【数学课件】第2课时用空间向量研究夹角问题 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、 第二课时第二课时 (用空间向量研究夹角问题用空间向量研究夹角问题)一、知识回顾一、知识回顾1.1.向量法求向量法求点到直线的距离点到直线的距离2.2.向量法求向量法求点到平面的距离点到平面的距离3.3.空间向量解决立体几何问题的空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”：(1)(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关

2、系以及它 们之间的距离和夹角等问题；们之间的距离和夹角等问题；(3)(3)把向量运算的结果把向量运算的结果“翻译翻译”成相应的几何结论成相应的几何结论.二、二、探究新知探究新知 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量.下面我们下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角平面与平面的夹角.三、三、向量法求直线与直线所成的角向量法求直线与直线所成的角 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的

3、方向向量的夹角来求得方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线也就是说，若异面直线l1 1、l2 2所成的角为所成的角为，其方向向量分别是，其方向向量分别是 ，则则四、四、向量法求直线与直线所成的角向量法求直线与直线所成的角 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角平面的法向量的夹角.如图，直线如图，直线ABAB与平面与平面相交于点相交于点B,B,设直线设直线ABAB与平面与平面所成的角所成的角为为，直线，直线ABAB的方向向量的方向向量 ，平面平面的法向量为的法向量为 ，则则五、五、向量法求平面与平面的夹角

4、向量法求平面与平面的夹角 平面平面与平面与平面相交，形成四个二面角，这四个二面角中不相交，形成四个二面角，这四个二面角中不大于大于9090的二面角称为的二面角称为平面平面与平面与平面的夹角的夹角.若平面若平面、的法向量分别是的法向量分别是 ，则平面，则平面与平面与平面的夹的夹角即为向量角即为向量 的夹角或其补角，设平面的夹角或其补角，设平面与平面与平面的夹角为的夹角为，则则六、典型例题六、典型例题例例1 1 如图，在棱长为如图，在棱长为1 1的正四面体的正四面体(四个面都是正三角形四个面都是正三角形)ABCD)ABCD中，中，M M、N N分别为分别为BCBC、ADAD的中点，求直线的中点，求

5、直线AMAM和和CNCN夹角的余弦值夹角的余弦值.六、典型例题六、典型例题例例2 2 如图如图,在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中，AC=CB=2AC=CB=2，AAAA1 1=3,ACB=90=3,ACB=90,P P为为BCBC的中点，的中点，Q Q、R R分别在棱分别在棱AAAA1 1、BBBB1 1上，上，A A1 1Q=2AQQ=2AQ,BR=2RBBR=2RB1 1.求平面求平面PQRPQR与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1夹角的余弦值夹角的余弦值.若平面若平面、的法向量分别是的法向量分别是 ，则平面，则平面与平面与平面的夹的夹

6、角即为向量角即为向量 的夹角或其补角，平面的夹角或其补角，平面与平面与平面的夹角为的夹角为，则则七、课堂小结七、课堂小结1.1.向量法求向量法求异面直线所成的角异面直线所成的角2.2.向量法求向量法求直线与平面所成角直线与平面所成角3.3.向量法求平面与平面的夹角向量法求平面与平面的夹角 若异面直线若异面直线l1 1、l2 2所成的角为所成的角为，其方向向量分别是，其方向向量分别是 ，则则 直线直线ABAB与平面与平面相交于点相交于点B,B,设直线设直线ABAB与平面与平面所成的角为所成的角为，直，直线线ABAB的方向向量的方向向量 ，平面平面的法向量为的法向量为 ，则则八、巩固提升八、巩固提升课堂练习课堂练习:第第3838页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题课堂作业课堂作业:第第4141页页习题习题1.41.4第第9 9、1010、1515题题