y z，则00CB nCP n ，即2020yxz，故(2,0,1)n ，设直线DE与面PBC所成角为，则423 1033sincos,210253DE n.

33、21.已知抛物线:C220ypx p的焦点为1,0F，点M在直线2x 上运动，直线1l，2l经过点M，且与C分别相切于,A B两点（1）求C的方程；（2）试问直线AB是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）24yx （2）直线AB恒过定点，定点坐标为(2,0)，【解析】【分析】（1）利用抛物线焦点坐标求得p，从而得解；（2）联 立 直 线:ABxtym与 抛 物 线 方 程 得 到124y ym，再 由1l，2l与 抛 物 线 相 切 求 得122122yxyx ，化简即可得到2m，从而得解.【小问 1 详解】由题意得12p，解得2p，所以抛物线C的方程为24yx.【

34、小问 2 详解】直线AB恒过定点，定点坐标为(2,0)，由题意可知直线AB斜率不为 0，设直线1122:,(2,)AB xtym A x yB xyMa，联立24xtymyx，得2440ytym，则2121216160,4,4tmyyt y ym ，由题意可知直线12,l l斜率均存在，且不为 0，120,0yy，设直线111:lyk xxy，与24yx联立得211440kyyykx，则1116 160k ykx，又2114yx，则2211440k yky，解得12ky，所以直线11112:lyxxyy，即112yyxx，同理直线222:2lyyxx，又点(2,)Ma在12,l l上，所以11

35、222222ayxayx ，消去a得122122yxyx ，即2221122244yyyy ，所以211280yyy y，又12yy，所以128y y ，所以48m，解得2m，所以直线:2AB xty，故直线AB恒过定点(2,0)的.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,x yxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解，22.已知函数 lnf xx

36、 x（1）讨论 f x的单调性（2）若有两个不相等的实数,a b满足 f af b，求证：1ab【答案】（1）f x在1,e上递增，在10,e上递减，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，然后由导数的正负可求出函数，（2）由 f x的单调性求出其值域，从而不妨设101eab，从而将证明1ab转化为()(1)f afa，即lnln(1)ln(1)11(1)aaaaaa，令ln()(01)1xF xxx，利用导数可得ln()1xF xx在(0,1)单调递增即可.【小问 1 详解】f x的定义域为(0,)，由 lnf xx x，得 ln1fxx，由 ln10fxx，得1ex

37、，由 ln10fxx，得10ex，所以 f x在1,e上递增，在10,e上递减，【小问 2 详解】证明：由（1）得 f x在10,e上的值域为,01e，在1,e上的值域为1,e，因为(1)0,()()ff af b，所以不妨设101eab，则要证1ab，只要证1ba，由11eba，由（1）得()f x在1,e上递增，所以只需证()(1)f bfa，因为()()f af b，所以只要证()(1)f afa，则ln(1)ln(1)aaaa，所以lnln(1)ln(1)11(1)aaaaaa，令ln()(01)1xF xxx，则只需证()(1)F aFa，由于110e2a，从而得011aa，所以要证

38、()(1)F aFa成立，只需ln()1xF xx在(0,1)单调递增成立即可，2211(1)lnln1()(1)(1)xxxxxF xxx，令1()ln1(01)G xxxx，则22111()0 xG xxxx，所以()G x在(0,1)上单调递减，所以 10G xG，所以21ln1()0(1)xxF xx，所以ln()1xF xx在(0,1)单调递增成立，所以原命题成立.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数与函数性质在不等式证明中的应用，第（2）问解题的关键是由（1）可得101eab，则将问题转化为只要证()(1)f afa，令ln()(01)1xF xxx，再利用导数证明ln()1xF xx在(0,1)单调递增即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.