2020年高考真题数学(理)(全国卷ⅰ)+含解析.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效答题卡上。写在本试卷上无效.3考试

2、结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的.1.若 z=1+i，则|z22z|=（）A.0B.1C.2D.2【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得22zz的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：2212zii，则2222 12zzii.故2222zz.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2.设集合 A=x|x240，B

3、=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（）A.4B.2C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a的值.【详解】求解二次不等式240 x 可得：2|2Axx，求解一次不等式20 xa可得：|2aBx x.由于|21ABxx，故：12a，解得：2a .故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边

4、上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514B.512C.514D.512【答案】D【解析】【分析】设,CDa PEb，利用212POCD PE得到关于,a b的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CDa PEb，则22224aPOPEOEb，由题意212POab，即22142abab，化简得24()210bbaa，解得154ba（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（）A.2B.3C.6

5、D.9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|122ApAFx，即1292p，解得6p=.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,20)iix yi 得到下面的散点图：由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A.yabxB.2yabxC.e

6、xyabD.lnyabx【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.函数43()2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（）A.21yx B.21yx C.23yxD.21yx【答案】B【解析】【分析】求得函数 yf x的导数 fx，计算出 1f和 1f 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】432f xxx，3246fxxx，11f，12f ，因

7、此，所求切线的方程为121yx ，即21yx.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7.设函数()cos()6f xx在,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（）A.109B.76C.43D.32【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09，即可得到4cos096，结合4,09是函数 fx图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到4962，即可求得32，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 fx可得：4cos096又4,09是函数 fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得：32所

8、以函数 fx的最小正周期为224332T故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.25()()xxyxy的展开式中 x3y3的系数为（）A.5B.10C.15D.20【答案】C【解析】【分析】求得5()xy展开式的通项公式为515rrrrTC xy（rN且5r），即可求得2yxx与5()xy展开式的乘积为65rrrC xy或425rrrC xy形式，对r分别赋值为 3，1 即可求得33x y的系数，问题得解.【详解】5()xy展开式的通项公式为515rrrrTC xy（rN且5r）所以2yxx与5()xy展开式的乘积可表示为：56155r

9、rrrrrrxTxC xyC xy或22542155rrrrrrrTC xyxCyyyxx在615rrrrxTC xy中，令3r，可得：33345xTC x y，该项中33x y的系数为10，在42152rrrrTC xxyy中，令1r，可得：521332TCyxxy，该项中33x y的系数为5所以33x y的系数为10515故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9.已知()0,，且3cos28cos5，则sin（）A.53B.23C.13D.59【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一

10、元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3 或cos2（舍去），又25(0,),sin1cos3.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）A.64B.48C.36D.32【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO的值，根据球截面性

11、质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr，由正弦定理可得2 sin602 3ABr，12 3OOAB，根据圆截面性质1OO 平面ABC，222211111,4OOO A ROAOOO AOOr，球O的表面积2464SR.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.11.已知M：222220 xyxy，直线l：220 xy，P为l上的动点，过点P作M 的切线,PA PB，切点为,A B，当|PMAB最小时，直线AB的方程为（）A.210 xy B.210 xy C.210 xy D.210

12、xy【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,A P B M共圆，且ABMP，根据22PAMPMABSPA可知，当直线MPl时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程【详 解】圆 的 方 程 可 化 为22114xy，点M到 直 线l的 距 离 为222 1 1 25221d ，所以直线l与圆相离依圆的知识可知，四点,A P B M四点共圆，且ABMP，所以12222PAMPMABSPAAMPA，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小1:112MP yx 即1122yx，由11222

13、20yxxy解得，10 xy 所以以MP为直径的圆的方程为1110 xxy y，即2210 xyy，两圆的方程相减可得：210 xy，即为直线AB的方程故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题12.若242log42logabab，则（）A.2abB.2abC.2abD.2ab【答案】B【解析】【分析】设2()2logxf xx，利用作差法结合()f x的单调性即可得到答案.【详解】设2()2logxf xx，则()f x为增函数，因为22422log42log2logabbabb所以()(2)f

14、afb2222log(2log 2)abab22222log(2log 2)bbbb21log102 ，所以()(2)f afb，所以2ab.2()()f af b22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb，当1b 时，2()()20f af b，此时2()()f af b，有2ab当2b 时，2()()10f af b ，此时2()()f af b，有2ab，所以 C、D 错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题

15、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.若 x，y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y 的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy即：1177yxz，其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：22010 xyxy，可得点 A 的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max17 01z .故答案为：1【点睛】求线性目标函数 zax

16、by(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设,a b为单位向量，且|1ab，则|ab_.【答案】3【解析】【分析】整理已知可得：2abab，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ，对abrr变形可得：222abaa bb ，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1abrr所以2222221ababaa bba b 解得：21a b 所以22223ababaa bb 故答案为：3【点睛】本题主要考

17、查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.15.已知 F 为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知，2bBFa，AFca，即可根据斜率列出等式求解即可【详解】依题可得，3BFAF，而2bBFa，AFca，即23baca，变形得22233caaca，化简可得，2320ee，解得2e 或1e（舍去）故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题16.如图，在三棱锥 PABC 的

18、平面展开图中，AC=1，3ABAD，ABAC，ABAD，CAE=30，则 cosFCB=_.【答案】14【解析】【分析】在ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可得出BF，然后在BCF中利用余弦定理可求得cosFCB的值.【详解】ABAC，3AB，1AC，由勾股定理得222BCABAC，同理得6BD，6BFBD，在ACE中，1AC，3AEAD，30CAE，由余弦定理得22232cos301 32 1312CEACAEAC AE ，1CFCE，在BCF中，2BC，6BF，1CF，由余弦定理得2221461cos22 1 24CFBCBFFCBCF BC .故

19、答案为：14.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为题为必考题，每个试题考生都必须作答必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.设na是公比不为 1 的等比数列，1a为2a，3a的等差中项（1）求na的公比；（2）若11a，求数列nna的前n项和【答案】（1）2；（2）1(13)(2)9nnnS.【解析】【分析】（

20、1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出na的通项，根据nna的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设na的公比为q，1a为23,a a的等差中项，212312,0,20aaa aqq，1,2qq ；（2）设nna的前n项和为nS，111,(2)nnaa，211 12(2)3(2)(2)nnSn ，23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)nnnSnn ，得，2131(2)(2)(2)(2)nnnSn 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3nnnnn ，1(13)(2)9nnnS.【点睛】本题考查等比数列通项公式基

21、本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO（1）证明：PA 平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）2 55.【解析】【分析】（1）要证明PA 平面PBC，只需证明PAPB，PAPC即可；（2）以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为n，平面PCE的法向量为m，利用公式cos,|n mm nn m 计算即可得到答案.【详解】（1

22、）由题设，知DAE为等边三角形，设1AE，则32DO，1122COBOAE，所以6264PODO，222266,44PCPOOCPBPOOB又ABC为等边三角形，则2sin60BAOA，所以32BA，22234PAPBAB，则90APB，所以PAPB，同理PAPC，又PCPBP，所以PA 平面PBC；（2）过 O 作ONBC 交 AB 于点 N，因为PO 平面ABC，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则121313(,0,0),(0,0,),(,0),(,0)244444EPBC，132(,)444PC ，132(,)444PB ，12(,0,

23、)24PE ，设平面PCB的一个法向量为111(,)nx y z，由00n PCn PB ，得111111320320 xyzxyz，令12x，得111,0zy，所以(2,0,1)n，设平面PCE的一个法向量为222(,)mxyz由00m PCm PE ，得22222320220 xyzxz，令21x，得2232,3zy，所以3(1,2)3m 故2 22 5cos,5|1033n mm nnm ，设二面角BPCE的大小为，则2 5cos5.【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定

24、赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【答案】（1）116；（2）34；（3）716.【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举

25、出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.【详解】（1）记事件:M甲连胜四场，则411216P M；（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为411424PP ABABP ACACP BCBCP BABA，所以，需要进行第五场比赛的概率为314PP；（3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件:M甲赢，记事件:N丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，所以，甲赢的概率为45

26、11972232P M.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为971 23216P N .【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.20.已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，8AG GB ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.【答案】（1）2219xy；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得：,0Aa，,0B a，0,1G，即可求得21AG

27、GBa ，结合已知即可求得：29a，问题得解.（2）设06,Py，可得直线AP的方程为：039yyx，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为20022003276,99yyyy，同理可得点D的坐标为2002200332,11yyyy，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：0204323 3yyxy，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)xEyaa可得：,0Aa，,0B a，0,1G,1AGa，,1GBa 218AG GBa ，29a 椭圆方程为：2219xy（2）证明：设06,Py，则直线AP的方程为：00363yyx，即：039yyx联

28、立直线AP的方程与椭圆方程可得：2201939xyyyx，整理得：2222000969810yxy xy，解得：3x 或20203279yxy将20203279yxy代入直线039yyx可得：02069yyy所以点C的坐标为20022003276,99yyyy.同理可得：点D的坐标为2002200332,11yyyy直线CD的方程为：0022200002222000022006291233327331191yyyyyyyxyyyyyy，整理可得：2220000002224200000832338331116 96 3yyyyyyyxxyyyyy整理得：0002220004243323 33 3

29、yyyyxxyyy故直线CD过定点3,02【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.21.已知函数2()exf xaxx.（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；（2）当 x0 时，f（x）12x3+1，求 a 的取值范围.【答案】（1）当,0 x 时，0,fxf x单调递减，当0,x时，0,fxf x单调递增.（2）27,4e【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论 x=0 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数

30、a 的取值范围.【详解】(1)当1a 时，2xxxefx，21xfxex，由于 20 xfxe，故 fx单调递增，注意到 00f，故：当,0 x 时，0,fxf x单调递减，当0,x时，0,fxf x单调递增.(2)由 3112fxx得，23112xeaxxx，其中0 x，.当 x=0 时，不等式为：1 1，显然成立，符合题意；.当0 x 时，分离参数 a 得，32112xexxax，记 32112xexxg xx，231212xxexxgxx，令 21102xexxh xx，则 1xhxex，10 xhxe，故 hx单调递增，00hxh，故函数 h x单调递增，00h xh，由 0h x 可

31、得：211 02xexx恒成立，故当0,2x时，0gx，g x单调递增；当2,x时，0gx，g x单调递减；因此，2max724eg xg,综上可得，实数 a 的取值范围是27,4e.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题

32、中任选一题作答。如果多做，则题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。按所做的第一题计分。选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt(t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4 cos16 sin30（1）当1k 时，1C是什么曲线？（2）当4k 时，求1C与2C的公共点的直角坐标【答案】（1）曲线1C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2）1 1(,)4 4.【解析】【分析】（1）利用22sincos1tt消去参数t，求出曲线1C的普通方程，即可得出结论；（

33、2）当4k 时，0,0 xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt为参数），两式相加消去参数t，得1C普通方程，由cos,sinxy，将曲线2C化为直角坐标方程，联立12,C C方程，即可求解.【详解】（1）当1k 时，曲线1C的参数方程为cos(sinxttyt为参数），两式平方相加得221xy，所以曲线1C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2）当4k 时，曲线1C的参数方程为44cos(sinxttyt 为参数），所以0,0 xy，曲线1C的参数方程化为22cos(sinxttyt为参数），两式相加得曲线1C方程为1xy，得1yx，平方得21,01,01yxxxy，曲

34、线2C的极坐标方程为4 cos16 sin30，曲线2C直角坐标方程为41630 xy，联立12,C C方程2141630yxxxy，整理得1232130 xx，解得12x 或136x（舍去），11,44xy，12,C C公共点的直角坐标为1 1(,)4 4.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲23.已知函数()|31|2|1|f xxx（1）画出()yf x的图像；（2）求不等式()(1)f xf x的解集【答案】（1）详解解析；（2）7,6.【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 fx的解析式，作出图象；（2）作出函数1f x的图象，根据图象即可解出【详解】（1）因为 3,1151,1313,3xxf xxxxx ，作出图象，如图所示：（2）将函数 fx的图象向左平移1个单位，可得函数1f x的图象，如图所示：由3511xx，解得76x 所以不等式的解集为7,6【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题