广东省台山市第一中学2024届高三上学期第一次月考数学试题含解析.pdf

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1、台山一中台山一中 2024 届高三第一次月考数学试题届高三第一次月考数学试题2023-08一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，共小题，共 40 分分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合21Axx N，lg21Bxx，则AB（）A.1,0,1B.0,1C.1,1D.12.已知 i 为虚数单位，若复数24i2iz，则z（）A.2iB.2iC.63i55D.63i553.“94a”是“方程230()xxaxR有正实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知0t，则函数241t

2、tyt的最小值为A.2B.12C.1D.25.921 1xxx展开式中含5x的系数是（）A.28B.28C.84D.846.2023 年武汉马拉松于 4 月 16 日举行，组委会决定派小王、小李等 6 名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（）A.40B.28C.20D.147.设5215,ln,sin111111abc，则（）A.cabB.cbaC.abcD.bca8.设函数23log(1),1,()31,3xxkf xxxkx 的值域为 A，若 1,1A，则()f x的零点个数最多是（）A.1B.2

3、C.3D.4二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分分.在每小题有多项符合题目要求）在每小题有多项符合题目要求）9.国家学生体质健康标准是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4000名大一新生进行体质健康测试，现抽查 200 名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为70,75)，75,80)，80,85)，85,90)，90,95)，95,100)则下列说法正确的是（）A.估计该样本的众数是87.5B.估计该样本的均值是80C.估计该样本

4、的中位数是86D.若测试成绩达到85分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为2200人10.已知非零实数 a，b 满足|1ab，则下列不等关系一定成立的是（）A.221abB.122abC.24abD.1abb11.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量,x y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱B.设随机变量服从正态分布0,1N，若(1)Pp，则1(10)2Pp C.在回归分析中，2R为0.98的模型比2R为0.89的模型拟合的更好D.某人在10次答题中，答对题数为X，10,0.8BX，则答对8题的概率最大12.已知函数112()2xxf xeexx，若不等式2(2

5、)3faxf x对任意xR恒成立，则实数a的取值可能是（）A.4B.12C.2D.3 2三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分）分）13.若命题“21,3,10 xxax ”是假命题，则实数a的最大值为_14.已知向量,a b 满足2,4,0abbaa，则a与b的夹角为_.15.已知1F，2F为椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，若12122PFPFFF，则 C 的离心率为_16.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取 100 人、60 人参加演出活动，高一 100 人中女生占35，高二60 人中女生占34，则从中抽取 1 人恰好是女生的概率为_四、解答题

6、（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，A=60，c=37a.（1）求 sinC 的值；（2）若 a=7，求ABC的面积.18.设()fx为函数()f x的导函数，已知()(0)cos2()Rf xxfxa a，且()f x的图像经过点(0,2)（1）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）求函数()f x在0,上的单调区间19.已知图 1 是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为 4，90A，60D将三角形ABE沿BE折起

7、，使得平面1ABE 平面BCDE（如图 2）（1）求证：1ACCD；（2）求二面角1BACD的正弦值20.已知数列 na的首项145a，且满足143nnnaaa，设11nnba.（1）求证：数列 nb为等比数列；（2）若1231111140naaaa，求满足条件的最小正整数n.21.已知椭圆 E:22221(0)xyabab与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2为椭圆的焦点,且12MFF是边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+23与椭圆 E 交于不同的两点 A,B.（1）直线 MA,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；（2）求ABM的面积的最大

8、值.22.“英才计划”最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2022 年已经培养了 6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动（1）若化学组的 12 名学员中恰有 5 人来自同一中学，从这 12 名学员中选取 3 人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响已知甲、乙两位同学组成一

9、组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p，2p，且1243pp，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得 6 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？台山一中台山一中 2024 届高三第一次月考数学试题届高三第一次月考数学试题2023-08一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，共小题，共 40 分分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合21Axx N，lg21Bxx，则AB（）A.1,0,1B.0,1C.1,1D.1【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】因为210,1Axx N，lg2

10、1021028Bxxxxxx，所以0,1AB.故选：B.2.已知 i 为虚数单位，若复数24i2iz，则z（）A.2iB.2iC.63i55D.63i55【答案】B【解析】【分析】由复数的运算化简复数z，再求共轭复数即可.【详解】因为25 2i5 2i4i52i2i2i2i2i5z，所以2iz.故选：B.3.“94a”是“方程230()xxaxR有正实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据零点的几何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由方程230 xxa有正实数根，则等

11、价于函数 23f xxxa有正零点，由二次函数 f x的对称轴为302x ，则函数 f x只能存在一正一负的两个零点，则 94000af，解得90,0,4a，故选：B.4.已知0t，则函数241ttyt的最小值为A.2B.12C.1D.2【答案】A【解析】【分析】先分离，再根据基本不等式求最值，即得结果.【详解】241114242ttyttttt ，当且仅当1tt，即1t 时，等号成立.选 A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.5.921 1xxx展开式中含5x的系数是（）A.28B.28C.84D.84【答案】C【解析】【分析】根据91x展开式的通项，分别

12、求出展开式中含3x、4x、5x的项的系数，即可得出答案.【详解】91x展开式的通项为9199=C1CrrrrrrTxx，0,1,2,9r.当21xx选取2x时，由已知可得，应选取91x展开式中含3x的项，由3r，可得33349=C84Txx；当21xx选取x时，由已知可得，应选取91x展开式中含4x的项，由4r，可得44459=C126Txx；当21xx选取1时，由已知可得，应选取91x展开式中含5x的项，由=5r，可得55569=C126Txx.所以，921 1xxx展开式中含5x的系数是1 84 1 126 1 12684 .故选：C.6.2023 年武汉马拉松于 4 月 16 日举行，组

13、委会决定派小王、小李等 6 名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（）A.40B.28C.20D.14【答案】B【解析】【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余 4 个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可.【详解】若小王在 1 号路口，小李在 2 号路口，则剩余 4 个人分到两个路口，两个路口为1 3人分布，共有132432C C A8种方案，两个路口为22人分布，共有22242222C C A6A种方案，此时共有8614种方案；同理若小王在 2 号路口，小李在 1 号路口，也共有86

14、14种方案.所以一共有 28 种不同的安排方案种数.故选：B7.设5215,ln,sin111111abc，则（）A.cabB.cbaC.abcD.bca【答案】A【解析】【分析】构造函数 sin(0)2f xxxx和1()ln(12)02g xxxx，利用导数求解单调性，即可判断.【详解】当0,2x时，记 sinxxxf，则 1 cos0fxx，故()f x在0,2x单调递增，故()00f xf，因此得当0,2x时，sinxx，故55sin1111，即ac；21555lnln 1211111111ba，设1()ln(12)02g xxxx，则511bag，因为21 2()11212xg xx

15、x，当102x时，()0g x 所以()g x在10,2上单调递增，所以5(0)011gg，即ba，所以bac故选：A8.设函数23log(1),1,()31,3xxkf xxxkx 的值域为 A，若 1,1A，则()f x的零点个数最多是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断；【详解】解：令2()log(1)g xx，则2()log(1)g xx在(,1)上单调递减；令3()31h xxx，则2()33h xx由()0h x，得1x 或1x ；由()0h x，得11x，所以()h x在(,1)和(

16、1,)上单调递增，在(1,1)上单调递减，于是，()h x的极大值为(1)3h，极小值为(1)1h 在同一坐标系中作出函数()g x和()h x的图象，如下图：显然(1)(1)1fg；由()1g x ，得12x；由()f x的解析式，得11k（1）若10k，当0kx时，()(0)1f xf，不符合题意；（2）若112k，当12xk时，1()12 f xf，不符合题意；（3）若102k，当1xk 时，1()1f x；当3kx时，(1)()max(),(3)1ff xf kf，即1()1f x 由，102k时符合题意此时，结合图象可知，当0k 时，()f x在 1,)k上没有零点，在,3k上有 2

17、 个零点；当102k时，()f x在 1,)k上有 1 个零点，在,3k上有 1 个或 2 个零点，综上，()f x最多有 3 个零点故选：C二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分分.在每小题有多项符合题目要求）在每小题有多项符合题目要求）9.国家学生体质健康标准是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4000名大一新生进行体质健康测试，现抽查 200 名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为70,75)，75,80)，80,85)，85

18、,90)，90,95)，95,100)则下列说法正确的是（）A.估计该样本的众数是87.5B.估计该样本的均值是80C.估计该样本的中位数是86D.若测试成绩达到85分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为2200人【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图，可判断 A 项；根据频率分布直方图，估计出平均数，可判断 B 项；根据频率分布直方图，估计出中位数，可判断 C 项；根据频率分布直方图，测试成绩达到85分的频率为0.55，即可估算有资格参加评奖的人数.【详解】对于 A 项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为85,90)，所以可估计该样本的众数是859087.52，故 A 项正

19、确；对于 B 项，由频率分布直方图，可估计该样本的均值是0.020 5 72.50.030 5 77.50.040 5 82.5 0.050 5 87.50.035 5 92.50.025 5 97.585.625 ，故 B 项错误；对于 C 项，由频率分布直方图可得，成绩在70,85)之间的频率为50.020 50.030 500.045.04 ，在70,90)之间的频率为70.020 50.030 50.040 50.050 50.，所以可估计该样本的中位数在85,90)内.设中位数为x，则由850.450.250.59085x可得，86x，故 C 项正确；对于 D 项，由频率分布直方图可

20、得，测试成绩达到85分的频率为0.050 50.035 50.025 50.55 ，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为4000 0.552200人，故 D 项正确.故选：ACD.10.已知非零实数 a，b 满足|1ab，则下列不等关系一定成立的是（）A.221abB.122abC.24abD.1abb【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可【详解】解：对于非零实数a，b满足|1ab，则22|1ab，即2222|11abbb，故 A 一定成立；因为1|1122ababb ，故 B 一定成立；又2|10b，即212|bb，所以24|4abb，故 C 一定成立；对于 D：

21、令5a，3b，满足|1ab，此时5143abb，故 D 不一定成立故选：ABC11.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量,x y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱B.设随机变量服从正态分布0,1N，若(1)Pp，则1(10)2Pp C.在回归分析中，2R为0.98的模型比2R为0.89的模型拟合的更好D.某人在10次答题中，答对题数为X，10,0.8BX，则答对8题的概率最大【答案】BCD【解析】【分析】由相关系数，正态分布，二项分布的概念判断【详解】对于 A，两个变量,x y的相关系数为r，r越小，x与y之间的相关性越弱，故 A 错误，对于 B，随机变量服从正态分布0

22、,1N，由正态分布概念知若(1)Pp，则1(10)2Pp，故 B 正确，对于 C，在回归分析中，2R越接近于1，模型的拟合效果越好，所以2R为0.98的模型比2R为0.89的模型拟合的更好，故 C 正确，对于 D，某人在10次答题中，答对题数为X，10,0.8BX，则数学期望10 0.88E X，说明答对8题的概率最大，故 D 正确故选：BCD12.已知函数112()2xxf xeexx，若不等式2(2)3faxf x对任意xR恒成立，则实数a的取值可能是（）A.4B.12C.2D.3 2【答案】BC【解析】【分析】令1tx，得到2()1ttg teet，推得 g t为偶函数，得到 f x的图

23、象关于1x 对称，再利用导数求得当1x 时，f x单调递增，当1x 时，f x单调递减，把不等式转化为212axx恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数112()2xxf xeexx，令1tx，则1xt，可得2()1ttg teet，可得22()()11()ttttgteeteetg t ，所以 g t为偶函数，即函数 f x的图象关于1x 对称，又由()2ttg teet，令()()2tttg teet，可得()20tttee，所以()t为单调递增函数，且(0)0，当0t 时，()0g t，g t单调递增，即1x 时，f x单调递增；当0t 时，()0g t，g t单调递减，即

24、1x 时，f x单调递减，由不等式2(2)3faxf x，可得2213 1axx，即212axx所以不等式212axx恒成立，即22212xaxx 恒成立，所以221030 xaxxax 的解集为R，所以240a 且2()120a，解得22a，结合选项，可得 BC 适合.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设1tx，从而得到2()1ttg teet，证明其为偶函数，则得到 f x的图象关于1x 对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分）分）13.若命题“21,3,10 xxax ”是假命题，则实数a

25、的最大值为_【答案】103【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“21,3,xx 10ax”是真命题令2()1(1,f xxaxx3)，则 120,33100,fafa解得103a ，故实数a的最大值为10.3故答案为：10.314.已知向量,a b 满足2,4,0abbaa，则a与b的夹角为_.【答案】3【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】由2004baab aab a ，41cos,4 223b ab ab aba ，故答案为：315.已知1F，2F为椭圆 C 的两个焦点，P 为

26、 C 上一点，若12122PFPFFF，则 C 的离心率为_【答案】12【解析】【分析】利用椭圆的定义及12122PFPFFF，得到24ac，进而得解.【详解】P为椭圆C上一点，由椭圆的定义知，122PFPFa，因为121224PFPFFFc，所以24ac，所以12cea.故答案为：12.【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义，属于基础题.16.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取 100 人、60 人参加演出活动，高一 100 人中女生占35，高二60 人中女生占34，则从中抽取 1 人恰好是女生的概率为_【答案】2132【解析】【分析】根据条件概率公式即可求解.【详解】用,A A分

27、别表示取的一人是来自高一和高二，B表示抽取一个恰好是女生，则由已知可知：1005603(),()16081608P AP A,且33(),()54P B AP B A,所以 533321()858432P BP A P B AP A P B A故答案为：2132四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，A=60，c=37a.（1）求 sinC 的值；（2）若 a=7，求ABC的面积.【答案】（1）3 314（2）6 3【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可

28、，（2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案【小问 1 详解】在ABC中，因为60A，37ca，所以由正弦定理得sin333 3sin7214cACa.【小问 2 详解】因为7a，所以3737c.由余弦定理2222cosabcbcA得222173232bb，解得8b 或=5b（舍）.所以ABC的面积113sin8 36 3222SbcA .18.设()fx为函数()f x的导函数，已知()(0)cos2()Rf xxfxa a，且()f x的图像经过点(0,2)（1）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）求函数()f x在0,上的单调区间【答案】（1

29、）20 xy（2）单调递增区间为0,12和5,12；单调递减区间为5,12 12【解析】【分析】(1)求导，计算(0)f 得到切线斜率，点斜式求切线方程.(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.【小问 1 详解】()(0)cos2()Rf xxfxa a，则()12(0)sin2 fxfx，得(0)1f由题意(0)2f，可得曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2yx，即20 xy【小问 2 详解】由已知得(0)(0)2ffa又由（1）知(0)1f，所以1a 故()cos21f xxx()12sin2,0,fxx x，由()0fx，得012x，或512x；

30、由()0fx，得51212x故()f x在0,上的单调递增区间为0,12和5,12；单调递减区间为5,12 1219.已知图 1 是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为 4，90A，60D将三角形ABE沿BE折起，使得平面1ABE 平面BCDE（如图 2）（1）求证：1ACCD；（2）求二面角1BACD的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BE的中点O，连接1AO，OC，则1AOBE，再结合已知面面垂直可得1AO 平面BCDE，则1AOCD，而OCCD，再由线面垂直的判定可得CD 面1AOC，从而可证得1ACCD，（2）以OB，O

31、C，1OA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问 1 详解】证明：取BE的中点O，连接1AO，OC11ABAE，1AOBE又平面1ABE 平面BCDE，且平面1ABE 平面BCDEBE，1AO 平面1ABE，1AO 平面BCDECD 平面BCDE，1AOCD在菱形BCDE中，60D，BCE为等边三角形，BE的中点为O，OCBE，BECD，OCCD1AOOCO=，1,AO OC 平面1AOC，CD 平面1AOC，1AC 平面1AOC，1CDAC【小问 2 详解】由（1）1AO 平面BCDE，,OB OC 平面BCDE，11,OAOB AOOC，OCBE，如图

32、,以OB，OC，1OA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(0,2 3,0),(4,2 3,0),(0,0,2)BCDA，1(0,2 3,2)AC，(2,2 3,0)BC ，(4,0,0)CD 设平面1BAC的法向量为1(,)nx y z，则1112 32022 30nACyzn BCxy ，不妨设1y，则1(3,1,3)n 设平面1DAC的法向量为2(,)na b c，则2122 32040nACbcnCDa ，令3c，则2(0,1,3)n ，设二面角1BACD的大小为，由图可知为钝角，121242 7cos73 1 31 3n nnn ，21sin7二面

33、角1BACD的正弦值为21720.已知数列 na的首项145a，且满足143nnnaaa，设11nnba.（1）求证：数列 nb为等比数列；（2）若1231111140naaaa，求满足条件的最小正整数n.【答案】（1）证明见解析（2）140【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和的方法得到1231111314nnnaaaa，然后利用314nn 的增减性解不等式1231111140naaaa即可.【小问 1 详解】11311141111nnnnnnnabaabaa3 134 14nnaa，111114ba，所以数列 nb为首项为114b，公比为34等比数列.【小问

34、2 详解】由（1）可得12311111111naaaa13144314n314n，即1231111314nnnaaaa 1231111314nnnaaaa 而314nn 随着n的增大而增大要使1231111140naaaa，即311404nn，则140n，n的最小值为 140.21.已知椭圆 E:22221(0)xyabab与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2为椭圆的焦点,且12MFF是边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+23与椭圆 E 交于不同的两点 A,B.（1）直线 MA,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；（2）求ABM的面积的最大

35、值.【答案】（1）14;（2）32.【解析】【详解】（1）因为12MFF是边长为 2 的等边三角形，所以22c，3bc，2a，所以2,3ab，所以椭圆E：22143xy，点0,3M.将直线:2 3l ykx代入椭圆E的方程，整理得：223416 3360kxkx，（*）设1122,A x yB xy，则由（*）式可得22216 34 343648 490kkk，所以33,22k ，12216 334kxxk，1223634x xk，所以直线,MA MB的斜率之积121233MAMByykkxx221212222121216 33333343936136364kkkxkxkk xxkkkkx x

36、x x所以直线,MA MB的斜率之积是定值14.（2）记直线:2 3l ykx与y轴的交点为0,2 3N，则2112ABMANMBNMSSSMN xx21212342xxx x222316 336423434kkk226 4934kk22631224949kk当且仅当24912k，即2133,222k 时等号成立.所以ABM的面积的最大值为32.22.“英才计划”最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2022 年已经培养了 6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动（1

37、）若化学组的 12 名学员中恰有 5 人来自同一中学，从这 12 名学员中选取 3 人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p，2p，且1243pp，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得 6 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？【答案】（1）分布列见解析，5()4E（2）11 轮【解析】【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即

38、可；（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.【小问 1 详解】由题意可知的可能取值有 0、1、2、3，373127(0)44CPC，125731221(1)44C CPC，12753127(2)22C CPC，353121(3)22CPC所以，随机变量的分布列如下表所示：0123P7442144722122所以721715()0123444422224E 【小问 2 详解】他们在每轮答题中取得胜利的概率为12222122222112221222212211QC pp C pC p C ppC p C p22121212121282333p pppp pp pp p，由101p，201p，1243pp，得1113p，则22121111144243339p pppppp，因此121 4,3 9p p，令121 4,3 9tp p，228416333927Qttt，于是当49t 时，max1627Q要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值1627设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，则16,27XB n，16()27E Xn，由()6E X，即16627n，解得10.125n 而*nN，则min11n，所以理论上至少要进行 11 轮答题