【数学课件】平面与平面垂直课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、8.6.3 8.6.3 平面与平面垂直平面与平面垂直（1 1）盛盛 琪琪第八章第八章 立体几何初步立体几何初步LOGO引引 入入1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义如果直线如果直线 l 与平面与平面内的内的任意一条直线任意一条直线都都垂直垂直，则称直线，则称直线 l 和平面和平面互相互相垂直垂直.2.直线和平面垂直的判定定理直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面如果一条直线与一个平面内内的两条的两条相交相交直线直线垂直垂直，那么该，那么该直线与此平面垂直直线与此平面垂直.垂直垂直于于同一同一个平面的两条个平面的两条直线平行直线平行aba/b 3.直线与平面垂直的性质定理直线与平

2、面垂直的性质定理 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.LOGO引引 入入二面角二面角在日常生活中，有很多在日常生活中，有很多平面与平面相交平面与平面相交的例子的例子类似地，我们需要先引进类似地，我们需要先引进二面角二面角的概念，的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直研究两个平面互相垂直.LOGO探究新知探究新知 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都

3、叫做射线直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线射线射线射线射线半平面半平面半平面半平面1.二面角二面角半平面：半平面：平面上的一条平面上的一条直线将平面分割成两部分直线将平面分割成两部分，每一部分叫，每一部分叫半平面半平面二面角的定义：二面角的定义：从一条直线出发的从一条直线出发的两个半平面两个半平面所组成的图形叫做所组成的图形叫做二面角二面角.这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱，这两个半平面叫做，这两个半平面叫做二面角的面二面角的面.lABPQ二面角的记法：二面角的记法：记作记作二面角二面角-AB-；二面角二面角P-AB-Q；二面角二面角-l-或或P-l-Q棱棱棱棱面面

4、面面LOGO探究新知探究新知二面角的画法二面角的画法平卧式：平卧式：AB lABl ABCD直立式：直立式：AB AB lLOGO探究新知探究新知问题问题1 那么该如何那么该如何定量定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以 虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度开合程度”并不一样并不一样比如日常生活中，常说比如日常生活中，常说“把门开大一些把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有，

5、这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态不同的状态 用用一个平面角一个平面角来度量二面来度量二面角的大小这样的平面角该如何建构呢角的大小这样的平面角该如何建构呢？LOGO问题问题3 在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线分别作垂直于棱的射线形成形成的角度是的角度是唯一确定唯一确定的的吗吗？为什么？为什么？探究新知探究新知PAB不能不能.因为角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基因为角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基本要求是本要求是“唯一性唯一性”是是唯一确定唯一确定的的根据根据等角定理等角定理.

6、问题问题2在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作任作一条一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？LOGOOAB探究新知探究新知2.二面角的平面角二面角的平面角在二面角在二面角l的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为垂足，在半平面为垂足，在半平面和和内分别作垂内分别作垂直于棱直于棱l的射线的射线OA和和OB，则射线，则射线OA和和OB构成的构成的AOB叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角.问题问题3 在二面角的平面

7、角的定义中在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么点是在棱上任取的，那么AOB的大小与的大小与点点O在棱上的位置有关系吗？在棱上的位置有关系吗？无关无关.根据根据等角定理等角定理.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度个二面角是多少度.注意：注意：(1)大小大小与点与点O的位置无关的位置无关.(2)二面角的平面角两边一定要垂直于棱二面角的平面角两边一定要垂直于棱.LOGO问题问题4 二面角的平面角二面角的平面角的取值范围是什么的取值范围是什么？探究新知探究新知直二面角的定义：直

8、二面角的定义：我们把平面角是直角的二面角叫做我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角锐二面角锐二面角直二面角直二面角钝二面角钝二面角注意注意区分各种角的取值范围：区分各种角的取值范围：异面直线所成角：异面直线所成角：_，线面角：，线面角：_.(0,900,90()lA(B)OlABO=0o二面角的取值范围：二面角的取值范围：二面角的平面角二面角的平面角的取值范围为的取值范围为=180o0o180oLOGO探究新知探究新知 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上角，我们常说

9、墙面直立于地面上.问题问题5 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数面角的面、棱、平面角及其度数 二面角二面角C-AO-B二面角二面角A-BO-C二面角二面角A-CO-BLOGO探究新知探究新知 如图画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一如图画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直组边画成垂直一般地，一般地，两个平面相交，如果它们所成的两个平面相交，如果它们所成的二面角是二面角是直二面角直二面角，就说这，就说这两个平两个平面互相垂直面

10、互相垂直平面平面与与垂直，记作垂直，记作3.两平面垂直的定义两平面垂直的定义LOGO探究新知探究新知 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质定和性质.先研究平面与平面垂直的判定先研究平面与平面垂直的判定这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直墙面与地面垂直.问题问题6 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直如果建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面这

11、种方法说明了什么道系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面这种方法说明了什么道理？理？类似结论也可以在长方体中发现类似结论也可以在长方体中发现如图，在长方体如图，在长方体ABCDABCD中，平中，平面面ADDA经过平面经过平面ABCD的一条垂线的一条垂线AA，此时，平面，此时，平面ADDA垂直于平面垂直于平面ABCDLOGO探究新知探究新知 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.这个定理说明了，可以由这个定理说明了，可以由直线与平面垂直直线与平面垂直证明证明平面与平面垂直平面与平面垂直.4.平面与平面垂直的

12、判定定理平面与平面垂直的判定定理线面线面垂直垂直面面面面垂直垂直图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：aALOGO例题讲解例题讲解【例【例7】如图，在正方体】如图，在正方体ABCDABCD中，求证平面中，求证平面ABD平面平面ACCALOGO例题讲解例题讲解【例【例8】如图所示，如图所示，AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平面，所在的平面，C是圆周是圆周上不同于上不同于A，B的任意一点求证：平面的任意一点求证：平面PAC平面平面PBCLOGO课堂练习课堂练习【练习】【练习】(1)在四面体在四面体A-BCD中，中，AB平面平面BCD，BC CD，你能在图中发，你能在图中

13、发现哪些平面互相垂直，为什么？现哪些平面互相垂直，为什么？由由AB平面平面BCD可知：可知：平面平面ABC平面平面BCD，平面，平面ABD平面平面BCD易证：易证：CD平面平面ABC，故：平面，故：平面ACD平面平面ABC 教科书第教科书第158页的页的例例8以及练习的第以及练习的第3题题中出现的四面体中出现的四面体在中国古代被称在中国古代被称为为“鳖臑鳖臑”，即，即四个面都是直角三角形的三棱锥四个面都是直角三角形的三棱锥“鳖臑鳖臑”是用来展示空是用来展示空间垂直关系的经典素材间垂直关系的经典素材，值得我们关注，值得我们关注LOGO探究新知探究新知四个面都是直角三角形的四面体四个面都是直角三角

14、形的四面体称之为称之为“鳖臑鳖臑”；将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马阳马”；底面是直角形的直三棱柱称之为底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵堑堵”堑堵堑堵阳马阳马鳖臑鳖臑两个两个堑堵堑堵组成一个长方体组成一个长方体一个一个阳马阳马和一个和一个鳖臑鳖臑组成一个组成一个堑堵堑堵两个两个鳖臑鳖臑组成一个组成一个阳马阳马LOGO课堂练习课堂练习【练习】【练习】(1)在四面体在四面体A-BCD中，中，AB平面平面BCD，BC CD，你能在图中发，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？现哪些平面互相垂直，为什么？平面平面ABC平面平

15、面BCD，平面，平面ABD平面平面BCD平面平面ACD平面平面ABC(2)已知已知PA矩形矩形ABCD所在的平面，所在的平面，哪些平面互相垂直哪些平面互相垂直?平面平面PAD平面平面ABCD，平面平面PAB平面平面ABCD，平面平面PBC平面平面PAB，平面平面PAB平面平面PAD，平面平面PDC平面平面PAD，LOGO课堂小结课堂小结1.知识知识点点：2.方法：方法：转化思想转化思想.3.易易错错点点：二二面面角角的的平平面面角角的的取取值值范范围围与与线线与与线线，线线与与面面所所成成交交的的范范围围混淆混淆.平面与平面垂直平面与平面垂直的概念的概念平面与平面垂直平面与平面垂直的判定定理的

16、判定定理二面角及其平面角的概念二面角及其平面角的概念LOGO布置作业布置作业（1）教材P163:7,8（2）手工作业：用硬纸板制作一个阳马和一个鳖臑.8.6.3 8.6.3 平面与平面垂直（平面与平面垂直（2 2）第八章第八章 立体几何初步立体几何初步LOGO引引 入入2、平面与平面垂直的、平面与平面垂直的定义定义两个平面相交，如果它们所成的两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角二面角是直二面角，这两个平面互相垂直，这两个平面互相垂直.1、什么是二面角？怎么找到二面角的平面角？、什么是二面角？怎么找到二面角的平面角？从一条直线出发的两个半平面所组成的图从一条直线出发的两个半平面所组成的图

17、形叫做形叫做二面角二面角LOGO引引 入入3、平面与平面垂直的、平面与平面垂直的判定定理判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.b符号表示：符号表示：下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论件下，能推出哪些结论 如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系个平面内的直线与另一个平面具

18、有什么位置关系线面线面垂直垂直面面面面垂直垂直LOGO引引 入入问题问题1 如图，已知平面如图，已知平面平面平面，=a，则，则内异于内异于a的直线的直线b与与a是什么位是什么位置关系？相应地，置关系？相应地，b与与是什么位置关系？是什么位置关系？因为因为b与与a在同一平面内，故可能在同一平面内，故可能平行平行，也可能，也可能相交相交b/a b/b与与a相交相交 b与与相交相交问题问题2 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直怎样画才能保证所画直线

19、与地面垂直?LOGO探究新知探究新知两个平面垂直，则一个平面内两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线垂直于交线的直线的直线与与另一个另一个平面垂直平面垂直.符号语言：符号语言：1.平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理面面面面垂直垂直线面线面垂直垂直LOGO例题讲解例题讲解例例1 定理辨析定理辨析.已知平面已知平面平面平面，l下列命题下列命题.（2）垂直于交线）垂直于交线l的直线必垂直于平面的直线必垂直于平面（）（3）过平面）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面（）（1）平面）平面内的任意一条直线必垂直于平面内的任意一条直线必垂

20、直于平面（）lLOGO探究新知探究新知问题问题3 设设，点，点P在平面在平面内，过点内，过点P作平面作平面的垂线的垂线a,直线直线a与平面与平面具有什具有什么位置关系么位置关系?如下图，过点如下图，过点P在在内作直线内作直线bc，则，则b.因为过一点有且只有一条直线与因为过一点有且只有一条直线与垂直，所以直线垂直，所以直线a与直线与直线b重重合，因此合，因此a.a LOGO例题讲解例题讲解例例2 如图，已知平面如图，已知平面平面平面，不在平面，不在平面内的直线内的直线a，判断，判断a与与的位置关的位置关系系 解：在解：在内作垂直于内作垂直于与与的交线的直线的交线的直线bbaaba a，即直线，

21、即直线a与平面与平面平行平行 LOGO例题讲解例题讲解例例3如图，已知如图，已知PA平面平面ABC，平面，平面PAB 平面平面PBC求证：求证：BC平面平面PAB PABC证明证明：过点：过点A作作AEPB，垂足为，垂足为E平面平面PAB平面平面PBC，平面平面PAB平面平面PBCPB，AE平面平面PBCBC 平面平面PBC，AEBC又又PA平面平面ABC，BC 平面平面ABC，PABC又又PAAEA，BC平面平面PABLOGO课堂练习课堂练习练习练习1 如图，四棱锥如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面的底面是矩形，侧面VAB底面底面ABCD，又，又VB平面平面VAD.求证：平面求证：平面

22、VBC平面平面VAC.LOGO课堂练习课堂练习练习练习2 判断下列结论判断下列结论()()()()()()LOGO探究新知探究新知直线与直线直线与直线垂直垂直直线与平面直线与平面垂直垂直平面与平面平面与平面垂直垂直判定判定性质性质判定判定定义定义LOGO课堂练习课堂练习练习练习1 1 如图，四棱锥如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面的底面是矩形，侧面VAB底面底面ABCD，又，又VB平面平面VAD.求证：平面求证：平面VBC平面平面VAC.LOGO课堂练习课堂练习练习练习2 如图，棱柱如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面的侧面BCC1B1是菱形，是菱形，B1CA1B.证明：平面证明：平面AB

23、1C平面平面A1BC1.LOGO课堂练习课堂练习练习练习3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面，底面ABCD是直角梯形，是直角梯形，ABAD，CDAD.求证：平面求证：平面PDC平面平面PAD.LOGO课堂练习课堂练习练习练习3 如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDABCD中，中，E为棱为棱CC中点，中点，求二面角求二面角A-BD-E的大小的大小LOGO探究新知探究新知 求二面角的一般步骤：求二面角的一般步骤：1作：作：在棱上选择恰当的一个点，在两半平面内分别作与棱垂直的射线，在棱上选择恰当的一个点，在两半平面内分别作与棱垂直的射线，两射线组成的角

24、，即为二面角的平面角；两射线组成的角，即为二面角的平面角；2证：证：证明证明(1)中所作出的角就是中所作出的角就是二面角的平面角二面角的平面角；（注：关键证明线（注：关键证明线线线垂直）垂直）3求：求：通过解三角形，求出通过解三角形，求出(1)中所作的角的大小中所作的角的大小LOGO课堂练习课堂练习练习练习4 LOGO探究新知探究新知用三垂法作二面角的平面角的一般步骤：用三垂法作二面角的平面角的一般步骤：1在其中一个半平面内取恰当的一点P，过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；2过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；3易知，l垂直OP，所以POQ即为二面角 的平面角.LOGO课堂练习课堂练习练习练习5 如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，且的底面是正方形，且平面平面PAB平面平面ABCDPA=PB=AB=2，求二面角求二面角P-AC-B的余弦值的余弦值三垂法作二面角的平面角三垂法作二面角的平面角LOGO课堂小结课堂小结平面与平面垂直二面角面面垂直的定义面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理LOGO布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业