2022年新高考天津数学高考真题(解析版).pdf

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1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）202206一一、选择题选择题：本题共本题共 9 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 45 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.设全集2,1,0,1,2U=-，集合0,1,21,2A,B=，则UAB （）A.01，B.0,1,2C.1,1,2D.0,1,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出UB，再根据交集的定义可求UAB.【详解】2,0,1UB ，故0,1UAB ，故选：A.2.“x为整数”是“21x为整数”的（）A.充分

2、不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不允分也不必要【答案】A【解析】【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“x为整数”与“21x为整数”的逻辑关系即可.【详解】由题意，若x为整数，则21x为整数，故充分性成立；当12x 时，21x为整数，但x不为整数，故必要性不成立；所以“x为整数”是“21x为整数”的充分不必要条件.故选：A.3.函数 21xf xx的图像为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析函数 f x的定义域、奇偶性、单调性及其在,0上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数 21xf xx的定义域为0 x x，且 2211xxfxf xxx ，函数 f x

3、为奇函数，A 选项错误；又当0 x 时，210 xf xx，C 选项错误；当1x 时，22111xxf xxxxx函数单调递增，故 B 选项错误；故选：D.4.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（）A.8B.12C.16D.18【答案】B【解析】【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出

4、志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)150，所以第三组人数为 500.3618，有疗效的人数为 18612故选：B.5.已知0.72a，0.713b，21log3c，则（）A.acbB.bcaC.abcD.cab【答案】C【解析】【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log33，故abc.故答案为：C.6.化简48392log 3log 3log 2log 2的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式

5、的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)2322343log 3log 2232，故选：B7.已知抛物线2124 5,yx F F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F，与双曲线的渐近线交于点 A，若124FF A，则双曲线的标准方程为（）A.22110 xyB.22116yx C.2214yx D.2214xy【答案】C【解析】【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得112AFFF，由此可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线24 5yx的

6、准线方程为5x ，则5c，则15,0F、25,0F，不妨设点A为第二象限内的点，联立byxaxc ，可得xcbcya，即点,bcAca，因为112AFFF且124FF A，则12FF A为等腰直角三角形，且112AFFF，即2bcca，可得2ba，所以，22225baccab，解得125abc，因此，双曲线的标准方程为2214yx.故选：C.8.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A.23B.24C.26D.27【答案】D【解析】【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得

7、组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱AFDBHC及直三棱柱DGCAEB组成，作HMCB于 M，如图，因为3,120CHBHCHB，所以3 33,22CMBMHM，因为重叠后的底面为正方形，所以3 3ABBC,在直棱柱AFDBHC中，AB 平面 BHC，则ABHM,由ABBCB可得HM 平面ADCB，设重叠后的 EG 与FH交点为,I则132713813 3 3 3,=3 33 3=322224I BCDAAFD BHCVV则该几何体的体积为8127222742AFD BHCI BCDAVVV.故选：D.9.已知1()sin22f xx，关于该函数有下列四个说法：()f x的最小正周期为2；

8、()f x在,4 4上单调递增；当,6 3x 时，()f x的取值范围为33,44；()f x的图象可由1g()sin(2)24xx的图象向左平移8个单位长度得到以上四个说法中，正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假【详解】因为1()sin22f xx，所以()f x的最小正周期为22T，不正确；令 2,2 2tx，而1sin2yt在,2 2上递增，所以()f x在,4 4上单调递增，正确；因为 22,33tx，3sin,12t，所以 3 1,42fx，不正确；由于11g()sin(2)sin 22428xx

9、x，所以()f x的图象可由1g()sin(2)24xx的图象向右平移8个单位长度得到，不正确故选：A第第 II 卷卷二二、填空题填空题：本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分试题中包含两个空的试题中包含两个空的，答对答对 1 个的个的给给3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分10.已知i是虚数单位，化简11 3i1+2i的结果为_【答案】1 5i#5i 1【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出【详解】11 3i12i11 3i11 625i1 5i1+2i1+2i12i5 故答案为：1 5i11.523xx的展开式中的常数项为_.【答案】

10、15【解析】【分析】由题意结合二项式定理可得523xx的展开式的通项为5 52153rrrrTCx，令5502r，代入即可得解.【详解】由题意523xx的展开式的通项为5 552155233rrrrrrrTCxCxx，令5502r即1r，则1553315rrCC，所以523xx的展开式中的常数项为15.故答案为：15.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.若直线00 xymm与圆22113xy相交所得的弦长为m，则m_【答案】2【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详解】圆22113xy的圆心坐标为1,1，

11、半径为3，圆心到直线00 xymm的距离为1 122mm，由勾股定理可得22322mm，因为0m，解得2m.故答案为：2.13.52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 A 的概率为_；已知第一次抽到的是 A，则第二次抽取 A 的概率为_【答案】.1221.117【解析】【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到 A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到 A 的条件下，第二次抽到 A 的概率.【详解】由题意，设第一次抽到 A 的事件为 B,第二次抽到 A 的事件为 C,则 1431411221,(),|1525122152131713BCP BCP BP C B

12、PBP.故答案为：1221；117.14.在ABC中，,CAa CBb ，D 是 AC 中点，2CBBE ，试用,a b表示DE为_，若ABDE，则ACB的最大值为_【答案】.3122ba.6【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以,a b 为基底，表示出,AB DE，由ABDE可得2234bab a，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设(0,0),(1,0),(3,0),(,)EBCA x y，由ABDE可得点A的轨迹为以(1,0)M 为圆心，以2r 为半径的圆，方程为22(1)4xy，即可根据几何性质可知，当且仅当CA

13、与M相切时，C最大，即求出【详解】方法一：31=22DE CECDba ，,(3)()0ABCBCAba ABDEbaba ，2234baa b 222 333cos244a ba bbaACBa ba ba b ，当且仅当3ab时取等号，而0ACB，所以(0,6ACB故答案为：3122ba；6方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)EBCA x y，3(,),(1,)22xyDEABxy ，23()(1)022xyDEABx 22(1)4xy，所以点A的轨迹是以(1,0)M 为圆心，以2r 为半径的圆，当且仅当CA与M相切时，C最大，此时21sin,426rC

14、CCM故答案为：3122ba；615.设aR，对任意实数 x，记 2min2,35fxxxaxa若 f x至少有 3 个零点，则实数a的取值范围为_.【答案】10a【解析】【分析】设 235g xxaxa，2h xx，分析可知函数 g x至少有一个零点，可得出0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围.【详解】设 235g xxaxa，2h xx，由20 x 可得2x .要使得函数 f x至少有3个零点，则函数 g x至少有一个零点，则212200aa，解得2a 或10a.当2a 时，221g xxx，作出函数 g x

15、、h x的图象如下图所示：此时函数 f x只有两个零点，不合乎题意；当2a 时，设函数 g x的两个零点分别为1x、212xxx，要使得函数 f x至少有3个零点，则22x ，所以，2224550aga，解得a；当10a 时，21025g xxx，作出函数 g x、h x的图象如下图所示：由图可知，函数 f x的零点个数为3，合乎题意；当10a 时，设函数 g x的两个零点分别为3x、434xxx，要使得函数 f x至少有3个零点，则32x，可得 222450aga，解得4a，此时10a.综上所述，实数a的取值范围是10,.故答案为：10,.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值

16、（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c.已知16,2,cos4abcA.（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin(2)AB的值.【答案】（1

17、）1c（2）sin104B（3）10sin(2)8AB【解析】【分析】（1）根据余弦定理2222cosabcbcA以及2bc解方程组即可求出；（2）由（1）可求出2b，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2,cos2AA，再根据两角差的正弦公式即可求出【小问 1 详解】因为2222cosabcbcA，即22162bcbc，而2bc，代入得22264ccc，解得：1c【小问 2 详解】由（1）可求出2b，而0A，所以215sin1 cos4AA，又sinsinabAB，所以152sin104sin46bABa【小问 3 详解】因为1cos4A，所以2A，故02B，又215si

18、n1 cos4AA，所以11515sin22sincos2448AAA ，217cos22cos121168AA ，而sin104B，所以26cos1 sin4BB，故15671010sin(2)sin2coscos2 sin84848ABABAB 17.直三棱柱111ABCABC中，112,AAABACAAAB ACAB，D 为11AB的中点，E 为1AA的中点，F 为CD的中点（1）求证：/EF平面ABC；（2）求直线BE与平面1CC D所成角的正弦值；（3）求平面1ACD与平面1CC D所成二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）45（3）1010【解析】【分析】（1）以点1A为坐标

19、原点，1A A、11AB、11AC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线BE与平面1CC D夹角的正弦值；（3）利用空间向量法可求得平面1ACD与平面1CC D夹角的余弦值.【小问 1 详解】证明：在直三棱柱111ABCABC中，1AA 平面111ABC，且ACAB，则1111ACAB以点1A为坐标原点，1A A、11AB、11AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则2,0,0A、2,2,0B、2,0,2C、10,0,0A、10,0,2B、10,0,2C、0,1,0D、1,0,0E、11,12F，则10

20、,12EF，易知平面ABC的一个法向量为1,0,0m，则0EF m ，故EFm，EF 平面ABC，故/EF平面ABC.【小问 2 详解】解：12,0,0C C ，10,1,2C D ，1,2,0EB ，设平面1CC D的法向量为111,ux y z，则111112020u C Cxu C Dyz ，取12y，可得0,2,1u，4cos,5EB uEB uEBu .因此，直线BE与平面1CC D夹角的正弦值为45.【小问 3 详解】解：12,0,2AC，10,1,0AD ，设平面1ACD的法向量为222,vxyz，则122122200v ACxzv ADy ，取21x，可得1,0,1v，则110

21、cos,1052u vu vuv ，因此，平面1ACD与平面1CC D夹角的余弦值为1010.18.设 na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ababab（1）求 na与 nb的通项公式；（2）设 na的前 n 项和为nS，求证：1111nnnnnnnSabSbS b；（3）求211(1)nkkkkkaab【答案】（1）121,2nnnanb（2）证明见解析（3）2(3n 1)4169n【解析】【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前 n 项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得212221212122(1)(1)kkkkkk

22、kkaabaab ，进而由并项求和可得114nknkTk，再结合错位相减法可得解.【小问 1 详解】设na公差为 d，nb公比为q，则11(1),nnnand bq，由22331abab可得2112121dqdqdq（0dq舍去），所以121,2nnnanb；【小问 2 详解】证明：因为120,nnbb所以要证1111()nnnnnnnSabSbS b，即证111()2nnnnnnnSabSbS b，即证1112nnnnSaSS，即证11nnnaSS，而11nnnaSS显然成立，所以1111()nnnnnnnSabSbSb；【小问 3 详解】因为212221212122(1)(1)kkkkkk

23、kkaabaab 2121(4143)241(41)24kkkkkkkk ，所以211(1)nkkkkkaab 2122212121221(1)(1)nkkkkkkkkkaabaab 114nkkk，设114nknkTk所以23411 42 43 44nnTn ，则345241 42 43 44nnTn ，作差得22341224(1 4)34444441 4nnnnnTnn 21 34163nn，所以2(31)4169nnnT，所以211(1)nkkkkkaab 2(3n 1)4169n.19.椭圆222210 xyabab的右焦点为 F、右顶点为 A，上顶点为 B，且满足32BFAB（1）求

24、椭圆的离心率e；（2）直线 l 与椭圆有唯一公共点 M，与 y 轴相交于 N（N 异于 M）记 O 为坐标原点，若OMON，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程【答案】（1）63e（2）22162xy【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223xya，设直线l的方程为ykxm，将直线l的方程与椭圆方程联立，由0 可得出22231 3mak，求出点M的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a的值，即可得出椭圆的方程.【小问 1 详解】解：2222222222234332BFbcaabaabABbaba，

25、离心率为22263cabeaa.【小问 2 详解】解：由（1）可知椭圆的方程为2223xya，易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，联立2223ykxmxya得22221 3630kxkmxma，由22222222364 1 33031 3k mkmamak，2331Mkmxk，21 3MMmykxmk，由OMON可得222229131mkmk，由3OMNS可得231321 3kmmk，联立可得213k，24m，26a，故椭圆的标准方程为22162xy20.已知abR，函数 sin,xfxeax g xbx（1）求函数 yf x在 0,0f处的切线方程；（2）若 yf x和 yg x

26、有公共点，（i）当0a 时，求b的取值范围；（ii）求证：22eab【答案】（1）(1)1ya x（2）（i）2e,b；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f 可求切线方程；（2）（i）当0a 时，曲线()yf x和()yg x有公共点即为 2e,0ts tbt t在0,上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求 2,)be.（ii）曲线()yf x和()yg x有公共点即000sine0 xaxb x，利用点到直线的距离得到022200esinxabxx，利用导数可证22eesinxxx，从而可得不等式成立.【小问 1 详解】()ecosxfxax，故(0)1fa，而(0)1

27、f，曲线()f x在点(0,(0)f处的切线方程为101yax即11ya x.【小问 2 详解】（i）当0a 时，因为曲线()yf x和()yg x有公共点，故exb x有解，设tx，故2xt，故2etbt在0,上有解，设 2e,0ts tbt t，故 s t在0,上有零点，而 22 e,0ts ttb t，若0b，则 2e0ts t 恒成立，此时 s t在0,上无零点，若0b，则 0s t在0,上恒成立，故 s t在0,上为增函数，而 010s，01s ts，故 s t在0,上无零点，故0b，设 22 e,0tu ttb t，则 2224e0tu tt，故 u t在0,上为增函数，而 00u

28、b ，22e10bu bb，故 u t在0,上存在唯一零点0t，且00tt 时，0u t；0tt时，0u t；故00tt 时，0s t；0tt时，0s t；所以 s t在00,t上为减函数，在0,t 上为增函数，故 0mins ts t，因为 s t在0,上有零点，故 00s t，故200e0tbt，而2002 e0ttb，故220020e2 e0ttt即022t，设 22 e,0tv ttt，则 2224e0tv tt，故 v t在0,上为增函数，而2002 etbt，故122e2eb.（ii）因为曲线()yf x和()yg x有公共点，所以esinxaxb x有解0 x，其中00 x，若0

29、0 x，则100ab ，该式不成立，故00 x.故000sine0 xaxb x，考虑直线000sine0 xaxb x，22ab表示原点与直线000sine0 xaxb x上的动点,a b之间的距离，故022200esinxabxx，所以0222200esinxabxx，下证：对任意0 x，总有sin xx，证明：当2x时，有sin12xx，故sin xx成立.当02x时，即证sin xx，设 sinp xxx，则 cos10p xx（不恒为零），故 sinp xxx在0,上为减函数，故 00p xp即sinx成立.综上，sin xx成立.下证：当0 x 时，e1xx恒成立，e1,0 xq xx x，则 e10 xq x，故 q x在0,上为增函数，故 00q xq即e1xx恒成立.下证：22eesinxxx在0,上恒成立，即证：212esinxxx，即证：221 1sinxxx ，即证：2sinxx，而2sinsinxxx，故2sinxx成立.故0200eesinxxx，即22eab成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.