辽宁省沈阳市新民市高级中学2023-2024学年高三上学期9月份开学考试数学试题含答案.pdf

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1、辽宁省沈阳市新民市高级中辽宁省沈阳市新民市高级中学学 20232024 学年度上学学年度上学期期 9 月份开学考月份开学考试试数学试卷数学试卷第第卷（选择题）卷（选择题）一、单选题一、单选题1.集合401xxx（）A.,14,B.,14,C.1,4D.1,42.下述正确的是（）A.若为第四象限角，则sin0B.若cos0，则2C.若的终边为第三象限平分线，则tan1 D.“,Z4kk”是“sincos”的充要条件3.已知函数 2sin0,f xx的部分图象如图所示，且214xx，则,的值为（）A.31,4B.111,12C.2,3D.22,34.已知0 x，0y，21xy，则11xyxy的最小

2、值为（）A.44 3B.12C.84 3D.165.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而流芳后世如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 37m，在地面上点 C 处（B，C，N 三点共线）测得建筑物顶部 A，鹳雀楼顶部 M 的仰角分别为30和45，在 A处测得楼顶部 M 的仰角为15，则鹳雀楼的高度约为（）A.74mB.60mC.52mD.91m6.岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展 下图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个

3、图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A.24yxxB.24yxxC.22yxxD.22yxx7.已知函数 f x是定义在R上的可导函数，其导函数为 fx，若对任意xR有 1fx，110fxfx，且 02f，则不等式11f xx的解集为（）A.4,B.3,C.2,D.0,8.记20232022a，20232023b，20242023c，则 a，b，c 的大小关系是（）A.abcB.acbC.bcaD.bac二、多选题二、多选题9.设函数 sinsinf xxx，则（）A.f x是偶函数B.2是 f x的一个周期C.函数 1g xf x存在无数个零点

4、D.存在0,x ，使得00fx10.已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（）A.sinsinsinsinaabcAABCB.若ABC为斜三角形，则tantantantantantanABCABCC.若0AC CB ，则ABC是锐角三角形D.若sincoscosabcABC，则ABC一定是等边三角形11.如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（P在水下则d为负数）、d与时间t（单位：s）之间的关系是33sin306

5、2dt，则下列说法正确的是（）A.筒车的半径为 3m，旋转一周用时 30sB.筒车的轴心O距离水面的高度为3m2C.40,50t时，盛水筒P处于向上运动状态D.盛水筒P出水后至少经过 20s 才可以达到最高点12.已知当0 x 时，111ln(1)1xxx，则（）A.19109e98B.11ln91ln1029 C.910()9!eD.019222999019CCC()()()e999第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三填空题三填空题13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为3，则

6、该勒洛三角形的面积是_14.已知函数 12sinsinf xxx，0,x，当x时，函数 f x取得最小值，则cos2_.15.已知函数 cos()(0)6f xx在区间7(,26上有且只有 2 个零点，则的取值范围是_.16.已知偶函数 f x的定义域为R，函数 sincossincos4444g xxxxx，且 2log42,0,1,1,99,9,xxf xg xxf xx，若 f x在,m m上的图象与直线2y 恰有602个公共点，则m的取值范围为_.四、解答题四、解答题17.在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC的面积为 S，已知2224 3bcaS（1）求角

7、A；（2）若2a，求3bc的取值范围.18.已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,3,6cos2a b c abBc.（1）求A；（2）M为ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，_，求ABC的面积.请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.ABC的三个顶点都在以M为圆心的圆上，且32MD；ABC的三条边都与以M为圆心的圆相切，且3 32AD.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.19.已知函数 222 3sin2sin314f xxx.（1）求 f x的单调递增区间；（2）方程 32f x 在0,2上的两解分别为12x x，求12cos xx的值.20.

8、已知2()xf xeax，曲线()yf x在(1,(1)f处的切线方程为1ybx.（1）求,a b的值；（2）求()f x在0,1上的最大值；（3）当xR时，判断()yf x与1ybx交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）21.如图，C，D 是两个小区所在地，C，D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA1km，DB2km，AB 两端之间的距离为 6km（1）某移动公司将在 AB 之间找一点 P，在 P 处建造一个信号塔，使得 P 对 A，C 的张角与 P 对 B，D 的张角相等（即CPADPB），试求PCPD的值；（2）环保部门将在 AB 之间找一点 Q，在 Q 处建造一个垃圾处理厂，使

9、得 Q 对 C，D 所张角最大，试求QB的长度22.已知函数 cosf xxx，sing xax（1）若1a，证明：当0,2x时 xg xfx；（2）当,00,22x 时，sinf xxg xx，求 a 的取值范围20232024 学年度上学学年度上学期期 9 月份开学考试月份开学考试数学试卷数学试卷第第卷（选择题）卷（选择题）一、单选题一、单选题1.集合401xxx（）A.,14,B.,14,C.1,4D.1,4【答案】C【解析】【分析】根据分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.【详解】由401xx，得41010 xxx，解得14x，则集合401,41xxx.故选：C.2.下述正确的是（

10、）A.若为第四象限角，则sin0B.若cos0，则2C.若的终边为第三象限平分线，则tan1 D.“,Z4kk”是“sincos”的充要条件【答案】D【解析】【分析】对于 A，利用三角函数定义即可判断；对于 B，求出的值即可判断；对于 C，算出的范围即可判断；对于 D，利用充分，必要的定义进行判断即可【详解】对于 A，若为第四象限角，根据三角函数定义可得sin0，故不正确；对于 B，若cos0，则,Z2kk，故不正确；对于 C，若的终边为第三象限平分线，则52,Z4kk，此时tan1，故不正确；对于 D，由,Z4kk可得sintan1cos，即sincos，满足充分性；由sincos可得sin

11、tan1cos，所以,Z4kk，满足必要性，故正确故选：D3.已知函数 2sin0,f xx的部分图象如图所示，且214xx，则,的值为（）A.31,4B.111,12C.2,3D.22,3【答案】C【解析】【分析】由214xx可得44T，求出周期，再利用周期公式可求出，再由29112f 可求出的值.【详解】由题意可得44T，得T，所以2，得2，所以 2sin 2fxx，因为 f x的图象过点29,112，所以292sin16，得51sin 5sin662，所以1sin62，所以2,Z66kk，或52,Z66kk，所以,Zkk23，或2,Zkk，因为，所以3，故选：C4.已知0 x，0y，21

12、xy，则11xyxy的最小值为（）A.44 3B.12C.84 3D.16【答案】C【解析】【分析】把待求式中“1”用2xy替换，然后用基本不等式求得最小值【详解】因为0 x，0y，21xy，所以11(2(2)(22)(3)xyxxy yxyxy xyxyxyxy22222 26826884 3xyxyxyxyxyxy，当且仅当2226xy，即2 33,23xy时，等号成立故选：C5.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而流芳后世如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 37m，在地面上点 C 处（B，

13、C，N 三点共线）测得建筑物顶部 A，鹳雀楼顶部 M 的仰角分别为30和45，在 A处测得楼顶部 M 的仰角为15，则鹳雀楼的高度约为（）A.74mB.60mC.52mD.91m【答案】A【解析】【分析】求出AC，30CMA，45CAM，在ACM中，由正弦定理求出74 2MC，从而得到MN的长度.【详解】在RtABC中，37sinsin30ABACACBo，180105ACMACBMCN，153045CAM，在ACM中，18030CMAMACACM，由sin30sin45ACMC，237sin45sin4574 2sin30sin 30ACMC，在RtMNC中，sin4574MNMCo.故选：

14、A6.岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展 下图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A.24yxxB.24yxxC.22yxxD.22yxx【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可求得242yxx，知 A 错误；由2,0 x 时，240yxx可知B 错误；根据221yxx、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知 C 正确；根据函数定义域可知 D 错误.【详解】对于 A，22222244422xxyxxxx（当且仅当224xx，即2x

15、 时取等号），24yxx在2,2上的最大值为2，与图象不符，A 错误；对于 B，当2,0 x 时，240yxx，与图象不符，B 错误；对于 C，22211yxxx，当1x 时，max1y；又22yxx过点 2,0,2,0,0,0；由220 xx得：20 xx，解得：22x，即函数定义域为2 2,；又2222xxxx，22yxx为定义在2 2,上的偶函数，图象关于y轴对称；当0,2x时，22211yxxx，则函数在0,1上单调递增，在1,2上单调递减；综上所述：22yxx与图象相符，C 正确；对于 D，由220 xx得：02x，22yxx不存在2,0 x 部分的图象，D 错误.故选：C.7.已知

16、函数 f x是定义在R上的可导函数，其导函数为 fx，若对任意xR有 1fx，110fxfx，且 02f，则不等式11f xx的解集为（）A.4,B.3,C.2,D.0,【答案】B【解析】【分析】构造 g xf xx，确定函数 g x在R上单调递增，计算 22f，20g，转化得到 12g xg，根据单调性得到答案.【详解】设 g xf xx，则 10gxfx 恒成立，故函数 g x在R上单调递增.110fxfx，则 200ff，即 22f，故 2220gf.11f xx，即10g x，即 12g xg，故12x，解得3x.故选：B.8.记20232022a，20232023b，20242023

17、c，则 a，b，c 的大小关系是（）A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】由函数12023()f xx在 R 上单调递增，可判断ab，再对ac、两边取对数，由函数ln1xgxx在2e,单调递减，可得ca，从而得解.【详解】设12023()f xx，则 f x在 R 上单调递增，故(2022)2023ff，即ab；由于11lnln2022,lnln202320232024ac=，设ln1xgxx，2ex，则22211lnln1g()0(1)(1)12lnxxxxxxxxxx，2ex，则 g x在2e,单调递减，故020232 22gg，即lnlnca，则ca；综上得，

18、bac，D 正确.故选：D二、多选题二、多选题9.设函数 sinsinf xxx，则（）A.f x是偶函数B.2是 f x的一个周期C.函数 1g xf x存在无数个零点D.存在0,x ，使得00fx【答案】AC【解析】【分析】求出fx即可判断 A 项；求出2fx即可判断 B 项；当2,2xk kZ时，有 1f x，即可说明 C 项；当0 x时，可求出0sinxxx.进而根据偶函数的性质即可判断 D 项.【详解】对于 A 项，f x定义域为 R.又 sinsinsinsinfxxxxxf x，所以 f x是偶函数，故 A 项正确；对于 B 项，2sin2 sin2sinsin2sinf xxx

19、xxxf x，所以2不是 f x的一个周期，故 B 项错误；对于 C 项，因为k Z时，有sin2 12k，又2 sin2 2 222kkk，所以 1f x 有无数多个解，所以函数 1g xf x存在无数个零点，故 C 项正确；对于 D 项，当0 x时，有0sin1x，所以0sinxxx.所以有 0f x 在0,上恒成立.又 00f，f x是偶函数，所以，当x 时，有 0f x 恒成立，故 D 项错误.故选：AC.10.已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（）A.sinsinsinsinaabcAABCB.若ABC为斜三角形，则tantantantant

20、antanABCABCC.若0AC CB ，则ABC是锐角三角形D.若sincoscosabcABC，则ABC一定是等边三角形【答案】AB【解析】【分析】利用正弦定理推理判断 AD；利用和角的正切及诱导公式推理判断 B；利用平面向量的数量积定义确定角 C 判断 C 作答.【详解】对于 A，由正弦定理2sinsinsinabcRABC，得2(sinsinsin)2sinsinsinsinsinsinsinabcRABCaRABCABCA，A 正确；对于 B，斜ABC中，tantantantan()tan()1tan tanABCABABAB ，则tantantan(tantan1)ABCAB，即

21、tantantantantantanABCABC，B 正确；对于 C，由0AC CB ，得cos cos0AC CBACCBCabC ，则cos0C，因此 C 为钝角，ABC是钝角三角形，C 错误；对于 D，由正弦定理及sincoscosabcABC，得sinsinsinsincoscosABCABC，即tantan1BC，而,(0,)B C，则4BC，ABC为等腰直角三角形，D 错误故选：AB11.如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（P在水下则d

22、为负数）、d与时间t（单位：s）之间的关系是33sin3062dt，则下列说法正确的是（）A.筒车的半径为 3m，旋转一周用时 30sB.筒车的轴心O距离水面的高度为3m2C.40,50t时，盛水筒P处于向上运动状态D.盛水筒P出水后至少经过 20s 才可以达到最高点【答案】BD【解析】【分析】根据振幅和最小正周期可确定 A 错误；利用maxdr可知 B 正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知 C 错误；令92d，由正弦型函数的值可构造方程求得t，进而得到mint，知 D 正确.【详解】对于 A，33sin3062dt的振幅为筒车的半径，筒车的半径为3m；33sin3062dt的最小正周期2

23、6030T，旋转一周用时60s，A 错误；对于 B，max39322d，筒车的半径3r，筒车的轴心O距离水面的高度为max3m2dr，B正确；对于 C，当40,50t时，7 3,30662t，此时d单调递减，盛水筒P处于处于向下运动的状态，C 错误；对于 D，令333sin330622t，sin1306t，2 3062tkkZ，解得：2060tk kZ，又0t，当0k 时，min20st，即盛水筒P出水后至少经过20s才可以达到最高点，D 正确.故选：BD.12.已知当0 x 时，111ln(1)1xxx，则（）A.19109e98B.11ln91ln1029 C.910()9!eD.0192

24、22999019CCC()()()e999【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断 A；赋值求和判断 CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断 D 作答.【详解】因为111ln(1)1xxx，令8x，1119ln(1)ln1 8988，则199e8，令9x，1101ln(1)ln999，则1910e9，A 正确；因为111ln(1)lnxxxx，则2ln11，31ln22，101ln99，以上各式相加有11ln10129，B 错误；由111ln(1)lnxxxx得，ln(1)ln10 xxxx，即ln(1)(1)ln1lnxxxxx，于是ln2 1ln1，

25、2ln3ln2 1ln2，3ln42ln3 1ln3，9ln108ln9 1ln9，以上各式相加有9ln109ln9!，即99ln109991010e()9!ee，C 正确；由11ln(1)xx得，1(1)exx，因此0199999019CCC1(1)e9999，设*,Nk nkn，C(1)(2)(1)1!knkkn nnnknnk，则2CC()kknnkknn，所以019019222999999019019CCCCCC()()()e999999，D 正确故选：ACD【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问

26、题的关键.第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三填空题三填空题13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为3，则该勒洛三角形的面积是_【答案】32【解析】【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.【详解】因为AB的长度为3，所以1AB，211236ABCS扇，所以勒洛三角形的面积是21123211()6322ABCABCSS 扇!32.故答案为：32.14.已知函数 12sinsinf xxx，0,x，当x时，函数 f x取得最小值，则cos2_.

27、【答案】0【解析】【分析】利用基本不等式取等条件可确定sin的取值，结合二倍角余弦公式可求得结果.【详解】当0,x时，sin0,1x，112sin2 2sin2 2sinsinf xxxxx（当且仅当12sinsinxx，即2sin2x=时取等号），2sin2，21cos21 2sin1 202 .故答案为：0.15.已知函数 cos()(0)6f xx在区间7(,26上有且只有 2 个零点，则的取值范围是_.【答案】4 11,)3 6【解析】【分析】先求得(,2 66x，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由7(,26x，可得(,2 66x，其中0，因为函数 co

28、s()6fxx在区间7(,26上有且仅有 2 个零点，则满足52 6272 62，解得41136，即实数的取值范围是4 11,)3 6.故答案为：4 11,)3 6.16.已知偶函数 f x的定义域为R，函数 sincossincos4444g xxxxx，且 2log42,0,1,1,99,9,xxf xg xxf xx，若 f x在,m m上的图象与直线2y 恰有602个公共点，则m的取值范围为_.【答案】1801,9022【解析】【分析】根据题意，分多个区间研究 f x与直线2y 有几个交点，利用 f x在,m m上与直线2y 恰有602个公共点，即可得出m的范围.【详解】由题意得 f

29、x是定义域为R的偶函数，当0,1x时，221log42log 6x，当1,5x时，5444x，sincos44xx，2sin2cos2 2sin4444f xxxx，当5,9x时，59444x，sincos44xx，0f x，当9,x时，f x是周期为9的周期函数.因为 f x是定义域为R的偶函数，且 01f，所以 f x在0,m上的图象与直线2y 恰有 301 个公共点.f x在0,9上的图象如图所示，f x在0,9上的图象与直线2y 有 3 个公共点，令2log422x，得12x，令22 2sin44x，得2x 或4.所以这3个公共点的横坐标依次为12，2，4.因为3013 1001，所以

30、1100 92 100 92m，即18019022m.故答案为：1801,9022【点睛】关键点睛：本题考查根据函数图像交点个数求参数，考查三角函数的二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助角公式、函数的周期性，考查了计算能力和函数思想，属于中档题.四、解答题四、解答题17.在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC的面积为 S，已知2224 3bcaS（1）求角 A；（2）若2a，求3bc的取值范围.【答案】（1）6A（2）2,4【解析】【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角 A；（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求34sin3bcC，进而根据正

31、弦函数的性质即可求解取值范围.【小问 1 详解】已知2224 3bcaS，由余弦定理和三角形的面积公式，得12cos4 3sin2bcAbcA，即cos3sinAA，若cos0A，则sin0A，不符合题意，故cos0A，所以3tan3A，由0,A，得6A.【小问 2 详解】2a，6A，56BCA，由正弦定理24sinsinsinsin6bcaBCA，534 3sin4sin43sinsin43sinsin6bcBCBCCC133143cossinsin4cossin4sin22223CCCCCC，由50,6C，则 7,336C，得1sin,132C，所以4sin2,43C，即3bc的取值范围2

32、,4.18.已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,3,6cos2a b c abBc.（1）求A；（2）M为ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，_，求ABC的面积.请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.ABC的三个顶点都在以M为圆心的圆上，且32MD；ABC的三条边都与以M为圆心的圆相切，且3 32AD.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.【答案】（1）3（2）9 34【解析】【分析】（1）根据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角A的大小；（2）选择条件，利用三角形的外心为M，根据正弦定理、余弦定理可得ABC为等边三角形，再利用

33、面积公式可得ABC的面积；选择条件，利用三角形的内心为M，利用等面积法求得23bcbc，再根据余弦定理得9bc，即可求得ABC的面积.【小问 1 详解】在ABC中，因为6a，所以2 cos2baBc，由正弦定理，得sin2sin cos2sinBABC，因为ABC，所以sin2sin cos2sinBABAB，化简，得1cos2A，因为0,A，所以3A.【小问 2 详解】选条件：设ABC的外接圆半径为R，则在ABC中，由正弦定理得22 3sinBCRA，即3R，由题意知：3,3BMCMBC，由余弦定理知：3391cos2233BMC ，所以2,36BMCMBD.在BDM中，由正弦定理知：sin

34、sin1BMBDMMBDMD，所以2BDM，从而MDBC，所以ABC为等边三角形，ABC的面积2139 33224S.选条件：由条件知：126BADCADBAC，由ABCABDACDSSS，得111sinsinsin232626bcc ADb AD，因为3 32AD，所以33 31222bcbc，即23bcbc，由（1）可得229bcbc，即2()39bcbc，所以222390,4()278103bcbcbcbc，即4990bcbc，又因为0bc，所以9bc，所以ABC的面积1139 3sin923224Sbc.19.已知函数 222 3sin2sin314f xxx.（1）求 f x的单调递

35、增区间；（2）方程 32f x 在0,2上的两解分别为12x x，求12cos xx的值.【答案】（1）,Z63kkk（2）34【解析】【分析】（1）化简 f x的解析式，利用整体代入法求得 f x的单调递增区间.（2）根据三角恒等变换的知识，先求得12cos 22xx，然后求得12cos xx的值.【小问 1 详解】222 3sin2sin314f xxx23 2sin1cos23cos 2cos242xxxx 3sin2cos22sin 26xxx，由2 22 262kxk，得,Z63kxkk，所以 f x的单调递增区间为：,Z63kkk.【小问 2 详解】设12,0,2xxx，则 52,

36、666x，由于正弦函数sinyx在区间,6 2上单调递增，在区间 5,26上单调递减，由 32sin 262f xx，得3sin 264x，因为方程 32f x 在0,2上的两解分别为12x x，则123sin 2sin 2664xx，必有12 502,262 266xx，所以，2117cos 21sin2664xx，同理27cos 264x，1212cos 22cos2266xxxx212127731cos 2cos 2sin 2sin 266664448xxxx，由于120,022xx且1212,02xxxx，则12cos0 xx，由21212cos 222cos1xxxx，可得12121

37、cos 223cos24xxxx.【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求sin,cos,tan，一定要注意判断的范围，根据的范围来确定sin,cos,tan的符号，这一步容易忽略.同样，在用二倍角公式来求单倍角时，也要注意角的范围.20.已知2()xf xeax，曲线()yf x在(1,(1)f处的切线方程为1ybx.（1）求,a b的值；（2）求()f x在0,1上的最大值；（3）当xR时，判断()yf x与1ybx交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）【答案】（1）1,2abe；（2）max()(1)1f xfe；（3）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）求出 f x的导数，计算 1f

38、，1f，求出a，b的值即可；（2）求出 f x的导数，得到导函数的单调性，得到 f x在0,1递增，从而求出 f x的最大值；（3）根据函数图象的大致形状可得 yf x与1ybx有两个交点.试题解析：（1）2xfxeax，由已知可得 12feab，11feab，解之得1,2abe（2）令 2xg xfxex则 2xgxe,故当0ln2x时，0gx，g x在0,ln2单调递减；当ln21x时，0gx，g x在ln2,1单调递增；所以 minln222ln20g xg，故 f x在0,1单调递增，所以 max11f xfe（3）当xR时，yf x与1ybx有两个交点.21.如图，C，D 是两个小区

39、所在地，C，D 到一条公路 AB 的垂直距离分别为 CA1km，DB2km，AB 两端之间的距离为 6km（1）某移动公司将在 AB 之间找一点 P，在 P 处建造一个信号塔，使得 P 对 A，C 的张角与 P 对 B，D 的张角相等（即CPADPB），试求PCPD的值；（2）环保部门将在 AB 之间找一点 Q，在 Q 处建造一个垃圾处理厂，使得 Q 对 C，D 所张角最大，试求QB 的长度【答案】（1）3 5PCPD（2）QB的长度为1274km【解析】【分析】（1）设PAx，CPA，DPB，利用三角函数的定义可求1tanx，2tan6x，由题意可得126xx，解得x的值即可求解（2）设AQ

40、x，CQA，DQB，利用三角函数的定义得1tanx，2tan6x，利用两 角 和 的 正 切 公 式 可 求26tan62xCQDxx，令6tx，可 得612t，可 得1tan7418CQDtt，进而根据题意利用双勾函数的性质即可求解【小问 1 详解】设PAx，CPA，DPB，依题意有1tanx，2tan6x，由tantan，得126xx，解得2x，从而2222125PCACAP，2222422 5PDPBBD，故52 53 5PCPD【小问 2 详解】设AQx，CQA，DQB，依题意有1tanx，2tan6x，所以tantan()CQDtan()1261216xxxx 2662xxx，令6t

41、x，由06x，得612t，所以26tan62xCQDxx21874ttt17418tt，所以7474552 74663tt，所以7412 7418183tt，且74180tt，当742 7418180tt，所张的角为钝角，所以当74t，即746x 时取得最大角，故6(746)1274QB，从而QB的长度为1274 km22.已知函数 cosf xxx，sing xax（1）若1a，证明：当0,2x时 xg xfx；（2）当,00,22x 时，sinf xxg xx，求 a 的取值范围【答案】（1）证明见解析（2）,01,【解析】【分析】（1）令 sinh xxx，对 h x求导，得到 h x的

42、单调性可证得sinxx，令 sincosk xxxx，对 k x求导，可得 k x在0,2上单调递增，即可证得sincosxxx，即可证得 xg xf x；（2）由题意分析可得要使 sinf xxg xx恒成立即0,2x时，sincos0sinxxxF xxax恒成立，通过放缩变形证明 0F x 恒成立，即可求出 a 的取值范围.【小问 1 详解】当1a 时，sing xx，所以即证：sincosxxxx，0,2x，先证左边：sinxx，令 sinh xxx，1cos0hxx，h x在0,2单调递增，00h xh，即sinxx再证右边：sincosxxx，令 sincosk xxxx，cosc

43、ossinsin0kxxxxxxx，k x在0,2上单调递增，00k xk，即sincosxxx，0,2x时，xg xfx【小问 2 详解】sinsincossinfxxxxxxg xxax，令 sincossinxxxF xxax，,00,22x，因为 FxF x，所以题设等价于 0F x 在0,2恒成立，由（1）知，当0,2x时，sincosxxx，于是：当0a 时，0F x 恒成立；当0a 时，0F x 等价于22sincos0axxx，（i）当01a时，22sincosaxxx222coscosaxxxxax，令 cosp xax，因为 cosp xax在0,2x上递增，且 01 0,

44、02papa，所以存在0,2，使 0p，所以当0 x，0p x，即2cos0 xax，不合题意；(ii)当1a 时，2222sincossincosaxxxxxx令 22sincosr xxxx，0,2x，则 222sin cos2 cossin2sin cos2sinsinrxxxxxxxxxxxx，222222 1cossin4sinsin4sinsin0222xxxxxxxxx，所以 r x在0,2上单调递增，所以 00r xr，所以22sincos0axxx，所以 0F x.综上：a 的取值范围为,01,【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f xg x转化为证明()()0f xg x，进而构造辅助函数()()()h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.