第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系.pptx

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1、索引第七章 立体几何与空间向量第2节空间点、直线、平面之间的位置关系1.借借助助长方方体体，在在直直观认识空空间点点、直直线、平平面面的的位位置置关关系系的的基基础上抽象出空上抽象出空间点、直点、直线、平面的位置关系的定、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事了解四个基本事实和一个定理，并能和一个定理，并能应用定理解决用定理解决问题.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.与平面有关的基本事实及推论与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实与平面有关的三个基本事实知识梳理

2、基本基本事事实内容内容图形形符号符号基本事基本事实1过_的的三三个个点点，有有且且只只有有一个平面一个平面A，B，C三三点点不不共共线存存在在唯唯一一的的使使A，B，C不在一条直线上不在一条直线上索引基本事基本事实2如如果果一一条条直直线上上的的_在在一一个个平平面面内内，那那么么这条条直直线在在这个平面内个平面内Al，Bl，且且A，Bl 基本事基本事实3如如果果两两个个不不重重合合的的平平面面有有一一个个公公共共点点，那那么么它它们有有且且只只有有一一条条_P，且且 Pl，且，且Pl两个点两个点过该点的公共直线过该点的公共直线索引(2)基本事实基本事实1的三个推论的三个推论推推论内容内容图形

3、形作用作用推推论1经过_和和这条条直直线外一点，有且只有一个平面外一点，有且只有一个平面确定平面的依据确定平面的依据推推论2经过_直直线，有有且且只有一个平面只有一个平面推推论3经过_直直线，有有且且只有一个平面只有一个平面一条直线一条直线两条相交两条相交两条平行两条平行索引2.空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系直直线与直与直线直直线与平面与平面平面与平面平面与平面平行平行关系关系图形形语言言符号符号语言言aba相交相交关系关系图形形语言言符号符号语言言abAaAl索引独有独有关系关系图形形语言言符号符号语言言a，b是异面直是异面直线a 索引3.基本事实基本事实4

4、和等角定理和等角定理(1)基本事基本事实4：平行于同一条直：平行于同一条直线的两条的两条直直线_.(2)等等角角定定理理：如如果果空空间中中两两个个角角的的两两边分分别对应平平行行，那那么么这两两个个角角_.互相平行互相平行相等或互补相等或互补索引4.异面直线所成的角异面直线所成的角(1)定定义：已已知知两两条条异异面面直直线a，b，经过空空间任任意意一一点点O分分别作作直直线aa，bb，把，把a与与b所成的角叫做异面直所成的角叫做异面直线a与与b所成的角所成的角(或或夹角角).(2)范范围：.索引常用结论1.证明点共明点共线与与线共点都需用到基本事共点都需用到基本事实3；2.两两异异面面直直

5、线所所成成的的角角归结到到一一个个三三角角形形的的内内角角时，容容易易忽忽视这个个三三角角形形的的内角可能等于两异面直内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其所成的角，也可能等于其补角角.索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)(1)两两个个平平面面，有有一一个个公公共共点点A，就就说，相相交交于于过A点点的的任任意意一一条条直直线.()(2)如果两个平面有三个公共点，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合两个平面重合.()(3)若直若直线a不平行于平面不平行于平面，且，且a，则内的所有直内的所有直线与与a异面异面.()(4)两两相交的三条直两两相交的三条直

6、线最多可以确定三个平面最多可以确定三个平面.()诊断自测解解析析(1)如如果果两两个个不不重重合合的的平平面面有有一一个个公公共共点点，那那么么它它们有有且且只只有有一一条条过该点的公共直点的公共直线，故，故错误.(2)如果两个平面有三个公共点，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故两个平面相交或重合，故错误.(3)由由于于a不不平平行行于于平平面面，且且a，则a与与平平面面相相交交，故故平平面面内内有有与与a相相交交的的直直线，故，故错误.索引2.(必修二必修二P128T2改改编)下列命下列命题正确的是正确的是()A.空空间任意三个点确定一个平面任意三个点确定一个平面B.一个点

7、和一条直一个点和一条直线确定一个平面确定一个平面C.两两相交的三条直两两相交的三条直线确定一个平面确定一个平面D.两两平行的三条直两两平行的三条直线确定一个或三个平面确定一个或三个平面解析解析A中，不在一条直中，不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，上的三个点才能确定一个平面，A错；B中，只有点在直中，只有点在直线外外时才能确定一个平面，才能确定一个平面，B错；C中，当三条直中，当三条直线交于一点交于一点时不能确定一个平面，不能确定一个平面，C错，故只有，故只有选项D正确正确.D索引3.(必修二必修二P147例例1改改编)在在长方体方体ABCDABCD中，中，ABBC1，AA2，则直直线BA

8、与与AC所成角的余弦所成角的余弦值为_.解析解析如如图，连接接CD，易知，易知CD綉綉BA，则ACD是直是直线BA与与AC所成的角，所成的角，索引4.如如图，在三棱，在三棱锥ABCD中，中，E，F，G，H分分别是棱是棱AB，BC，CD，DA的中点，的中点，则(1)当当AC，BD满足条件足条件_时，四，四边形形EFGH为菱形；菱形；(2)当当AC，BD满足条件足条件_时，四，四边形形EFGH为正方形正方形.解析解析(1)四四边形形EFGH为菱形菱形，EFEH，ACBDACBD且且ACBDK A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2

9、索引考点一基本事实的应用例例1如如图所所示示，在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，点点E，F分分别是是AB，AA1的中点，的中点，连接接D1F，CE.求求证：(1)E，C，D1，F四点共面；四点共面；证明证明如如图所示，所示，连接接CD1，EF，A1B，E，F分分别是是AB，AA1的中点，的中点，EFA1B，索引 又又A1D1BC，且，且A1D1BC，四四边形形A1BCD1是平行四是平行四边形，形，A1BCD1，又又EFA1B，EFCD1，EF与与CD1能能够确定一个平面确定一个平面ECD1F，即即E，C，D1，F四点共面四点共面.索引(2)CE，D1F，DA三三线共点共点.四四边形

10、形CD1FE是梯形，是梯形，CE与与D1F必相交，必相交，设交点交点为P，则PCE，且，且PD1F，CE 平面平面ABCD，D1F 平面平面A1ADD1，P平面平面ABCD，且，且P平面平面A1ADD1，又又平面平面ABCD平面平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三三线共点共点.索引共面、共共面、共线、共点、共点问题的的证明明(1)证明明共共面面的的方方法法：先先确确定定一一个个平平面面，然然后后再再证其其余余的的线(或或点点)在在这个个平平面内面内.(2)证明明共共线的的方方法法：先先由由两两点点确确定定一一条条直直线，再再证其其他他各各点点都都在在这条条直直线上上.(3)证明明

11、线共共点点问题的的常常用用方方法法是是：先先证其其中中两两条条直直线交交于于一一点点，再再证其其他直他直线经过该点点.感悟提升索引训练训练1如如图，在空，在空间四四边形形ABCD中，中，E，F分分别是是AB和和BC上上的点，的点，G，H分分别是是CD和和AD上的点上的点.若若EH与与FG相交于点相交于点K.求求证：EH，BD，FG三条直三条直线相交于同一点相交于同一点.证明证明因因为KEH，EH 平面平面ABD，所以所以K平面平面ABD，同理同理K平面平面CBD，而平面，而平面ABD平面平面CBDBD，因此因此KBD，所以所以EH，BD，FG三条直三条直线相交于同一点相交于同一点.索引考点二空

12、间两直线位置关系的判断例例2(1)空空间中中有有三三条条线段段AB，BC，CD，且且ABCBCD，那那么么直直线AB与与CD的位置关系是的位置关系是()A.平行平行B.异面异面C.相交或平行相交或平行D.平行或异面或相交均有可能平行或异面或相交均有可能D解析解析根据条件作出示意根据条件作出示意图，得到以下三种可能的情况，得到以下三种可能的情况，如如图可知可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故有相交，平行，异面三种情况，故选D.索引(2)(多多选)(2023济南段考南段考)如如图是正方体的展开是正方体的展开图，则在在这个正方体中，下列命个正方体中，下列命题正确的是正确的是()A.AF与与C

13、N平行平行B.BM与与AN是异面直是异面直线C.AF与与BM是异面直是异面直线D.BN与与DE是异面直是异面直线CD索引 解解析析把把正正方方体体的的平平面面展展开开图还原原，如如图，由由正正方方体体的的结构构特征可知，特征可知，AF与与CN异面，故异面，故A错误；BM与与AN平行，故平行，故B错误；BM 平平面面BCMF，F平平面面BCMF，A 平平面面BCMF，F BM，故，故AF与与BM是异面直是异面直线，故，故C正确；正确；DE 平平面面ADNE，N平平面面ADNE，B 平平面面ADNE，N DE，故故BN与与DE是异面直是异面直线，故，故D正确正确.索引空空间中中两两直直线位位置置关

14、关系系的的判判定定，主主要要是是异异面面、平平行行和和垂垂直直的的判判定定.异异面面直直线的的判判定定可可采采用用直直接接法法或或反反证法法；平平行行直直线的的判判定定可可利利用用三三角角形形(梯梯形形)中中位位线的的性性质、基基本本事事实4及及线面面平平行行与与面面面面平平行行的的性性质定定理理；垂垂直直关关系系的的判判定定往往往往利用利用线面垂直或面面垂直的性面垂直或面面垂直的性质来解决来解决.感悟提升索引 训练训练2(1)(多多选)已知已知A，B是不在平面是不在平面内的任意两点，内的任意两点，则()A.在平面在平面内存在直内存在直线与直与直线AB异面异面B.在平面在平面内存在直内存在直线

15、与直与直线AB相交相交C.存在存在过直直线AB的平面与平面的平面与平面垂直垂直D.在平面在平面内存在直内存在直线与直与直线AB平行平行解析解析当当AB时，在平面，在平面内不存在直内不存在直线与直与直线AB相交，所以相交，所以B不正确；不正确；当当直直线AB与与平平面面相相交交时，在在平平面面内内不不存存在在直直线与与直直线AB平平行行，所所以以D不不正确；正确；当当直直线AB与与平平面面相相交交或或平平行行时，在在平平面面内内均均存存在在直直线与与直直线AB异异面面，且且均存在均存在过直直线AB的平面与平面的平面与平面垂直，所以垂直，所以A，C正确，故正确，故选AC.AC索引(2)如如图，G，

16、H，M，N分分别是是正正三三棱棱柱柱的的顶点点或或所所在在棱棱的的中中点点，则表表示示GH，MN是异面直是异面直线的的图形的序号形的序号为_.索引 解析解析根据异面直根据异面直线的定的定义可知，在可知，在题图中，直中，直线GH，MN是异面直是异面直线.在在题图中，由中，由G，M均均为所在棱的中点可知所在棱的中点可知GHMN.索引考点三求异面直线所成的角D解解析析法法一一如如图，在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，连接接C1P，BC1，则AD1BC1，所以所以PBC1为直直线PB与与AD1所成的角，所成的角，设正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱长为2，索引 索引 法二法二如如

17、图，连接接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知易知AD1BC1，所以所以直直线PB与与AD1所成的角等于直所成的角等于直线PB与与BC1所成的角所成的角，由由P为正正方方形形A1B1C1D1的的对角角线B1D1的的中中点点，知知A1，P，C1三三点点共共线，且，且P为A1C1的中点的中点.易易知知A1BBC1A1C1，所以所以A1BC1为等等边三角形三角形 ，索引 C解析解析如如图，取，取A1C1的中点的中点F，连接接DF，EF，CF.索引 所以所以EFBD且且EFBD，所以四所以四边形形BDFE是平行四是平行四边形，形，所以所以DFBE，所以所以CDF(或其或其补角角)就是异面直就是异面直

18、线BE与与CD所成的角，所成的角，因因为ACBC4，ACBC，CC15，D，E，F分分别是是AB，B1C1，A1C1的中点，的中点，索引 索引综合法求异面直合法求异面直线所成角的步所成角的步骤：(1)作：通作：通过作平行作平行线得到相交直得到相交直线；(2)证：证明所作角明所作角为异面直异面直线所成的角所成的角(或其或其补角角)；(3)求求：解解三三角角形形，求求出出所所作作的的角角，如如果果求求出出的的角角是是锐角角或或直直角角，则它它就就是是要要求的角；如果求出的角是求的角；如果求出的角是钝角，角，则它的它的补角才是要求的角角才是要求的角.感悟提升索引C解解析析法法一一如如图，补上上一一相

19、相同同的的长方方体体CDEFC1D1E1F1，连接接DE1，B1E1.易知易知AD1DE1，则B1DE1为异面直异面直线AD1与与DB1所成角所成角.索引 索引 法二法二如如图，连接接BD1，交，交DB1于于O，取，取AB的中点的中点M，连接接DM，OM，易易知点知点O为BD1的的中点，中点，所以所以AD1OM，则MOD为异面直异面直线AD1与与DB1所成角所成角.索引 于是在于是在DMO中，由余弦定理，中，由余弦定理，索引 30解析解析设BD的中点的中点为O，连接接EO，FO，所所以以EOAD，FOBC，则EOF(或或其其补角角)就就是是异异面面直直线AD与与BC所成的角所成的角.FENCE

20、NGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 161.(多多选)下列命下列命题中正确的是中正确的是()A.梯形的四个梯形的四个顶点共面点共面B.经过两条平行直两条平行直线确定一个平面确定一个平面C.空空间中如果一个角的两中如果一个角的两边与另一个角的两与另一个角的两边分分别平行，那么平行，那么这两个角相等两个角相等D.四四边形确定一个平面形确定一个平面解析解析显然然选项A正确；正确；对于于选项B，两条平行直，两条平行直线确定唯一一个平面，故确定唯一一个平面，故选项B正确；正确；对于于选项C，由由空空间角角的

21、的等等角角定定理理知知，空空间中中如如果果一一个个角角的的两两边与与另另一一个个角角的的两两边分分别平行，那么平行，那么这两个角相等或互两个角相等或互补，故，故选项C错误；对于于选项D，因，因为空空间四四边形不在一个平面内，故形不在一个平面内，故选项D错误，故，故选AB.AB【A级 基础巩固】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162.下列推断中，下列推断中，错误的是的是()A.若若M，M，l，则MlB.A，A，B，BABC.l，AlA D.A，B，C，A，B，C，且，且A，B，C不共不共线，重合重合解析解析对于于A，因，因为M，M，l,由由基本事基本事实3可知可知M

22、l,A正确；正确；对于于B，A，A，B，B，故故直直线AB，AB，则AB，B正确；正确；对于于C，若，若lA，则有有l，Al，但，但A，C错误；对于于D，有三个不共，有三个不共线的点在平面的点在平面，中，故中，故，重合，重合，D正确正确.C索引索引12345678910 11 12 13 14 15 163.已知已知a，b，c是两两不同的三条直是两两不同的三条直线，下面四个命，下面四个命题中，真命中，真命题是是()A.若直若直线a，b异面，异面，b，c异面，异面，则a，c异面异面B.若直若直线a，b相交，相交，b，c相交，相交，则a，c相交相交C.若若ab，则a，b与与c所成的角相等所成的角相

23、等D.若若ab，bc，则acC解解析析A中中，在在长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，若若直直线AA1记为直直线a，直直线BC记为直直线b，当当记B1A1为直直线c时，a和和c相相交交；当当记DD1为直直线c时，a和和c平平行行；当当记C1D1为直直线c时，a和和c异异面面，故故若若直直线a，b异异面面，b，c异异面面，则a，c相相交交、平行或异面，故平行或异面，故A错误；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B中，若直中，若直线a，b相交，相交，b，c相交，相交，则a，c相交、平行或异面，故相交、平行或异面，故B错误；C中中，若若ab，则由由异异面面直直线所所

24、成成的的角角的的定定义知知a，b与与c所所成成的的角角相相等等，故故C正确；正确；D中，若中，若ab，bc，则a与与c相交、平行或异面，故相交、平行或异面，故D错误，故，故选C.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 164.已已知知空空间中中不不过同同一一点点的的三三条条直直线a，b，l，则“a，b，l两两两两相相交交”是是“a，b，l共面共面”的的()A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解解析析对于于空空间中中不不过同同一一点点的的三三条条直直线a，b，l，若若a，b，l在在

25、同同一一平平面面，则a，b，l两两两两相相交交或或a，b，l中中有有两两条条直直线平平行行，另另一一条条直直线与与之之相相交交，或或三三条条直直线两两平行两两平行.所以所以a，b，l在同一平面，在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；两两相交不一定成立；若若a，b，l两两相交，两两相交，则a，b，l在同一平面成立，在同一平面成立，故故“a，b，l两两相交两两相交”是是“a，b，l共面共面”的充分不必要条件的充分不必要条件.A索引索引12345678910 11 12 13 14 15 165.(多多选)如如图所示，在正方体所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O是是B1D1的中点，

26、直的中点，直线A1C交平面交平面AB1D1于点于点M，则下列下列结论正确的是正确的是()A.A，M，O三点共三点共线B.A，M，O，A1共面共面C.A，M，C，O共面共面D.B，B1，O，M共面共面ABC解析解析MA1C，A1C 平面平面A1ACC1，M平面平面A1ACC1，又又M平面平面AB1D1，M在平面在平面AB1D1与平面与平面A1ACC1的交的交线AO上，上，即即A，M，O三点共三点共线，A，M，O，A1共面且共面且A，M，C，O共面，共面，平面平面BB1D1D平面平面AB1D1B1D1，M在平面在平面BB1D1D外，外，即即B，B1，O，M不共面，故不共面，故选ABC.索引索引12

27、345678910 11 12 13 14 15 16 A解析解析法一法一设正方体的棱正方体的棱长为2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16在在POM中，由余弦定理得中，由余弦定理得索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16法二法二如如图所示，所示，连接接A1C，A1D，在正方形，在正方形AA1D1D中，中，AD1A1D，在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，CD平面平面AA1D1D，而而AD1 平面平面AA1D1D，AD1CD.又又AD1A1D，CDA1DD，AD1平面平面A1DC，而而A1C 平面平面A1DC，AD1A1C.在

28、在AA1C中，中，P为AA1的中点，的中点，O为AC的中点，的中点，POA1C，POAD1，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 167.(多多 选)如如 图，点点 E，F，G，H分分 别 是是 正正 方方 体体 ABCDA1B1C1D1中棱中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，的中点，则()BDA.GH2EFB.GH2EFC.直直线EF，GH是异面直是异面直线D.直直线EF，GH是相交直是相交直线解解析析如如图，取取棱棱CC1的的中中点点N，A1D1的的中中点点M，连接接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中，索引

29、索引12345678910 11 12 13 14 15 16因因为MHA1C1ACFG，所以所以M，H，F，G四点共面，四点共面，同理可得同理可得E，M，N，G四点共面，四点共面，E，F，N，H四点共面，四点共面，所以所以E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面六点共面，均在平面EFGNHM内，内，因因为EFHN，HNHGH，HN，HG，EF 平面平面EFGNHM，所以所以EF与与GH是相交直是相交直线.由正方体的由正方体的结构特征及中位构特征及中位线定理可得定理可得EFHNNGFGEMMH，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 168.已已知知a，b，c是是不不同同

30、直直线，是是平平面面，若若ab，bcA，则直直线a与与直直线c的的位位置置关关系系是是_；若若ab，b，则直直线a与与平平面面的的位位置置关关系系是是_.解析解析a，b，c是不同直是不同直线，是平面，是平面，因因为ab，bcA，所以直所以直线a与直与直线c的位置关系是相交或异面的位置关系是相交或异面.因因为ab，b，则直直线a与平面与平面的位置关系是的位置关系是a或或a.相交或异面相交或异面a或或a 索引索引12345678910 11 12 13 14 15 169.如如图，正正方方体体的的底底面面与与正正四四面面体体的的底底面面在在同同一一平平面面上上，且且ABCD，则直直线EF与正方体的

31、六个面所在的平面相交的平面个数与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.4解解析析因因为ABCD，由由图可可以以看看出出EF平平行行于于正正方方体体左左右右两两个个侧面面，与与另另外外四个四个侧面相交面相交.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1610.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点O是底面是底面ABCD的中心，的中心，过O点作一条点作一条直直线l与与A1D平行，平行，设直直线l与直与直线OC1的的夹角角为，则cos_.解解析析如如图所所示示，设正正方方体体的的表表面面ABB1A1的的中中心心为点点P，容容易易证明明OPA1D，所所以以直直线

32、l即即为直直线OP，POC1或或.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(1)证明：四明：四边形形BCHG是平行四是平行四边形；形；证明证明在在FAD中，由中，由G，H分分别为FA，FD的中点，的中点，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)C，D，F，E四点是否共面？四点是否共面？为什么？什么？四四边形形BEFG为平行四平行四边形，形，EFBG.EF与与CH共面共面.又又DFH，C，D，F，E四点共面四点共面.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1612.如如图，已已知知在在空空间四四边形形ABCD中中，A

33、DBC，M，N分分别为AB，CD的的中中点点，且且直直线BC与与MN所所成成的的角角为30，求求BC与与AD所成的角所成的角.解解如如图，取取BD的的中中点点E，连接接EN，EM，则ENBC，MEAD，故故ENM(或或其其补角角)为BC与与MN所所成成的的角角，MEN(或或其其补角角)为BC与与AD所成的角所成的角.由由ADBC，知，知MEEN，所以，所以EMNENM30，所以所以MEN1803030120，即即BC与与AD所成的角所成的角为60.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16ABD【B级 能力提升】13.(多多选)(2023泰州一模泰州一模)已知直已知直线

34、l与平面与平面相交于点相交于点P，则()A.内不存在直内不存在直线与与l平行平行B.内有无数条直内有无数条直线与与l垂直垂直C.内所有直内所有直线与与l是异面直是异面直线D.至少存在一个至少存在一个过l且与且与垂直的平面垂直的平面索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解析析如如图，对于于A，直直线l与与平平面面相相交交于于点点P，所所以以平平面面内内不不存在直存在直线与与l平行，故平行，故A正确；正确；对于于B，平平面面内内存存在在与与l在在平平面面的的射射影影PO垂垂直直的的直直线n，平面平面内与内与n平行的直平行的直线都与都与l垂直，有无数条，故垂直，有无数条

35、，故B正确；正确；对于于C，平平面面内内过点点P的的直直线m与与直直线l相相交交，不不是是异异面面直直线，故，故C错误；对于于D，取取直直线l上上除除斜斜足足外外一一点点A，过该点点作作平平面面的的垂垂线AO，则平面平面POA垂直于平面垂直于平面，故，故D正确正确.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1614.(多多选)(2023济宁宁模模拟)如如图是是正正四四面面体体的的平平面面展展开开图，G，H，M，N分分别为DE，BE，EF，EC的的中中点点，则在在这个个正四面体中正四面体中()A.GH与与EF平行平行B.BD与与MN为异面直异面直线C.GH与与MN成成60角角

36、D.DE与与MN垂直垂直BCD索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16其中其中H与与N重合，重合，A，B，C三点重合，三点重合，易知易知GH与与EF异面，异面，BD与与MN异面，异面，连接接GM，GMH为等等边三角形，三角形，GH与与MN成成60角角.由由图易得易得DEAF，又，又MNAF，MNDE，因此正确的因此正确的选项是是BCD.解析解析把平面展开把平面展开图还原成正四面体原成正四面体ADEF，如，如图所示，所示，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1615.我我国国古古代代的的数数学学著著作作九九章章算算术商商功功中中，将将底底面面是

37、是直直角角三三角角形形的的直直三三棱棱柱柱称称为“堑堵堵”.”.在在如如图所所示示的的“堑堵堵”ABCA1B1C1中中，ABACAA12，M、N分分别是是BB1和和A1C1的中点，的中点，则平面平面AMN截截“堑堵堵”ABCA1B1C1所得截面所得截面图形的面形的面积为_.解解析析 延延长AN，与与CC1的的延延长线交交于于点点P，则P平平面面BB1C1C，连接接PM，与与B1C1交交于于点点E，连接接NE，得得到到的的四四边形形AMEN是是平平面面AMN截截“堑堵堵”ABCA1B1C1所所得得截截面面图形，形，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引1234

38、5678910 11 12 13 14 15 1616.如如图，在在四四棱棱锥PABCD中中，底底面面ABCD为正正方方形形，边长为4，E为AB的中点，的中点，PE平面平面ABCD.(1)若若PAB为等等边三角形，求四棱三角形，求四棱锥PABCD的体的体积；解解正正方方形形ABCD的的边长为4，且且PAB为等等边三三角角形形，E为AB的中点，的中点，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若若CD的中点的中点为F，PF与平面与平面ABCD所成角所成角为45,求求PC与与AD所成角的正切所成角的正切值.解解如如图，连接接EF，ADBC，PCB即即PC与与AD所成的角所成的角.PE平面平面ABCD，EF，BC 平面平面ABCD，PEEF，PEBC，又又PF与平面与平面ABCD所成角所成角为45，即即PFE45，PEEFtanPFE4，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16又又BCAB，PEABE，PE，AB 平面平面PAB，BC平面平面PAB，又又PB 平面平面PAB，BCPB，