高中圆锥曲线知识点总结全面经典.docx

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1、高中圆锥曲线知识点总结全面经典高中数学椭圆的知识总结：椭圆的定义：椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1,F2 的距离之和等于常数(PFl+PF2=2aFlF2)时，动点P的轨迹。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。 需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2,则动点P的轨迹为线段 F1F2；若PF1+PF2F1F2,则动点P的轨迹无图形。椭圆的参数方程：当焦点在x轴上时，椭圆的参数方程为 x=a*cos0o y=b*sinO),其中。为参数；当焦点在y轴上时， 椭圆的参数方程为x=a*sin。y=b*cos0 o椭圆的几何性质：(1)椭圆的范围为-agxga。-bgySb；(

2、2)椭圆的焦点为两个焦点(土c,0)；(3)椭圆具有对称性， 有两条对称轴x=O,y=O, 一个对称中心(0,0),四个顶点 (ia,0),(0,ib),其中长轴长为2a,短轴长为2b；(4)椭圆的 离心率为e=c/a,椭圆的形状由离心率e决定，e越小，椭圆越 圆；e越大，椭圆越扁。$lambdaA2=frac aA2 (a-c)A2-aA2frac nA2 mA2 =frac mA2mA2-nA2 $ o例1：已知椭圆$6*八216+什丫八29=1$上的点到直线$l：x+y-9=0$的距离的最小值为多少？解：设椭圆上的点为$入乂_0,丫_0)$,则直线$1$的法线为 $frac x sqrt

3、 2 -frac y sqrt 2 -c=0$,其中 $c=frac9sqrt2$o因为$P$在椭圆上，所以$fracx_0A216 +fracy_0A29=l$o $P$到$1$的距离为$frac |frac x_0 sqrt 2 -frac y_0 sqrt 2-c| sqrtfrac 1 2 +frac 1 2 =frac |x_O-y_O- 9sqrt2|sqrt2$o因此，问题转化为求$|x_O-y_O- 9sqrt2|$的最小值。将$frac x_0A2 16 +frac y_0A2 9二1 $ 改写为$y_O=pmfrac3 4sqrt16-x_0A2)$,代入$|x_O-y_O

4、- 9sqrt2|$ ,得 $|x_Opmfrac3 4 sqrt 16-x_0A2-9sqrt2 |$。 因为$x_0八2leq 16$,所$|x_Opmfrac34sqrt16-x_0A2- 9sqrt2|geq 9sqrt2-frac3 4sqrt16 =9sqrt2- 3$0当$x_0=0$ 时,$|x_0-y_0-9sqrt 2 |=9sqrt2 $,因此最小值为 $9sqrt2-3$o例2：已知椭圆$fracx八22+y八2=1$的左右焦点分别为 $F(O,1)$和$F_2(0,-l)$,若过点$P(l,-2)$及$F_1$的直线交椭 圆于$A$、$B$两点，求$0论呼拒ABF_2

5、$的面积。解:设$人解_1,丫_1)$, $B(x_2,y_2)$,则直线$PF$的方 程为$y-1 =-frac12(x-0)$,即$y=-frac12x+frac32$。 将$y=-frac12x+frac32$代入椭圆的方程，得$*八2+2(- frac12x+frac32)A2=2xA2-2x+1 $0因为$A$、$B$在椭 圆上，所以$xA2+2y_l八2=2$, $x_2A2+2y_2A2=2$o因为 $triangle F_1 PF_2$的面积为$1$,所以$frac12|x_1- x_2|=l$o因此,$x_l=fracl2+fracsqrt72$, $x_2=frac l2-

6、frac sqrt 72$,$y_l=frac 1 2sqrt2-x_lA2 =frac 12sqrt 2-frac 14- frac12sqrt7$, $y_2=frac1 2sqrt2-x_2A2 =frac l2sqrt 2-frac 14 +frac 1 2sqrt7 $0 因此，$triangle ABF_2$的面积为$6年 1 2|x_l-x_2|sqrt2- y_lA2sqrt 2-y_2A2 =frac 12sqrt7$0例1：当$m$为何值时，直线$y=x+m$与椭圆 $fracxA216+fracy八29=1$相交?相切？相离?解：设直线$y=x+m$的方程为$y=x+m$

7、,将$x$和$y$分别 代入椭圆的方程,得$6代*八216+价a(:(*+11129=1$, 即 $25xA2+144mx+l 44mA2-l 296=0$。因为直线 $y=x+m$ 与椭圆 相交，所以方程有实根，即$0?上=144111八2-25S(101 144m+25A2cdot 4geq 0$o解得$-firac5 12leq mleq frac512$0当$Delta=0$时，方程有重根，即直线 $y=x+m$与椭圆相切，即$m=frac5 12$或$111=- frac512$0当$Delta0)$ 恒有公共点，求实数 $m$的取值范围。解：设直线$y=kx+l$与椭圆$frac

8、x人2 5 +frac y八2 m=1 $ 的交点为 $P(x_0,y_0)$,则$x_0$ 和 $y_0$ 满 足 $frac x_0A2 5 +frac (kx_O+ l)A2m=l$, EP$(5+5kA2)x_0A1 .第一段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为： “椭圆$m X” + n才2=1$与直线$x+y=l$相交于$A$、 $B$两点,点$C$是$AB$的中点。已知$AB=2sqrt2$, $(2$的斜率为$2$,求椭圆的方程。”2 .第二段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为： “设$F$、$F_2$为椭圆$*八2/4+才2=1$的两焦点，$P$在椭 圆上。若 $t

9、riangle F_1 PF_2$ 的面积为 $ 1 $,求 $PF_ 1 cdot PF_2$ 的值。”3 .第三段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为： “椭圆$x2/36+y八2/9=1$的一条弦被$A(4,2)$平分，求这条弦 所在的直线方程。”4 .第四段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为： “设$F$、$F_2$为椭圆的两个焦点，$P$为椭圆上一点，已 知 $angle PF_lF_2:angle PF_2F_l:angle F_1PF_2=1:2:3$,求 此椭圆的离心率。”5 .第五段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为： “在平面直角坐标系中，椭圆$xA2/aA

10、2+yA2/bA2=l(ab0)$的 焦距为$2c$,以$0$为圆心，$a$为半径的圆，过点 $(c,0)$作圆的两切线互相垂直，则离心率$e二$ $sqrtcA2- a八2/c$。”6 .第一行应该是“定义：平面内与两个定点$F_1$, $F_2$的距离的差的绝对值是常数(小于$F_1F_2$)的点的 轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距 离叫焦距。双曲线的标准方程为$x2/a八2- yA2/bA2=l(a0,b0)$ 或者 $yA2/aA2-xA2/bA2= 1 (a0,b0)$ 双曲线是一种二次曲线，其标准方程为$6胡已八22八2- fracyA2bA2=l$,其中$a

11、$和$b$分别为实轴长和虚轴长， 中心点为原点$(0,0)$,焦点为$F(-c,0)$和$F_2(c,0)$,其中 $c=sqrtaA2+bA2$为焦距。双曲线的离心率为$e=fracca$, 渐近线为两条互相垂直的直线$y=pmfracbax$。例1：点$P$到焦点$F_l(0,5)$和$F_2(0,-5)$的距离之差为 $6$,求点$P$所在的双曲线方程。设点$P$的坐标为$(x,y)$,则由双曲线的定义可得$依411*八2+(丫-5)八2-sqrtx八2+(y+5)八2=6$,移项并平方得到$yA2- frac916x八2二 1$,因此选项$textbf(B)$正确。例2：双曲线的标准方

12、程为$6八22八2-fracyA2k=l$,其中离心率$e=sqrt 1 +fracbA2a八2$, 因此当离心率$eO$,所以$k$的范围为$0k2-sqrt(x+5)A2+yA2 =2b$得$*八2-丫八2=23aA2$,因此选项 $textbf(A)$正确。1 . 2012高考新课标文10等轴双曲线C的中心在原点, 焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点， AB=43；则C的实轴长为()A)2(B)22(C)dD)8解析：由于等轴双曲线的中心在原点，所以双曲线的方程 为x2/a2-y2/b2=l.因为焦点在x轴上，所以b2=a2-16.又因为与 抛物线y2=16x的准线

13、交于A,B两点，AB=43,所以抛物线的 焦点为(8,0),则p=8.将p代入双曲线的方程中,得到a=0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离 为2,则抛,物线C2的方程为解析：双曲线的离心率为2,所以c=d(a2+b2)=2a,即 b=Y(c2-a2)=46.又因为双曲线的渐近线为y=(l/42)x,所以双 曲线的右焦点为(242,0)。抛物线C2的焦点到双曲线C1的渐 近线的距离为2,所以抛物线C2的焦点为(2加,2)。将焦点和 p代入抛物线的标准方程，得到抛物线C2的方程为y2=16xo3 .【2012高考全国文10】已知Fl、F2为双曲线C:x-y=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|

14、PF1|二2|PF2|,则 cosNF1PF2二A)1/4(B)3/345(C)4(D)5解析：双曲线C的方程为(x-y)2/2-l=l,即(x-y)2=6.又因 为Fl、F2分别为G1)和(3,1),所以C的中心为(1,1)。设点P 的坐标为(x,y),则PF1的距离为巾(x+l)2+(y-l)2, PF2的距离 为农(x-3)2+(y-l)20 根据题意可得|PF1|二2|PF2|,即 巾(x+l)2+(y-l)2=2巾(x-3)2+(y-l)2,化简得 3x-4y+7=0.由于Fl、F2和P在同一直线上，所以NF1PF2=9O。, cosZF1PF2=0,选项为(E)。4 .120H年高

15、考湖南卷文科6】设双曲线x2/a2- y2/9=l(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()A. 4.B. 3.C. 2.D. 1解析：双曲线的渐近线方程为3x2y=0,所以a=3,选项 为(B)。5. 2012高考江苏8 (5分)在平面直角坐标系xOy中, 若双曲线x2/m2-y2/(m2-4)= 1的离心率为5,则m的值为.解析：双曲线的离心率为5,所以c=5a。又因为双曲线的 方程为 x2/a2-y2/b2=l,所以 b2二a2-4.将 c=5a 和 b2=a2-4 代入 c2=a2+b2,得到 a=0时，直线与椭 圆相交；(2)当A=0时，直线与椭圆相切；(3)当Ab0)相 交

16、于A、B两点，且线段AB的中点在直线L： x-2y=0上，则 此椭圆的离心率为;解析：因为线段AB的中点在直线L： x-2y=0上，所以 AB的中点坐标为(2k。k),其中k为常数。又因为直线y=-x+l 与椭圆相交于A、B两点，所以可以列出方程组：xA2/aA2 + yA2/bA2 = 13 = -x + 1解得 A、B 两点坐标为(2a八2/(aA2+b八2)。-2ab/(aA2+bA2)+l) 和(-2aA2/(a+b八2)。2ab/(aA2+bA2)+l)o由于线段 AB 的中点 为(2k。k),所以可以列出方程：2aA2/(aA2+bA2) - 2k)A2 + (-2ab/(aA2+

17、bA2)+l-k)A2 二(2aA2/(aA2+bA2) + 2k)A2 + (2ab/(aA2+bA2)+l-k)A2化简得到k二a八2/b。又因为椭圆的离心率为c/a,其中c 为焦距长，所以根据勾股定理可得c八2二aO-b八2,代入得到 离心率为(aA2-bA2)/a。3.试确定m的取值范围，使得椭圆yA2/(4+3xA2) = 1上有 不同的两点关于直线y=4x+m对称；解析：设椭圆上的两点分别为P(xl.yl)和Q(x2.y2),且关 于直线y=4x+m对称，则有以下两个方程：yl + y2 = 8x + 2mxl + x2 = 8 - 3mA2又因为P、Q在椭圆上，所以有以下两个方程

18、：ylA2/(4+3xlA2)= 1y2A2/(4+3x2A2) = 1由于要求椭圆上有不同的两点关于直线y=4x+m对称，所 以P、Q不能重合，即xx2, yl#y2.将yl和y2用xl和x2 表示，代入方程组中，化简得到以下不等式：0m-bA2)$,此类 问题常用待定系数法求解。判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x换成$-x$,方程不变，则曲线关于 y轴对称；若把曲线方程中的y换成$-y$,方程不变，则曲线关于 x轴对称；若把曲线方程中的x、y同时换成$/$、$-y$,方程不 变，则曲线关于原点对称。如何求解与焦点三角形PF$F$_2$ (P为椭圆上的点) 有关的计算

19、问题？思路分析：与焦点三角形 PF$_1 $F$_2$有关的计算问题 时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角 形面积公式$S_Delta PF_1 F_2=frac1 2PF_lcdot PF_2cdotsinangle F_1 PF_2$相结合的方法进行计算解题。将 有关线段 PF$、PF$_2$、F$_1$F$_2$,有关角$angle F_1 PF_2$ ( $angle F_1 PF_2leqangle F_1 BF_2$ )结合起来， 建立 PF$_1 $+PF$_2$、PF$_lcdot PF_2$ 之间的关系。如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短

20、关系决定椭圆形状的变化。离心率$e=fracca$ ($Ocb$,用$a$、$b$表示为$1- fracbA2aA2$o显然：当$献出伯$越小时,$e$ ($0el$)越大，椭 圆形状越扁；当$出但$越大,$e$ ($0el$)越小,椭 圆形状越趋近于圆。题型1：椭圆定义的运用例 1.已知 F$_l(-3,0)$, F$_2(3,0)$,为椭圆$fracx人225+6比29=1$的两个焦点,过F$的直线交椭圆于A、B两点若F$_1$A+F$_2$B=12,则AB=例2.如果方程$x2+ky八2=2$表示焦点在x轴的椭圆，那 么实数$k$的取值范围是.例 3.已知$P$为椭圆$fracxA225

21、+fracyA216=l$上 的一点，$M,N$分别为圆$6+3)八2+丫A2=1$和圆$(x-3)八2+丫八2=4$上的点，则$PM+PN$的最小值为题型2：求椭圆的标准方程 例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.1)经过两点 $A(3,-2),B(-2/3,l)$ ；2)经过点$(2,-3)$且与椭圆$9x”+4yA2=36$具有共同的焦 点；3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长 轴上较近的端点距离为$2sqrt2-4$.例 1 ：已知三角形 ABC 中,$angle A=30Acirc$, $AB=2$, $S_ABC=3$,若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则椭圆的 离

22、心率为多少？解：根据椭圆的定义，以A、B为焦点的椭圆的离心率为 $fracca$,其中$c$为焦距,$a$为长轴的一半。因为以A、 B为焦点的椭圆经过点C,所以C点在椭圆上，即 $AC+BC=2a$o又因为 $angle A=305circ$,所以 $AC=fracAB2=l$o由海伦公式,得$BC=sqrt3$。因此, $2a=AC+BC= 1 +sqrt 3$, $a=frac 12 +frac sqrt 32$, $c=sqrt aA2-bA2 =sqrt (frac 1 2 +frac sqrt 32)A2- l=fracsqrt32$0所以，椭圆的离心率为$frac c a =fra

23、c sqrt 32 /(frac 12+frac sqrt 3 2) =fracsqrt3 2-sqrt3 =sqrt3+3$o例 2：过椭圆$fracxA2mA2+fracyA2nA2=l$的一 个焦点F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于P,若$triangle F1PF2$为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为多少？解：设椭圆的长轴为$2a$,贝焦距为$c=sqrtaA2-bA2$, 其中 $b=sqrt aA2-frac nA2 mA2 aA2 =sqrt aA2(l - fracnA2mA2)$o因为$triangle F1PF2$为等腰直角三角形, 所以$PF1=PF2=sqrt2a$, EP$

24、(m-a)A2+nA2/4=2aA2$o联立以 上两式，A?#$a=fracmsqrt2$, $b=fracnsqrt2$, $c=fracmsqrt2sqrt1 -fracnA2mA2$o因此，椭圆 的离心率为 $fracca=sqrt2(l-fracnA2mA2)$。例1:已知实数$x,y$满足$fracxA24 +fracyA22=l$,则$xA2+y”-x$的范围是多 少？解：将$*八2+丫八2-$改写为$欣-612尸2+丫八2-fracl4$o因为$fracxA24+fracyA22=l$,所以$(x- fracl2)A2+fracyA22=frac54$0因此，$Oleq (x-f

25、racl2)A2+yA2-frac14frac54$,即$-frac 14xA2+yA2-xfrac 1 4 $。例2：已知点A、B是椭圆$fracxA2mA2 +fracy八2n八2二1 $上两点，且 $AO=lambda B0$,贝国lambda$等于多少?解:设椭圆的焦距为$,则$2a=2m$, $c=sqrtaA2- bA2=sqrtmA2-nA2$o $A=(x_l,y_l)$, $B=(x_2,y_2)$,则 $fracx_lA2mA2+fracy_lA2nA2=l$,$fracx_2A2mA2 +fracy_2A2n八2二1 $, $AO=lambda B0$,即$依4116-c)A2+y_lA2 =lambdasqrt(x_2+c)A2+y_2A2$o将$x_l八2$和 $x_2八2$相减，得$(x_l -x_2)(x_l +x_2)=cA2lambdaA2$。因为 $A$、$B$在椭圆上，所以$(x,y_l)$和$(x_2,y_2)$满足 $fracx_lA2mA2+fracy_lA2nA2=l$,$fracx_2A2mA2 +fracy_2A2nA2=l$,以及$(x_2 c)A2+y_lA2=aA2$, $(x_2+c)A2+y_2A2=aA2$o将$x_l$和 $x_2$表示成$丫$和$丫_2$的函数，代入以上三式，可得