第二课时 函数性质的综合应用.pptx

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1、索引第二章 函 数第二课时函数性质的综合应用内容索引分层精练巩固提升索引考点一单调性与奇偶性例例1(1)已已知知奇奇函函数数f(x)在在R上上是是增增函函数数，g(x)xf(x)若若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbca解析解析易知易知g(x)xf(x)在在R上上为偶函数，偶函数，奇函数奇函数f(x)在在R上是增函数，且上是增函数，且f(0)0，g(x)在在(0，)上是增函数上是增函数又又3log25.1220.8，且，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8

2、)，则cab.C索引 D又又f(0)2010，所以所以f(x)为奇函数奇函数.索引 当当x0时，f(x)2x1单调递增，增，又又f(x)为奇函数奇函数，所以所以f(x)在在R上上单调递增增.由由f(x)f(t22x)0，得得f(x)f(t22x)f(t22x)，所以所以xt22x，即即xt2在在 x2t，2t上恒成立，上恒成立，索引1.解解抽抽象象函函数数不不等等式式，先先把把不不等等式式转化化为f(g(x)f(h(x)，利利用用单调性性把把不不等等式的函数符号式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式脱掉，得到具体的不等式(组).2.比比较大大小小，利利用用奇奇偶偶性性把把不不在在同同一一单调

3、区区间上上的的两两个个或或多多个个自自变量量的的函函数数值转化到同一化到同一单调区区间上，上，进而利用其而利用其单调性比性比较大小大小.感悟提升索引D解析解析由由题可知可知f(x)的定的定义域域为(3，3)，索引 根据根据单调性的性的结论可知可知f(x)在在(3，3)上上单调递增增.当当x(0，3)时，f(x)0，当当x(3，0)时，f(x)0.所以所以f(1)f(2)f(1)f(2)0，故，故C错误；f(1)f(2)f(2)f(1)0，故，故D正确正确.故故选D.索引(2，1)解析解析由由题意知意知f(x)的定的定义域域为(3，3)，且，且f(x)f(x)，故，故f(x)为奇函数，奇函数，当

4、当x0，3)时，易，易证f(x)单调递增增，所以，所以f(x)在在(3，3)上上单调递增，增，令令g(x)f(1x)f(2)f(1x)，又又g(1)f(0)f(2)f(2)0，所以所以g(x)0的解集的解集为(2，1).索引考点二周期性与奇偶性例例2(1)已已知知函函数数f(x)的的图象象关关于于原原点点对称称，且且周周期期为4，f(3)2，则f(2 025)等等于于()A.2 B.0 C.2 D.4解析解析依依题意，函数意，函数f(x)的的图象关于原点象关于原点对称，称，则函数函数f(x)是奇函数，是奇函数，又又f(x)的周期的周期为4，且，且f(3)2，则有有f(2 025)f(35074

5、)f(3)f(3)2，所以，所以f(2 025)2.A索引(2)(2023青青岛质检)已已知知函函数数f(x)的的定定义域域为R，且且f(2x1)是是偶偶函函数数，f(x1)是奇函数，是奇函数，则下列下列结论正确的个数是正确的个数是()f(x)f(x16)；f(11)0；f(2 024)f(0)；f(2 023)f(3).A.1 B.2 C.3 D.4解析解析因因为f(2x1)是偶函数是偶函数，所以，所以f(2x1)f(12x)，即即f(1x)f(1x)，即函数关于，即函数关于x1对称称，则f(x)f(2x)，因因为f(x1)是奇函数是奇函数，所以，所以f(x1)f(x1)，则f(x2)f(x

6、)f(2x)，即，即f(x2)f(2x)，则f(x)f(x4)，即，即f(x8)f(x4)f(x)，即函数的周期是即函数的周期是8.D索引 则f(x)f(x16)成立，故成立，故正确；正确；令令x0，由，由f(x1)f(x1)，得得f(1)f(1)，得，得f(1)0，f(3)0，则f(11)f(3)0，故，故正确；正确；f(2 024)f(82530)f(0)成立，故成立，故正确；正确；f(2 023)f(82531)f(1)f(3)成立，故成立，故正确正确.索引周周期期性性与与奇奇偶偶性性结合合的的问题多多考考查求求值问题，常常利利用用奇奇偶偶性性及及周周期期性性进行行转换，将所求函数，将所

7、求函数值的自的自变量量转化到已知解析式的函数定化到已知解析式的函数定义域内求解域内求解.感悟提升索引训训练练2(1)(多多选)(2023湖湖州州模模拟)函函数数f(x)的的定定义域域为R，若若f(x1)与与f(x1)都都是是偶偶函数，函数，则()A.f(x)是偶函数是偶函数 B.f(x)是奇函数是奇函数C.f(x3)是偶函数是偶函数 D.f(x)f(x4)解析解析f(x1)是偶函数是偶函数，f(x1)f(x1)，从而，从而f(x)f(x2).f(x1)是偶函数是偶函数，f(x1)f(x1)，从而，从而f(x)f(x2).f(x2)f(x2)，即，即f(x4)f(x)，f(x)是以是以4为周期的

8、周期函数周期的周期函数.f(x1)f(x1)，f(x14)f(x14)，即即f(x3)f(x3)，f(x3)是偶函数是偶函数.CD索引 解析解析由于由于f(x1)为奇函数，奇函数，所以函数所以函数f(x)的的图象关于点象关于点(1，0)对称，称，即有即有f(x)f(2x)0，所以，所以f(1)f(21)0，得得f(1)0，即，即ab0.由于由于f(x2)为偶函数，偶函数，所以函数所以函数f(x)的的图象关于直象关于直线x2对称称，D索引 即有即有f(x)f(4x)0，所以所以f(0)f(3)f(2)f(1)4abab3a6.根据根据可得可得a2，b2，所以当所以当x1，2时，f(x)2x22.

9、根根据据函函数数f(x)的的图象象关关于于直直线x2对称称，且且关关于于点点(1，0)对称称，可可得得函函数数f(x)的周期的周期为4，索引考点三对称性、单调性与周期性C解析解析因因为f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则函数函数f(x)关于直关于直线x1对称，且称，且f(x)为偶函数，偶函数，又又f(x2)f(x)f(x)，故故f(x)的周期的周期为2，索引 索引 D解析解析由由yg(x)的的图象关于直象关于直线x2对称称，可，可得得g(2x)g(2x).由由g(x)f(x4)7得得g(2x)f(x2)7，又又f(x)g(2x)5，即，即f(x)g(2x)5，所以，所以f(x)f(x2)2

10、，由由f(x)f(x2)2得得f(x2)f(x4)2，所以所以f(x4)f(x)，所以函数所以函数f(x)是以是以4为周期的周期函数周期的周期函数.由由f(x)g(2x)5可得可得f(0)g(2)5，索引 又又g(2)4，所以可得，所以可得f(0)1，又又f(x)f(x2)2，所以所以f(0)f(2)2，f(2)2f(0)3，令令x1，得，得f(1)g(3)5；令；令x3，得，得g(3)f(1)7，两式相减得两式相减得2f(1)2，从而从而f(1)1，f(1)2f(1)1，又又f(3)f(1)1，f(4)f(0)1，索引解解决决此此类问题的的难点点在在于于推推出出函函数数的的周周期期性性并并能

11、能应用用，事事实上上，对于于函函数数的的对称称轴、对称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个.感悟提升索引训训练练3(1)(2022东北北师大大附附中中摸摸底底)函函数数f(x)(xR)满足足f(x6)f(x)2f(3)，函函数数yf(x1)的的图象关于点象关于点(1，0)对称，称，则f(2 022)()A.16 B.8 C.4 D.0解析解析根据根据题意，由意，由f(x6)f(x)2f(3)，知知f(x12)f(x6)2f(3)，两式相减，得两式相减，得f(x12)f(x)，即即f(x)是周期是周期为12的周期函数，的周期函数，由由yf(x1)的的图象

12、象关关于于点点(1，0)对称称，且且yf(x)的的图象象是是由由yf(x1)的的图象象向向左平移一个左平移一个单位位长度得到的度得到的，D索引 则yf(x)的的图象关于点象关于点(0，0)对称，称，yf(x)是奇函数是奇函数.f(2 022)f(121686)f(6)，又由又由f(x12)f(x)，令令x6可得可得f(6)f(6)，而而f(x)为奇函数，奇函数，则f(6)f(6)f(6)，所以所以f(6)0，故故f(2 022)f(6)0，故，故选D.索引 解析解析因因为函数函数yf(x1)的的图象关于象关于y轴对称，称，则f(1x)f(1x)，故故f(2x)f(1(x1)f(x11)f(x)

13、，f(2x)f(1(x1)f(1(x1)f(x).又因又因为 xR，都有，都有f(x2)f(2x)，所以所以f(x)f(x)，即即函数函数f(x)为偶函数，偶函数，索引 当且当且仅当当x0时，等号成立，故，等号成立，故f(x)0，又又f(x)不恒不恒为零，零，故函数故函数f(x)在在1，0上上单调递减减.索引函数性质中的二级结论微点突破一、奇函数的最值性质一、奇函数的最值性质若函数若函数f(x)为奇函数，奇函数，则函数函数g(x)f(x)a(a为常数常数)有以下性有以下性质：g(x)g(x)2a；g(x)ming(x)max2a.索引A由由题意可知意可知g(x)在在(0，1)上有最小上有最小值

14、为6，则g(x)在在(1，0)上有最大上有最大值6，故故f(x)g(x)2在在(1，0)上有最大上有最大值8.优解优解由由题意知意知f(x)minf(x)max4，故故f(x)max4f(x)min4(4)8.索引C索引索引索引-3故故f(x)的周期的周期为T3，所所以以f(2 022)f(2 024)f(67430)f(67432)f(0)f(2)f(0)f(2)033.索引 优解优解由由f(x)是奇函数，可知是奇函数，可知f(x)关于关于(0，0)对称，称，所以所以f(x)的周期的周期T3，所所以以f(2 022)f(2 024)f(67430)f(67432)f(0)f(2)f(0)f(

15、2)033.索引 训训练练2 已已知知函函数数f(x1)为奇奇函函数数，函函数数f(x1)为偶偶函函数数，且且f(0)2，则f(4)()A.1 B.1 C.2 D.2解析解析由由f(x1)为奇函数，得奇函数，得f(1x)f(1x)0，故故f(x)的的图象关于象关于(1，0)对称，称，由由f(x1)为偶函数，可得偶函数，可得f(x1)f(x1)，故故f(x)的的图象关于直象关于直线x1对称，称，所以所以f(x)的周期的周期为T8，则f(x4)f(x)，故故f(4)f(0)2.CFENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升索引索引12345678910 11 12

16、13 14 15 161.已知偶函数已知偶函数f(x)满足足f(x)x22x(x0)，则f(x)在在(0，)上上()A.单调递增增 B.单调递减减C.先先递增后增后递减减 D.先先递减后减后递增增A【A级 基础巩固】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16B将将yf(x)的的图象沿象沿x轴向右平移向右平移1个个单位，位，再沿再沿y轴向上平移向上平移1个个单位可得函数位可得函数f(x1)1的的图象，关于点象，关于点(0，0)对称，称，所以函数所以函数f(x1)1是奇函数，故是奇函数，故选B.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 163.(2023

17、泰泰州州调考考)已已知知f(x)是是定定义域域为R的的偶偶函函数数，f(5.5)2，g(x)(x1)f(x).若若g(x1)是偶函数，是偶函数，则g(0.5)()A.3 B.2 C.2 D.3解析解析因因为g(x1)是偶函数是偶函数，所以，所以g(x)的的图象关于直象关于直线x1对称，称，又又g(x1)xf(x1)，所以，所以f(x1)是奇函数，是奇函数，所以所以f(x)的的图象关于点象关于点(1，0)对称，称，又又f(x)为偶函数，所以偶函数，所以f(x)的周期的周期T4，所以所以f(0.5)f(0.5)f(1.5)f(5.5)2，所以所以g(0.5)1.5f(0.5)3.D索引索引1234

18、5678910 11 12 13 14 15 16D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16所以所以f(x)在在R上上为减函数，减函数，由由f(m2)f(m2)6得得f(m2)f(m2)f(m2)f(m2)，即即f(m2)f(m2)，所以所以m2m2，解得解得m2或或m1.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 165.定定义在在R上上的的奇奇函函数数f(x)，其其图象象关关于于点点(2，0)对称称，且且f(x)在在0，2)上上单调递增，增，则()A.f(11)f(12)f(21)B.f(21)f(12)f(11)C.f(11)f(21)f(12

19、)D.f(21)f(11)f(12)解析解析函数函数f(x)的的图象关于点象关于点(2，0)对称称，f(x4)f(x)，又又f(x)为定定义在在R上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(x)f(x)，所以，所以f(x4)f(x)，即，即函数函数f(x)的周期是的周期是4，则f(11)f(1)，f(12)f(0)，f(21)f(1)，f(x)为奇函数，且在奇函数，且在0，2)上上单调递增，增，则f(x)在在(2，2)上上单调递增增，f(1)f(0)f(1)，即，即f(11)f(12)f(21).A索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 6.若若定定义在在R上上的的奇奇函函

20、数数f(x)在在(，0)上上单调递减减，且且f(2)0，则满足足xf(x1)0的的x的取的取值范范围是是()A.1，13，)B.3，10，1C.1，01，)D.1，01，3解析解析因因为函数函数f(x)为定定义在在R上的奇函数上的奇函数，则f(0)0.又又f(x)在在(，0)单调递减，且减，且f(2)0，D画出函数画出函数f(x)的大致的大致图象如象如图(1)所示，所示，则函数函数f(x1)的大致的大致图象如象如图(2)所示所示.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16当当x0时，要，要满足足xf(x1)0，则f(x1)0，得，得1x0.当当x0时，要，要满足足xf(

21、x1)0，则f(x1)0，得，得1x3.故故满足足xf(x1)0的的x的取的取值范范围是是1，01，3.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16AD对于于D，因，因为f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以f(x)在在(，0)上上单调递减减，又又f(0)00cos 01，所以，所以f(x)的最小的最小值为1，故，故D正确正确.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解析解析由函数由函数yf(2x1)的的图象关于直象关于直线x1对称，称，得得f(2x21)f(22x1)，即即f(32x)f(32x)，将将2x换为x可得可得f(x3)f(3x)，即有

22、即有f(6x)f(x)，故故D错误；B索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16又由函数又由函数yf(x1)的的图象关于点象关于点(1，0)对称，称，得函数得函数yf(x)的的图象关于点象关于点(2，0)对称，称，所以所以f(2x)f(2x)且且f(2)f(0)0，则f(4x)f(x)，联立立得得f(6x)f(4x)，即即f(2x)f(x)，所以所以f(4x)f(2x)f(x)，所以函数所以函数f(x)的周期是的周期是4，故，故A，C错误；又因又因为函数函数yf(x)的的图象关于直象关于直线x3对称，称，所以所以f(1x)f(5x)f(1x)，因此，因此B正确正确.索引

23、索引12345678910 11 12 13 14 15 169.(2023河南名校大河南名校大联考考)写出一个同写出一个同时具有下列性具有下列性质的函数解析式的函数解析式f(x)_.f(x)的最大的最大值为2，xR，f(2x)f(x)，f(x)是周期函数是周期函数.解析解析由于由于f(x)是周期函数，是周期函数，所以首先考所以首先考虑f(x)为正弦型函数或余弦型函数，正弦型函数或余弦型函数，由由 xR，f(2x)f(x)可知，可知，f(x)的的图象关于直象关于直线x1对称，称，又又f(x)的最大的最大值为2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1610.(2023烟

24、烟台台、德德州州模模拟)已已知知f(x)为R上上的的奇奇函函数数，且且f(x)f(2x)0，当当1x0时，f(x)2x，则f(2log25)的的值为_.解析解析因因为f(2x)f(x)f(x)，所以所以f(2x)f(x)，所以所以f(x)的周期的周期为2，索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16(0，1)所以所以f(x1)f(3x1)f(|x1|)f(|3x1|)，所以所以|x1|3x1|，所以所以(x1)2(3x1)2，得，得0 x1.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162即即f(x1)f(x)，f(6)f(1).当当1x1时，f(x)

25、f(x)，f(1)f(1).当当x0时，f(x)x31，f(1)2，f(1)f(1)2，f(6)2.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16BC【B级 能力提升】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解析析因因为yf(x)g(x)e|x1|cos x1，f(x)g(x)e|x1|cos x1f(x)g(x)，所以曲，所以曲线yf(x)g(x)不是中心不是中心对称称图形，故形，故A错误；函数函数f(x)1cos x的的图象是象是轴对称称图形形,令令xk，kZ，解得，解得xk，kZ,令令k1，可可得得函函数数f(x)图象象的的一一条条对称称轴

26、为直直线x1.函函数数g(x)e|x1|的的图象象为轴对称称图形形，且且其其对称称轴为直直线x1，所所以以曲曲线yf(x)g(x)是是轴对称称图形形，对称称轴为直直线x1，故，故B正确正确；索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1614.(多多选)(2023厦厦门质检)定定义在在R上上的的奇奇函函数数f(x)满足足f(x2)f(x)，且且当当x(0，1时，f(x)1x，则()A.f(x)是周期函数是周期函数B.f(x)在在(1，1)上上单调递减减C.f(x)的的图象关于直象关于直线x3对称称D.f(x)的的图象关于点象关于点(2，0)对称称解析解析对于于A，因，因为f(

27、x)满足足f(x2)f(x)，所以，所以f(x22)f(x2)f(x)f(x)，所以，所以f(x)是周期是周期为4的周期函数，故的周期函数，故A正确；正确；对于于B，当，当x1，0)时，x(0，1，则f(x)1x，又，又f(x)为奇函数，奇函数，则f(x)1x，故故当当x1，0)时，函函数数f(x)1x单调递减减，且且当当x0时，f(x)1，当当x(0，1时，函函数数f(x)1x单调递减减，且且当当x0时，f(x)1，所以，所以f(x)在在(1，1)上不是上不是单调递减的，故减的，故B错误；ACD索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16对于于C，因，因为f(x)是周期

28、是周期为4的周期函数，的周期函数，所以所以f(x6)f(x2)f(x)f(x)，用，用x3替替换x，得，得f(x3)f(3x)，所以所以f(x)的的图象关于直象关于直线x3对称，故称，故C正确；正确；对于于D，因，因为f(x4)f(x)f(x)，所以所以f(x4)f(x)0，所以所以f(x44)f(x4)0，所以所以f(x)f(4x)0，所以所以f(x)的的图象关于点象关于点(2，0)对称，故称，故D正确正确.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1615.已已知知函函数数f(x)对 xR满足足f(x2)f(x)2f(1)，且且f(x)0.若若yf(x1)的的图象象关关

29、于于x1对称，称，f(0)1，则f(2 025)_.解析解析因因为yf(x1)的的图象关于象关于x1对称，所以称，所以yf(x)的的图象关于象关于x0对称称,即即yf(x)是偶函数是偶函数.对于于f(x2)f(x)2f(1),令令x1，可得，可得f(1)f(1)2f(1),又又f(x)0，所以，所以f(1)2，则f(1)f(1)2，所以所以函数函数f(x)对 xR满足于足于f(x2)f(x)4，所以所以f(x4)f(x2)4，所以，所以f(x4)f(x)，即即f(x)是周期是周期为4的周期函数的周期函数，所以所以f(2 025)f(50641)f(1)2.2索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16bca解析解析f(x)是定是定义在在R上的偶函数，且恒有上的偶函数，且恒有f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(x2)f(x)，f(x)的最小正周期的最小正周期为2.f(x)2x1在在0，1上上单调递增，增，bca.