2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(解析版).pdf

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1、绝密绝密启用前启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上无效无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

2、回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.已知集合2|340,4,1,3,5Ax xxB，则AB（）A.4,1B.1,5C.3,5D.1,3【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素的特征求得AB，得到结果.【详解】由2340 xx解得14x，所以|14Axx，又因为4,1,3,5B ，所以1,3AB，故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的

3、知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312iiz ，则|=z（）A.0B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】先根据21i 将z化简，再根据向量的模的计算公式即可求出【详解】因为31+21+21ziiiii ，所以22112z 故选：C【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514B.512C.514D.512【答案】C【解析】【分析】设,CDa

4、 PEb，利用212POCD PE得到关于,a b的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CDa PEb，则22224aPOPEOEb，由题意212POab，即22142abab，化简得24()210bbaa，解得154ba（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（）A.15B.25C.12D.45【答案】A【解析】【分析】列出从 5 个点选 3 个点的所有情况，再列出 3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式

5、运算即可.【详解】如图，从O A B C D,5 个点中任取 3 个有,O A BO A CO A DO B C,O B DO C DA B CA B D,A C DB C D共10种不同取法，3 点共线只有,A O C与,B O D共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为21105.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,20)iix yi 得到下面的

6、散点图：由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是（）A.yabxB.2yabxC.exyabD.lnyabx【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260 xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆心与

7、点(1,2)连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260 xyx化为22(3)9xy，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为22 9|2 982CP.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos()6f xx在,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（）A.109B.76C.43D.32【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09，即可得到4cos096，结合4,09是函数 fx图象与x轴负半轴的

8、第一个交点即可得到4962，即可求得32，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 fx可得：4cos096又4,09是函数 fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得：32所以函数 fx的最小正周期为224332T故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.设3log 42a，则4a（）A.116B.19C.18D.16【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到3log 42a，即49a，进而求得149a，得到结果.【详解】由3log 42a可得3log

9、 42a，所以49a，所以有149a，故选：B.【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的 n=（）A.17B.19C.21D.23【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n的最小正奇数n，根据等差数列求和公式即可求出【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足135100n的最小正奇数，因为2111121 35110024nnnn ，解得19n，所以输出的21n 故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用，属于基

10、础题10.设na是等比数列，且1231aaa，234+2aaa，则678aaa（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q的值，再由5678123aaaqaaa可求得结果.【详解】设等比数列 na的公比为q，则2123111aaaaqq，232234111112aaaa qa qa qa qqqq，因此，5675256781111132aaaa qa qa qa qqqq.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题11.设12,F F是双曲线22:13yC x 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|2OP，则12PFF的面积为（）A.7

11、2B.3C.52D.2【答案】B【解析】【分析】由12FF P是 以 P 为 直 角 直 角 三 角 形 得 到2212|16PFPF，再 利 用 双 曲 线 的 定 义 得 到12|2PFPF，联立即可得到12|PFPF，代入1 2F F PS121|2PFPF中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF，则1,2ac，因为121|1|2OPFF，所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FF P是以 P 为直角顶点的直角三角形，故2221212|PFPFFF，即2212|16PFPF，又12|22PFPFa，所以2124|PFPF2212|2PFPF12|162PFPF

12、12|PFPF，解得12|6PFPF，所以1 2F F PS121|32PFPF 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）A.64B.48C.36D.32【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr，由正弦定理可得2 sin602 3ABr，12

13、 3OOAB，根据圆截面性质1OO 平面ABC，222211111,4OOO A ROAOOO AOOr，球O的表面积2464SR.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.若 x，y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y 的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy即：1177yxz，其中 z 取得

14、最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：22010 xyxy，可得点 A 的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max1 7 01z .故答案为：1【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设向量(1,1),(1,24)mmab，若abrr，则m_.【答案】5【解析】【分析】根据向

15、量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由abrr可得0a b ，又因为(1,1),(1,24)abmm，所以1(1)(1)(24)0a bmm ，即5m，故答案为：5.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.15.曲线ln1yxx的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_.【答案】2yx【解析】【分析】设切线的切点坐标为00(,)xy，对函数求导，利用0|2xy，求出0 x，代入曲线方程求出0y，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln1,1xyyxxyx，00001|12,

16、1,2x xyxyx，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)yx，即2yx.故答案为：2yx.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16.数列na满足2(1)31nnnaan，前 16 项和为 540，则1a _.【答案】7【解析】【分析】对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nnnaan，当n为奇数时，231nnaan；当n为偶数时，231nnaan.设数列 na的前n项和为nS，16123416Saaaaa13515241416()(

17、)aaaaaaaa111111(2)(10)(24)(44)(70)aaaaaa11(102)(140)(5172941)aa118392928484540aa，17a.故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共

18、 60 分分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）

19、分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4100，乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为280.28100；（2）甲分厂加工100件产品的总利润为

20、4090252050252020252050251500元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为2890201750203420202150201000元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件故厂家选择甲分厂承接加工任务【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题18.ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150.（1）若 a=3c，b=27，求ABC的面积；（2）若 sinA+3sinC=22，求 C.【答案】（1）3；（2）15.【解析】【分析】（1）已知角

21、B和b边，结合,a c关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出,a c，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30AC代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507bacacc，2,2 3,caABC 的面积1sin32SacB；（2）30AC，sin3sinsin(30)3sinACCC132cossinsin(30)222CCC，030,303060CC，3045,15CC.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19.如图，D为

22、圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC=90（1）证明：平面 PAB平面 PAC；（2）设 DO=2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥 PABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）68.【解析】【分析】（1）根据已知可得PAPBPC，进而有PACPBC，可得90APCBPC，即PBPC，从而证得PC 平面PAB，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在Rt APO中，求出PO，即可求出结论.【详解】（1）DQ为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平

23、面ABC，P在DO上，,OAOBOCPAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，PACPBC，90APCBPC，即,PBPC PAPC，,PAPBPPC平面,PAB PC 平面PAC，平面PAB 平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为3,3rlrl，2222ODlr，解得1,3rl，2 sin603ACr，在等腰直角三角形APC中，2622APAC，在Rt PAO中，2262142POAPOA，三棱锥PABC的体积为11236333248P ABCABCVPO S.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查

24、逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数()(2)xf xea x.（1）当1a 时，讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）减区间为(,0)，增区间为(0,)；（2）1(,)e.【解析】【分析】（1）将1a 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x有两个零点，即(2)0 xea x有两个解，将其转化为2xeax有两个解，令()(2)2xeh xxx，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a 时，()(2)xf xex，()1xfxe，令()0fx，解

25、得0 x，令()0fx，解得0 x，所以()f x的减区间为(,0)，增区间为(0,)；（2）若()f x有两个零点，即(2)0 xea x有两个解，从方程可知，2x 不成立，即2xeax有两个解，令()(2)2xeh xxx，则有22(2)(1)()(2)(2)xxxexeexh xxx，令()0h x，解得1x ，令()0h x，解得2x 或21x ，所以函数()h x在(,2)和(2,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，且当2x 时，()0h x，而2x 时，()h x ，当x 时，()h x ，所以当2xeax有两个解时，有1(1)ahe，所以满足条件的a的取值范围是：1(,)e.【

26、点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xye和直线(2)ya x有两个交点，利用过点(2,0)的曲线xye的切线斜率，结合图形求得结果.21.已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，8AG GB ，P 为直线x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.【答案】（1）2219xy；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可

27、得：,0Aa，,0B a，0,1G，即可求得21AG GBa ，结合已知即可求得：29a，问题得解.（2）设06,Py，可得直线AP的方程为：039yyx，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为20022003276,99yyyy，同理可得点D的坐标为2002200332,11yyyy，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：0204323 3yyxy，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)xEyaa可得：,0Aa，,0B a，0,1G,1AGa，,1GBa 218AG GBa ，29a 椭圆方程为：2219xy（2）证明：设06,Py，则

28、直线AP的方程为：00363yyx，即：039yyx联立直线AP的方程与椭圆方程可得：2201939xyyyx，整理得：2222000969810yxy xy，解得：3x 或20203279yxy将20203279yxy代入直线039yyx可得：02069yyy所以点C的坐标为20022003276,99yyyy.同理可得：点D的坐标为2002200332,11yyyy直线CD的方程为：0022200002222000022006291233327331191yyyyyyyxyyyyyy，整理可得：2220000002224200000832338331116 96 3yyyyyyyxxyyy

29、yy整理得：0002220004243323 33 3yyyyxxyyy故直线CD过定点3,02【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分一题计分.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt(t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4 cos16 s

30、in30（1）当1k 时，1C是什么曲线？（2）当4k 时，求1C与2C的公共点的直角坐标【答案】（1）曲线1C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2）1 1(,)4 4.【解析】【分析】（1）利用22sincos1tt消去参数t，求出曲线1C的普通方程，即可得出结论；（2）当4k 时，0,0 xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt为参数），两式相加消去参数t，得1C普通方程，由cos,sinxy，将曲线2C化为直角坐标方程，联立12,C C方程，即可求解.【详解】（1）当1k 时，曲线1C的参数方程为cos(sinxttyt为参数），两式平方相加得221xy，所以曲线

31、1C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2）当4k 时，曲线1C的参数方程为44cos(sinxttyt 为参数），所以0,0 xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt为参数），两式相加得曲线1C方程为1xy，得1yx，平方得21,01,01yxxxy，曲线2C的极坐标方程为4 cos16 sin30，曲线2C直角坐标方程为41630 xy，联立12,C C方程2141630yxxxy，整理得1232130 xx，解得12x 或136x（舍去），11,44xy，12,C C公共点的直角坐标为1 1(,)4 4.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方

32、程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲23.已知函数()|31|2|1|f xxx（1）画出()yf x的图像；（2）求不等式()(1)f xf x的解集【答案】（1）详解解析；（2）7,6.【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 fx的解析式，作出图象；（2）作出函数1f x的图象，根据图象即可解出【详解】（1）因为 3,1151,1313,3xxf xxxxx ，作出图象，如图所示：（2）将函数 fx的图象向左平移1个单位，可得函数1f x的图象，如图所示：由3511xx，解得76x 所以不等式的解集为7,6【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题