【数学课件】函数的极值与最大(小)值（1） 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、5.3.2 函数的极值与函数的极值与最大最大(小小)值（值（1）函数的极值函数的极值单调单调性与性与导导数的关系：数的关系：设设函数函数y=f(x)在在区区间间(a,b)内内的的导导数数为为f(x).如果如果f(x)0，如果如果f(x)0，如果如果f(x)=0，复习复习:如果如果f(x)在在(a,b)内内为为增函数增函数，如果如果f(x)在在(a,b)内内为为减函数减函数，则则f(x)在在(a,b)内内为为单调递单调递增增；则则f(x)在在(a,b)内内为为单调递单调递减减；则则f(x)在在(a,b)内内为为常数函数常数函数；则则f(x)0在在(a,b)内内恒成立恒成立；则则f(x)0在在(a

2、,b)内内恒成立恒成立.观察图观察图(1),我们发现我们发现,t=a时时,高台跳水运动员距水面的高度最大高台跳水运动员距水面的高度最大.那么那么,函函数数h(t)在此点的导数是多少呢在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点此点附近的图象有什么特点?相应地相应地,导数的导数的符号有什么变化规律符号有什么变化规律?思考思考1 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减数的增减.如果函数在某些点的导数为如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢，那么在这些点处函数有什么性质呢?观察图观察图象，

3、探究新知象，探究新知：xyOab(1)放大放大t=a附近的图象附近的图象,如图如图(2)所示所示.(2)由由图图可以看出可以看出,h(a)=0;在在t=a的附近的附近,当当t0;当当ta时时，函数，函数h(t)单调递单调递减减，h(t)0.这这就是就是说说，在，在t=a附近，函数附近，函数值值先增先增后减，后减，即当即当t在在a的附近从小到大的附近从小到大经过经过a时时，h(t)先正后先正后负负，且，且h(t)连续变连续变化化，于是有于是有h(a)=0.思考思考2 对于一般的函数对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢，是否也有同样的性质呢?探究探究 如图示，函数如图示，函数y=f(x

4、)在在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系值有什么关系?y=f(x)在这些点的导数值是多少在这些点的导数值是多少?在这些点附近，在这些点附近，y=f(x)的导的导数的正负性有什么规律数的正负性有什么规律?以以x=a,b两点两点为为例例,可以可以发现发现,函数函数y=f(x)在点在点x=a的的函数函数值值f(a)比它在比它在点点x=a附近其附近其他点的函数他点的函数值值都小都小,f(a)=0;而且在点而且在点x=a附近的附近的左左侧侧f(x)0.类类似地似地,函函数数y=f(x)在点在点x=b的的函数函数值值f(b)比它在比它在点点x=b

5、附近其他点的函数附近其他点的函数值值都大都大,f(b)=0;而且在而且在点点x=b附近的附近的左左侧侧f(x)0,右右侧侧f(x)0.我我们们把把a叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小极小值值点点，f(a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小极小值值;b叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大极大值值点点，f(b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大极大值值.极小极小值值点、极大点、极大值值点点统统称称为为极极值值点点，极小极小值值和极大和极大值统值统称称为为极极值值.极极值值反映了函数在反映了函数在某一点附近的大小情况某一点附近的大小情况，刻画了函数的，刻画了函数的局部性局部性质质.xyOabc

6、de1.函数的极值函数的极值 若函数若函数y=f(x)在点在点x=a的的函数函数值值f(a)比它在比它在点点x=a附近其他点的函数附近其他点的函数值值都小都小,且在点且在点x=a附近的附近的左左侧侧f(x)0(单单增增),f(a)=0,我我们们把把a叫叫做函数做函数y=f(x)的的极小极小值值点点，f(a)叫做函叫做函数数y=f(x)的的极小极小值值.如如图图(1).若函数若函数y=f(x)在点在点x=b的的函数函数值值f(b)比它在比它在点点x=b附近其他点的函数附近其他点的函数值值都大都大,且在点且在点x=b附近的附近的左左侧侧f(x)0(单单增增),右右侧侧f(x)0f(x)=0f(x)

7、0极大极大值值减减f(x)0判断判断f(x0)是极大值或是极小值是极大值或是极小值的方法：的方法：左正右负为极大，左负右正为极小左正右负为极大，左负右正为极小左左增增右右减减为极大，左为极大，左减减右右增增为极小为极小解：解：xf(x)f(x)课本课本P92解：解：x(,3)3(3,3)3(3,)f(x)f(x)课本课本P92解：解：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)f(x)课本课本P92解：解：x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)f(x)课本课本P92求可导函数求可导函数f(x)极值的步骤：极值的步骤：(2)求导数求导数f(x)；(3)求方程求方程f(x)=0的的根；根；(4)把定

8、义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格：检查检查f(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号：如果如果左正右负左正右负（左增右减左增右减），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（左减右增左减右增），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1)确定函数的确定函数的定义域定义域；变变式式1 函数函数 在在 处处有极值有极值10，则，则a，b的值为的值为()A.或或 B.或或 C.D.以上都不对以上都不对 A，通过验证，都通过验证，都符符合要求，故应选择合要求，故应选择A.变变式式2 已知已知f(

9、x)x33ax2bxa2在在x1和和x=3时有极值，求时有极值，求a,b的值的值利用函数极值求解函数零点问题利用函数极值求解函数零点问题：例例题题 已已知知函函数数f(x)x33ax1(a0).若若函函数数f(x)在在x1处处取取得得极极值值，直直线线ym与与yf(x)的图象有三个不同的交点，求的图象有三个不同的交点，求m的取值范围的取值范围解解：f(x)在在x1处取得极值且处取得极值且f(x)3x23a，f(1)3(1)23a0，解得解得a1.f(x)x33x1，f(x)3x23.由由f(x)0，可得，可得x1；由由f(x)0，可得，可得1x1.由由图象可知，图象可知，当当3m1时，时，直线

10、直线ym与函数与函数yf(x)的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点.m的取值范围是的取值范围是(3，1).f(x)极大值极大值f(1)1，f(x)极极小小值值 f(1)3.作出作出f(x)的大致图象及直线的大致图象及直线ym如图所示，如图所示，变式变式 已知函数已知函数yx33xc的图象与的图象与x轴恰有两个公共点，则轴恰有两个公共点，则c_解：解：设设f(x)x33xc，则则f(x)3x23，令令f(x)0，得，得x1，易知易知f(x)在在(，1)，(1，)上上单调递单调递增，在增，在(1，1)上上单调递单调递减减 f(x)极大极大值值f(1)，f(x)极极小小值值 f(1).若若函

11、数函数yx33xc的的图图象与象与x轴轴恰有两个公共点恰有两个公共点，则则f(1)0，或或f(1)0，解得，解得c2或或c2.答案：答案：2或或2注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性局部性质质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小多个极大值或极小值值，并对同一个函数来说，在某，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点一点的极大值也可能小于另一点的极小值的极小值。练习练习1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 .可导函数必有极值；

12、可导函数必有极值；可导函数在极值点的导数一定等于零；可导函数在极值点的导数一定等于零；函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个函数的极小值（或极大值）不会多于一个.练习练习2.(高考高考题题)已知函数已知函数 在点在点 处处取得极大取得极大值值5，其其导导函数函数 的的图图像像(如如图图)过过点点(1,0),(2,0),求求：(1)的的值值；(2)a,b,c的的值值.解：解：(1)由由图图像可知像可知练习练习4.(高考高考题题)函数函数f(x)的定的定义义域域为为开区开区间间(a,b)，导导

13、函数函数f(x)在在(a,b)内的内的图图像如像如图图所示，所示，则则函数函数f(x)在开区在开区间间(a,b)内有（内有（）个极小）个极小值值点点.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 练习练习3.函数函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大既有极大值值，又有极小，又有极小值值，则则a的取的取值值范范围围_.练习练习5.函数函数y=f(x)的的导导数数y与函数与函数值值和极和极值值之之间间的关系的关系为为()A.导导数数y由由负变负变正正，则则函数函数y由减由减变为变为增增，且有极大且有极大值值 B.导导数数y由由负变负变正正，则则函数函数y由增由增变为变为减减，且有极大且

14、有极大值值 C.导导数数y由正由正变负变负，则则函数函数y由增由增变为变为减减，且有极小且有极小值值 D.导导数数y由正由正变负变负，则则函数函数y由增由增变为变为减减，且有极大且有极大值值D练习练习6.已知函数已知函数f(x)x3ax2在在x1时取得极值时取得极值 (1)求求a的值；的值；(2)求函数求函数yf(x)在在x2处的切线方程处的切线方程解：解：(1)由已知由已知f(x)3x2a，由由f(1)0，得，得a3.(2)由由(1)得得f(2)9，f(2)4，切点坐标为切点坐标为(2,4)，切线斜率为，切线斜率为9.yf(x)在在x2处的切线方程为处的切线方程为9xy140.练习练习7.a

15、为何值时，方程为何值时，方程x33x2a0恰有一个实根、两个不等实根、三恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？个不等实根，有没有可能无实根？解：令解：令f(x)x33x2，则，则f(x)的定义域为的定义域为R，由由f(x)3x26x0，得，得x0或或x2，所以当所以当x0或或x2时，时，f(x)0；当当0 x2时，时，f(x)0.所以函数所以函数f(x)在在x0处有极大值处有极大值0，在，在x2处有极小值处有极小值4，如图所示，故当如图所示，故当a0或或a4时，原方程有一个根；时，原方程有一个根；当当a0或或a4时，原方程有两个不等实根；时，原方程有两个不等实根；当当4a

16、0时，原方程有三个不等实根；时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根由图象可知，原方程不可能无实根练习练习8.(重重庆庆高考高考)设设(x)2x3ax2bx1的的导导数数为为(x)，若函数，若函数y(x)的的图图象关于直象关于直线线x 对对称，且称，且(1)0.(1)求求实实数数a，b的的值值；(2)求函数求函数(x)的极的极值值(2)求函数求函数(x)的极的极值值小结：小结：求可导函数求可导函数f(x)极值的步骤：极值的步骤：2.求导数求导数f(x)；3.求方程求方程f(x)=0的根；的根；4.把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格：检查检查f(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号：如果如果左正右负左正右负（左增右减左增右减），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（左减右增左减右增），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；1.确定函数的确定函数的定义域定义域；