2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(解析版).pdf

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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分本试卷满分 150 分分.2.作答时，将答案写在答题卡上作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一

2、项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知集合 U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，则()UAB（）A.2，3B.2，2，3C.2，1，0，3D.2，1，0，2，3【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：1,0,1,2AB，则U2,3AB .故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若为第四象限角，则（）A.cos20B.cos20D.sin2b0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合.过 F且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|C

3、D|=43|AB|.（1）求 C1的离心率；（2）设 M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627xyC，22:12Cyx.【解析】【分析】（1）求出AB、CD，利用43CDAB可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆1C的离心率的值；（2）由（1）可得出1C的方程为2222143xycc，联立曲线1C与2C的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c的值，进而可得出1C与2C的标准方程.【详解】（1）,0F c，ABx轴且与椭圆1C相交于A、B两点，则直线AB的方程为xc，联立22222221xcxyab

4、abc，解得2xcbya，则22bABa，抛物线2C的方程为24ycx，联立24xcycx，解得2xcyc，4CDc，43CDAB，即2843bca，223bac，即222320caca，即22320ee，01eQ，解得12e，因此，椭圆1C的离心率为12；（2）由（1）知2ac，3bc，椭圆1C的方程为2222143xycc，联立222224143ycxxycc，消去y并整理得22316120 xcxc，解得23xc或6xc（舍去），由抛物线的定义可得25533cMFcc，解得3c.因此，曲线1C的标准方程为2213627xy，曲线2C的标准方程为212yx.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解

5、，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.（1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F；（2）设 O 为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N分别为BC，11BC的中点，1/MN CC，

6、根据条件可得11/AABB，可证1MN AA/，要证平面11EBC F平面1A AMN，只需证明EF 平面1A AMN即可；（2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在11BC截取1BQEP，由（1）BC平面1A AMN，可得QPN为1B E与平面1A AMN所成角，即可求得答案.【详解】（1）,M N分别为BC，11BC的中点，1/MN BB又11/AABB1/MN AA在ABC中，M为BC中点，则BCAM又侧面11BBCC为矩形，1BCBB1/MN BBMNBC由MNAMM，,MN AM 平面1A AMNBC平面1A AMN又11/BCBC，且11BC 平面A

7、BC，BC 平面ABC，11/BC平面ABC又11BC 平面11EBC F，且平面11EBC F 平面ABCEF11/BCEF/EF BC又BC 平面1A AMNEF 平面1A AMNEF 平面11EBC F平面11EBC F平面1A AMN（2）连接NP/AO平面11EBC F，平面AONP平面11EBC FNP/AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1ANMA平面ABCAM，面1ANMA平面1111ABCAN/ON AP故：四边形ONPA是平行四边形设ABC边长是6m(0m)可得：ONAP，6NPAOABmO为111A B C的中心，且111A B C边长为6m16 sin6033ONm

8、故：3ONAPm/EF BCAPEPAMBM333 3EP解得：EPm在11BC截取1BQEPm，故2QNm1BQEP且1/BQ EP四边形1BQPE是平行四边形，1/B E PQ由（1）11BC 平面1A AMN故QPN为1B E与平面1A AMN所成角在RtQPN，根据勾股定理可得：2222262 10PQQNPNmmm210sin102 10QNmQPNPQm直线1B E与平面1A AMN所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数 f

9、(x)=sin2xsin2x.（1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性；（2）证明：3 3()8f x；（3）设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx34nn.【答案】（1）当0,3x时，0,fxf x单调递增，当2,33x时，0,fxf x单调递减，当2,3x时，0,fxf x单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式

10、左侧进行恒等变形可得 2222123sinsinsin2sin 2 sin4sin 2sin2sin 2nnnfxxxxxxxxx，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：32sincosf xxx，则：2242 3sincossinfxxxx2222sin3cossinxxx222sin4cos1xx22sin2cos12cos1xxx，0fx 在0,x上的根为：122,33xx，当0,3x时，0,fxf x单调递增，当2,33x时，0,fxf x单调递减，当2,3x时，0,fxf x单调递增.(2)注意到 22sinsin 2s

11、insin2f xxxxxf x，故函数 fx是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：00ff，2333 33228f，22333 33228f ，据此可得：max3 38f x，min3 38f x，即 3 38f x.(3)结合(2)的结论有：2222sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx233333sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx2222123sinsinsin2sin 2 sin4sin 2sin2sin 2nnnxxxxxxxx2323 33 33 3sinsin 2888nxx233 38n34n.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工

12、具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用（二（二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数

13、方程22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1：224cos4sinxy，（为参数），C2：1,1xttytt （t 为参数）.（1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4Cxy；222:4Cxy；（2）17cos5.【解析】【分析】（1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cossin1得1C的普通方程为：4

14、xy；由11xttytt 得：2222221212xttytt，两式作差可得2C的普通方程为：224xy.（2）由2244xyxy得：5232xy，即5 3,2 2P；设所求圆圆心的直角坐标为,0a，其中0a，则22253022aa，解得：1710a，所求圆的半径1710r，所求圆的直角坐标方程为：22217171010 xy，即22175xyx，所求圆的极坐标方程为17cos5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲23.已知函数2()|21|f xxaxa.（1）当2a

15、时，求不等式()4f x的解集；（2）若()4f x，求 a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2）,13,.【解析】【分析】（1）分别在3x、34x和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f xa，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时，43f xxx.当3x 时，43724f xxxx，解得：32x；当34x时，4314f xxx ，无解；当4x 时，43274f xxxx ，解得：112x；综上所述：4f x 的解集为32x x或112x.（2）22222121211f xxaxaxaxaaaa（当且仅当221axa 时取等号），214a，解得：1a 或3a，a的取值范围为,13,.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.