第3节 平面向量的数量积及其应用.pptx

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1、索引第五章 平面向量、复数第3节平面向量的数量积及其应用1.理解平面向量数量理解平面向量数量积的含的含义及其物理意及其物理意义.2.了解平面向量的数量了解平面向量的数量积与投影向量的关系与投影向量的关系.3.掌握数量掌握数量积的坐的坐标表达式，会表达式，会进行平面向量数量行平面向量数量积的运算的运算.4.能能运运用用数数量量积表表示示两两个个向向量量的的夹角角，会会用用数数量量积判判断断两两个个平平面面向向量的垂直关系量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些会用向量的方法解决某些简单的平面几何的平面几何问题.6.会用向量方法解决会用向量方法解决简单的力学的力学问题与其他一些与其他一些实际问题.

2、考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.平面向量数量积的有关概念平面向量数量积的有关概念知识梳理(2)数数量量积的的定定义：已已知知两两个个非非零零向向量量a与与b，它它们的的夹角角为，我我们把把数数量量_叫做叫做向量向量a与与b的数量的数量积(或内或内积)，记作作ab，即，即ab .规定：零向量与任一向量的数量定：零向量与任一向量的数量积为0，即，即0a0.|a|b|cos|a|b|cos 索引索引2.平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示索引3.平面向量数量

3、积的运算律平面向量数量积的运算律(1)abba(交交换律律).(2)ab(ab)a(b)(结合律合律).(3)(ab)cacbc(分配律分配律).索引4.平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法三步曲：三步曲：(1)用向量表示用向量表示问题中的几何元素，将几何中的几何元素，将几何问题转化化为向量向量问题；(2)通通过向量运算，研究几何元素之向量运算，研究几何元素之间的关系；的关系；(3)把运算把运算结果果“翻翻译”成几何关系成几何关系.索引常用结论1.两两个个向向量量a，b的的夹角角为锐角角ab0且且a，b不不共共线；两两个个向向量量a，b的的夹角角为钝角角ab0且且a，b不共不共线.2.平面

4、向量数量平面向量数量积运算的常用公式：运算的常用公式：(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2；(3)(ab)2a22abb2.3.数数量量积运运算算律律要要准准确确理理解解、应用用，例例如如，abac(a0)，不不能能得得出出bc，两两边不能不能约去同一个向量去同一个向量.索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)诊断自测解析解析(1)两个向量两个向量夹角的范角的范围是是0，.(4)由由abac(a0)得得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所所以以向向量量b和和c不不一定相等一定相等.索引2.(必修二必修二P34例例11改改编)设a

5、(5，7)，b(6，4)，设a，b的的夹角角为，则cos _.索引3.(必必修修二二P21例例13改改编)已已知知|a|3，|b|4，且且a与与b不不共共线，若若(akb)(akb)，则实数数k_.索引K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2索引考点一数量积的计算C解析解析由由|a2b|3，可得可得|a2b|2a24ab4b29，索引 0索引 法二法二建立平面直角坐建立平面直角坐标系，如系，如图，索引平面向量数量平面向量数量积的两种运算方法：的两种运算方法：(1)基基底底法法，当当已已知知向向量量的的模模和和夹角角时，可可利

6、利用用定定义法法求求解解，适适用用于于平平面面图形中的向量数量形中的向量数量积的有关的有关计算算问题；(2)坐坐标法，当平面法，当平面图形易建系求出各点坐形易建系求出各点坐标时，可利用坐，可利用坐标法求解法求解.感悟提升索引C解析解析设a与与b所成的角所成的角为，故故a在在b上的投影向量上的投影向量为(|a|cos)e2e.故故选C.索引 11索引 1以以A为原原点点，建建立立如如图所所示示的的平平面面直直角角坐坐标系系，由由题意意知知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，索引 索引考点二数量积的应用角度1夹角与垂直例例2(1)(2022新新高高考考卷卷)已已知

7、知向向量量a(3，4)，b(1，0)，catb，若若a，cb，c，则t()A.6 B.5 C.5 D.6解析解析由由题意，得意，得catb(3t，4)，所以所以ac3(3t)44253t，bc1(3t)043t.因因为a，cb，c，所以，所以cos a，ccos b，c，C索引 索引角度2平面向量的模例例3(2023华大大新新高高考考联盟盟质测)已已知知平平面面向向量量a，b，c满足足bc，|b|c|2，若若abac8，则|a|_.解析解析依依题意，意，abaca(bc)0，所以所以a(bc)，而而bc，abac8，|b|c|2，故故a，ba，c45，索引感悟提升索引训练训练2(1)(2022

8、全国乙卷全国乙卷)已知向量已知向量a(2，1)，b(2，4)，则|ab|()A.2 B.3 C.4 D.5解析解析由由题意知意知ab(2，1)(2，4)(4，3)，D索引 B解析解析由已知得由已知得(a2b)aa22ab|a|22|a|b|cosa，b0，则|a|22|a|2cosa，b0，索引(3)(2023赣州州十十七七校校联考考)已已知知a(1，2)，b(1，3)，若若(kab)(2ab)恒成立，恒成立，则k的的值为_.解析解析因因为a(1，2)，b(1，3)，所以所以kab(k1，2k3)，2ab(3，1).因因为(kab)(2ab)，所以所以(kab)(2ab)0，即即3(k1)2k

9、30，解解得得k0.0索引考点三平面向量与三角的结合应用AC索引 索引向向量量与与三三角角函函数数结合合时，通通常常以以向向量量为表表现形形式式，实现三三角角函函数数问题，要要注注意向量意向量夹角与三角形内角的区角与三角形内角的区别与与联系系.感悟提升索引训训练练3 已已知知A，B，C分分别为ABC的的三三边a，b，c所所对的的角角，向向量量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且，且mnsin 2C.(1)求角求角C的大小；的大小；解解由已知得由已知得mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)，因因为ABC，所以所以sin(AB)sin(C)sin C，

10、所以，所以mnsin C，又又mnsin 2C，所以，所以sin 2C2sin Ccos Csin C，sin C0，索引 解解由已知及正弦定理得由已知及正弦定理得2cab.所以所以abcos C18，所以所以ab36.由余弦定理得由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，所以所以c24c2336，所以所以c236，所以所以c6.FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3 3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B【A级 基础巩固】解析解析因因为向量向量a(2，x)，b(3，2)，且，且ab，所以所以ab62x0，

11、解得，解得x3，即即a(2，3).索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16C所以所以|a|24ab4|b|27.又向量又向量a，b为单位向量，位向量，所以所以54cosa，b7，即即a，b120，故故向量向量a与向量与向量b的的夹角角为120.故故选C.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16A索引索引12345678910 11 12 13 14 15 165.(多多选)(2023南京一模南京一模)下列关于向量下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是的运算，一定成立的是(

12、)A.(ab)cacbcB.(ab)ca(bc)C.ab|a|b|D.|ab|a|b|解析解析根据数量根据数量积的分配律可知的分配律可知A正确；正确；B中，左中，左边为c的共的共线向量，右向量，右边为a的共的共线向量，故向量，故B不正确；不正确；根据数量根据数量积的定的定义可知可知ab|a|b|cosa，b|a|b|，故，故C正确；正确；|ab|2(|a|b|)22ab2|a|b|0，故故|ab|2(|a|b|)2，即即|ab|a|b|，故，故D正确正确.ACD索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1

13、6B索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 168.(2021全国甲卷全国甲卷)若向量若向量a，b满足足|a|3，|ab|5，ab1，则|b|_.解析解析由由|ab|5得得(ab)225，即即a22abb225，结合合|a|3，ab1，得得3221|b|225，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16-2解解析析如如图，分分别过点点C，D作作CGAB，DFAB，垂足分垂足分别为G，F.由由题意得四意得四边形形ABCD

14、为等腰梯形，等腰梯形，AFBG1，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(2)记f(x)ab，求，求f(x)的最大的最大值和最小和最小值以及以及对应的的x的的值.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1612.在平面直角坐在平面直角坐标系系xOy中，点中，点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1).(1)求以求以线段段AB，AC为邻边的平行四的平行四边形两条形两条对角角线的的长；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16ABC【B级 能力提升】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16BD索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析连接接BG,CF，由正八，由正八边形的性形的性质可知可知,AHBG,CFBG，所以所以AHCF，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 161索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16