2021年北京市高考数学试题(解析版).pdf

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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项1.已知集合|11Axx，|02Bxx，则AB（）A.1,2B.(1,2C.0,1)D.0,1【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：|12ABxx，即1,2AB .故选：B.2.在复平面内，复数z满足(1)2i z，则z（）

2、A.2iB.2iC.1iD.1 i【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：2 12 1211112iiziiii.故选：D.3.已知()f x是定义在上0,1的函数，那么“函数()f x在0,1上单调递增”是“函数()f x在0,1上的最大值为(1)f”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数 fx在0,1上单调递增，则 fx在0,1上的最大值为 1f，若 fx在0,1上的最大值为 1f，比如 213f x

3、x，但 213f xx在10,3为减函数，在1,13为增函数，故 fx在0,1上的最大值为 1f推不出 fx在0,1上单调递增，故“函数 fx在0,1上单调递增”是“fx在0,1上的最大值为 1f”的充分不必要条件，故选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332B.4C.33D.2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥OABC，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1，故其表面积为2133331 12242 ，故选

4、：A.5.双曲线2222:1xyCab过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213yx B.2213xyC.22313yx D.22313xy【答案】A【解析】【分析】分析可得3ba，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea，则2ca，223bcaa，则双曲线的方程为222213xyaa，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113aaa，解得1a，故3b，因此，双曲线的方程为2213yx.故选：A.6.na和 nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a，596a，1192b，则3b（）A.64B.128C.

5、256D.512【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出5b的值，利用等差中项的性质可求得3b的值.【详解】由已知条件可得5115aabb，则5 15196 19264288a bba，因此，1531926412822bbb.故选：B.7.函数()coscos2f xxx，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为 2B.偶函数，最大值为 2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()coscos2coscos2fxxxxxf x，所以该函数

6、为偶函数，又2219()coscos22coscos12 cos48f xxxxxx ，所以当1cos4x 时，()f x取最大值98.故选：D.8.定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度其中小雨（10mm），中雨（10mm25mm），大雨（25mm50mm），暴雨（50mm 100mm），小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详 解】由 题 意，一 个 半 径 为200100 mm2的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一

7、 个 底 面 半 径 为20015050 mm2300，高为150 mm的圆锥，所以积水厚度22150150312.5 mm100d，属于中雨.故选：B.9.已知圆22:4C xy，直线:l ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为 2，则m（）A.2B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m【详解】由题可得圆心为0,0，半径为 2，则圆心到直线的距离21mdk，则弦长为222 41mk，则当0k 时，弦长取得最小值为22 42m，解得3m .故选：C.10.数列 na是递增的整数数列，且13a，12100naaa，则n的最大值

8、为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使 n 尽可能的大，则1a，递增幅度要尽可能小，不妨设数列 na是首项为 3，公差为 1 的等差数列，其前 n 项和为nS，则2nan，113 1311881002S，123 14121021002S，所以 n 的最大值为 11.故选：C.第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分）二、填空题二、填空题 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.341()xx展开式中常数项为_【答案】4【解析】【详解】试题分析：431x

9、x的展开式的通项4312 41441C1C,rrrrrrrTxxx 令3r 得常数项为33441C4T .考点：二项式定理.12.已知抛物线2:4C yx，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且6FM，则M的横坐标是_；作MNx轴于N，则FMNS_【答案】.5.4 5【解析】【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求FMNS.【详解】因为抛物线的方程为24yx，故2p 且1,0F.因为6MF，62Mpx，解得5Mx，故2 5My，所以15 12 54 52FMNS，故答案为：5，4 5.13.(2,1)a，(2,1)b，(0,1)c，则()abc_；a b _【答案】.0.3【解析】【

10、分析】根据坐标求出ab，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)abc，4,0ab，()4 00 10abc ，2 2 113a b .故答案为：0；3.14.若点(cos,sin)P与点(cos(),sin()66Q关于y轴对称，写出一个符合题意的_【答案】512（满足5,12kkZ即可）【解析】【分析】根据,P Q在单位圆上，可得,6 关于y轴对称，得出2,6kkZ求解.【详解】(cos,sin)P与cos,sin66Q关于y轴对称，即,6 关于y轴对称，2,6kkZ，则5,12kkZ，当0k 时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12k

11、kZ即可）.15.已知函数()lg2f xxkx，给出下列四个结论：若0k，则()f x有两个零点；0k，使得()f x有一个零点；0k，使得()f x有三个零点；0k，使得()f x有三个零点以上正确结论得序号是_【答案】【解析】【分析】由 0f x 可得出lg2xkx，考查直线2ykx与曲线 lgg xx的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于，当0k 时，由 lg20f xx，可得1100 x 或100 x，正确；对于，考查直线2ykx与曲线lg01yxx 相切于点,lgP tt，对函数lgyx 求导得1ln10yx ，由题意可得2lg1ln10

12、kttkt ，解得100100lgetkee，所以，存在100lg0kee，使得 fx只有一个零点，正确；对于，当直线2ykx过点1,0时，20k，解得2k ，所以，当100lg2eke 时，直线2ykx与曲线lg01yxx 有两个交点，若函数 fx有三个零点，则直线2ykx与曲线lg01yxx 有两个交点，直线2ykx与曲线lg1yx x有一个交点，所以，100lg220ekek，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数 fx有三个零点，错误；对于，考查直线2ykx与曲线lg1yx x相切于点,lgP tt，对函数lgyx求导得1ln10yx，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100

13、lg100teeke，所以，当lg0100eke时，函数 fx有三个零点，正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知在ABC中，2 coscbB，23C（1）求B的大小；（2）在下

14、列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度2cb；周长为42 3；面积为3 34ABCS；【答案】（1）6；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2 coscbB，则由正弦定理可得sin2sincosCBB，23sin2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2

15、cCbB，与2cb矛盾，故这样的ABC不存在；若选择：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2 sin6abRR，22 sin33cRR，则周长2342 3abcRR，解得2R，则2,2 3ac，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：222 3122 3 1 cos76；若选择：由（1）可得6A，即ab，则21133 3sin2224ABCSabCa，解得3a，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb.17.已知正方体1111ABCDABC D，点E为11AD中点，直线11BC交平面CDE于点F（1）证明：点F为11BC的中点

16、；（2）若点M为棱11AB上一点，且二面角MCFE的余弦值为53，求111AMAB的值【答案】（1）证明见解析；（2）11112AMAB【解析】【分析】(1)首先将平面CDE进行扩展，然后结合所得的平面与直线11BC的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.【详解】(1)如图所示，取11BC的中点F，连结,DE EF F C，由于1111ABCDABC D为正方体，,E F为中点，故EFCD，从而,E F C D四点共面，即平面 CDE 即平面CDEF，据此可得：直线11BC交平面CDE于点F，当直线与平面相交时只有

17、唯一的交点，故点F与点F重合，即点F为11BC中点.(2)以点D为坐标原点，1,DA DC DD方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为 2，设11101AMAB，则：2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2MCFE，从而：2,22,2,1,0,2,0,2,0MCCFFE ，设平面MCF的法向量为：111,mx y z，则：111112222020m MCxyzm CFxz ，令11z 可得：12,11m，设平面CFE的法向量为：222,nxy z，则：2222020n FEyn CFxz ，令11z 可得：2,0,1n，从而：215,5,51m

18、 nmn，则：2,155155cos3m nm nmn ，整理可得：2114，故12（32舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合 1 检测法”，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有 100 人，已知其中 2 人感染病毒（1）若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知 1

19、0 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量 X 为总检测次数，求检测次数 X 的分布列和数学期望 E(X)；（2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y 的期望为 E(Y)，试比较 E(X)和 E(Y)的大小(直接写出结果)【答案】（1）20次；分布列见解析；期望为32011；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题设条件还原情境，即可得解；求出 X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出 E Y，分类即可得解.【详解】（1）对每组进行检测，需要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要 10 次；所以总

20、检测次数为 20 次；由题意，X可以取 20，30，12011P X，1103011111P X ，则X的分布列:X2030P1111011所以1103202030111111E X；（2）由题意，Y可以取 25，30，设两名感染者在同一组的概率为 p，25P Yp，301P Yp，则 2530 1305E Yppp，若211p 时，E XE Y；若211p 时，E XE Y；若211p 时，E XE Y.19.已知函数 232xf xxa（1）若0a，求 yf x在 1,1f处切线方程；（2）若函数 fx在1x 处取得极值，求 fx的单调区间，以及最大值和最小值【答案】（1）450 xy；（

21、2）函数 fx的增区间为,1、4,，单调递减区间为1,4，最大值为1，最小值为14.【解析】【分析】（1）求出 1f、1f 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由10f 可求得实数a的值，然后利用导数分析函数 fx的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当0a 时，232xfxx，则 323xfxx，11f，14f ，此时，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为141yx ，即450 xy；（2）因为 232xf xxa，则 222222223223xaxxxxafxxaxa，由题意可得22 4101afa，解得4a，故 2324xfxx，222144xxfxx，列表如下：x

22、,1 11,444,fx00 fx增极大值减极小值增所以，函数 fx的增区间为,1、4,，单调递减区间为1,4.当32x 时，0f x；当32x 时，0f x.所以，max11f xf，min144f xf.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(0,2)A，以四个顶点围成的四边形面积为4 5（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，直线 AC 交 y=-3 于点 N，若|PM|+|PN|15，求 k 的取值范围【答案】（1）22154xy；（2）3,1)(1,3【

23、解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设1122,B x yC xy，求出直线,AB AC的方程后可得,M N的横坐标，从而可得PMPN，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PMPN，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过0,2A，故2b，因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5，故1224 52ab，即5a，故椭圆的标准方程为：22154xy.（2）设1122,B x yC xy，因为直线BC的斜率存在，故120 x x，故直线112:2yAB yxx，令3y ，则112Mxxy，同理222

24、Nxxy.直线:3BC ykx，由2234520ykxxy可得224530250kxkx，故22900100 450kk，解得1k 或1k.又1212223025,4545kxxx xkk，故120 x x，所以0MNx x又1212=22MNxxPMPNxxyy2212121222212121222503024545=5253011114545kkkx xxxxxkkkkkkxkxk x xk xxkk故515k 即3k，综上，31k 或13k.21.定义pR数列 na：对实数 p，满足：10ap，20ap；414,nnnNaa；,1m nmnmnaaap aap，,m nN（1）对于前 4

25、 项 2，-2，0，1 的数列，可以是2R数列吗？说明理由；（2）若 na是0R数列，求5a的值；（3）是否存在 p，使得存在pR数列 na，对10,nnNSS？若存在，求出所有这样的 p；若不存在，说明理由【答案】（1）不可以是2R数列；理由见解析；（2）51a；（3）存在；2p【解析】【分析】(1)由题意考查3a的值即可说明数列不是2R数列；(2)由题意首先确定数列的前 4 项，然后讨论计算即可确定5a的值；(3)构造数列nnbap，易知数列 nb是0R的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p的值.【详解】(1)由性质结合题意可知3121202,2 12,3aaaaa，矛盾

26、，故前 4 项2,2,0,1的数列，不可能是2R数列.(2)性质120,0aa，由性质2,1mmmaaa，因此31aa或311aa，40a 或41a，若40a，由性质可知34aa，即10a 或110a ，矛盾；若4311,1aaa，由34aa有111a ，矛盾.因此只能是4311,aaa.又因为413aaa或4131aaa，所以112a 或10a.若112a，则21 11111110,0 12,211,2aaaaaaaa，不满足20a，舍去.当10a，则 na前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明444(1,2,3),1n inan iannN：当0n 时，经验证命题成立，假设当(0)nk

27、k时命题成立，当1nk时：若1i，则4541145kkjkjaaa，利用性质：*45,144,1jkjaajNjkk k，此时可得：451kak；否则，若45kak，取0k 可得：50a，而由性质可得：5141,2aaa，与50a 矛盾.同理可得：*46,145,1jkjaajNjkk k，有461kak；*48,2461,2jkjaajNjkkk，有482kak；*47,1461jkjaajNjkk，又因为4748kkaa，有471.kak即当1nk时命题成立，证毕.综上可得：10a，54 1 11aa.(3)令nnbap，由性质可知：*,m nm nm nNbap,1mnmnapap ap

28、ap,1mnmnbb bb，由于11224141440,0,nnnnbapbapbapapb，因此数列 nb为0R数列.由（2）可知:若444,(1,2,3),1n innN anp ianp ；11111402 320aSSap，910104 2 2(2)0SSaap ，因此2p，此时1210,0a aa，011jaj，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.