2022年高考全国乙卷数学(文)真题(解析版).pdf
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1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学注意事项:注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时,选出每小题答案后,用回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框,回答非选择题时,将答案写在答题卡上需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3考试结束后,将本试卷和答题卡
2、一并交回考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.集合2,4,6,8,10,16MNxx,则MN()A.2,4B.2,4,6C.2,4,6,8D.2,4,6,8,10【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出【详解】因为2,4,6,8,10M,|16Nxx,所以2,4MN 故选:A.2.设(12i)2iab,其中,a b为实数,则()A.1,1ab B.1,1abC.1,1ab D.1
3、,1ab 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出【详解】因为,a bR,2 i2iaba,所以0,22aba,解得:1,1ab 故选:A.3.已知向量(2,1)(2,4)ab,则abrr()A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】先求得ab,然后求得abrr.【详解】因为 2,12,44,3ab,所以22435 ab.故选:D4.分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8C.甲同学周
4、课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于 A 选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42,A 选项结论正确.对于 B 选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:6.37.47.68.1 8.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.8 10.18.50625816,B 选项结论正确.对于 C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416,C 选项结论错误.对
5、于 D 选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616,D 选项结论正确.故选:C5.若 x,y 满足约束条件2,24,0,xyxyy则2zxy的最大值是()A.2B.4C.8D.12【答案】C【解析】【分析】作出可行域,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图阴影部分所示,转化目标函数2zxy为2yxz,上下平移直线2yxz,可得当直线过点4,0时,直线截距最小,z 最大,所以max2 408z.故选:C.6.设 F 为抛物线2:4C yx的焦点,点 A 在 C 上,点(3,0)B,若AFBF,则AB()A.2B.2 2C.3D.3 2【答案】B【解析】
6、【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,从而求得点A的横坐标,进而求得点A坐标,即可得到答案.【详解】由题意得,1,0F,则2AFBF,即点A到准线1x 的距离为 2,所以点A的横坐标为121,不妨设点A在x轴上方,代入得,1,2A,所以223 1022 2AB.故选:B7.执行下边的程序框图,输出的n()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环,2123bba,3 12,12abann ,222231220.0124ba;执行第二次循环,2347bba,725,13abann,222271220.01525ba;执行第三次循环,2
7、71017bba,17512,14abann,2222171220.0112144ba,此时输出4n.故选:B8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间 3,3的大致图像,则该函数是()A.3231xxyxB.321xxyxC.22 cos1xxyxD.22sin1xyx【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设 321xxfxx,则 10f,故排除 B;设 22 cos1xxh xx,当0,2x时,0cos1x,所以 222 cos2111xxxh xxx,故排除 C;设 22sin1xg xx,则 2sin33010g,故排除 D.故选:A.9.在正
8、方体1111ABCDABC D中,E,F 分别为,AB BC的中点,则()A.平面1B EF 平面1BDDB.平面1B EF 平面1ABDC.平面1/B EF平面1A ACD.平面1/B EF平面11AC D【答案】A【解析】【分析】证明EF 平面1BDD,即可判断 A;如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,设2AB,分别求出平面1B EF,1ABD,11AC D的法向量,根据法向量的位置关系,即可判断 BCD.【详解】解:在正方体1111ABCDABC D中,ACBD且1DD 平面ABCD,又EF 平面ABCD,所以1EFDD,因为,E F分别为,AB BC的中点,所以EFAC,所以EFB
9、D,又1BDDDD,所以EF 平面1BDD,又EF 平面1B EF,所以平面1B EF 平面1BDD,故 A 正确;选项 BCD 解法一:如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,设2AB,则112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0BEFBAAC,10,2,2C,则11,1,0,0,1,2EFEB ,12,2,0,2,0,2DBDA ,1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AAACAC 设平面1B EF的法向量为111,mx y z,则有11111020m EFxym EByz ,可取2,2,1m,同理可得平面1ABD的法向量为11,1,1n ,
10、平面1A AC的法向量为21,1,0n ,平面11AC D的法向量为31,1,1n ,则122110m n ,所以平面1B EF与平面1ABD不垂直,故 B 错误;因为m与2nu u r不平行,所以平面1B EF与平面1A AC不平行,故 C 错误;因为m与3n 不平行,所以平面1B EF与平面11AC D不平行,故 D 错误,故选:A.选项 BCD 解法二:解:对于选项 B,如图所示,设11ABB EM,EFBDN,则MN为平面1B EF与平面1ABD的交线,在BMN内,作BPMN于点P,在EMN内,作GPMN,交EN于点G,连结BG,则BPG或其补角为平面1B EF与平面1ABD所成二面角
11、的平面角,由勾股定理可知:222PBPNBN,222PGPNGN,底面正方形ABCD中,,E F为中点,则EFBD,由勾股定理可得222NBNGBG,从而有:2222222NBNGPBPNPGPNBG,据此可得222PBPGBG,即90BPG,据此可得平面1B EF 平面1ABD不成立,选项 B 错误;对于选项 C,取11AB的中点H,则1AHB E,由于AH与平面1A AC相交,故平面1B EF平面1A AC不成立,选项 C 错误;对于选项 D,取AD的中点M,很明显四边形11AB FM为平行四边形,则11AMB F,由于1AM与平面11AC D相交,故平面1B EF平面11AC D不成立,
12、选项 D 错误;故选:A.10.已知等比数列 na的前 3 项和为 168,2542aa,则6a()A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列 na的公比为,0q q,易得1q,根据题意求出首项与公比,再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解:设等比数列 na的公比为,0q q,若1q,则250aa,与题意矛盾,所以1q,则31123425111168142aqaaaqaaa qa q,解得19612aq,所以5613aa q.故选:D.11.函数 cos1 sin1f xxxx在区间0,2的最小值、最大值分别为()A.2 2,B.3 22,C.22 2,D.3 222,
13、【答案】D【解析】【分析】利用导数求得 f x的单调区间,从而判断出 f x在区间0,2上的最小值和最大值.【详解】sinsin1 cos1 cosfxxxxxxx,所以 f x在区间0,2和3,22上 0fx,即 f x单调递增;在区间 3,22上 0fx,即 f x单调递减,又 022ff,222f,33311222f ,所以 f x在区间0,2上的最小值为32,最大值为22.故选:D12.已知球 O 的半径为 1,四棱锥的顶点为 O,底面的四个顶点均在球 O 的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()A.13B.12C.33D.22【答案】C【解析】【分析】方法一:先证明当四棱锥的顶
14、点 O 到底面 ABCD 所在小圆距离一定时,底面 ABCD 面积最大值为22r,进而得到四棱锥体积表达式,再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值,从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】方法一方法一:【最优解】基本不等式【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形 ABCD,四边形 ABCD 所在小圆半径为 r,设四边形 ABCD 对角线夹角为,则2111sin222222ABCDSAC BDAC BDrrr(当且仅当四边形 ABCD 为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点 O 到底面 ABCD 所在小圆距离一定时,底面 ABCD 面积最大值为22r又设四棱锥的高为h,则22rh1,322
15、2222212224 322333327O ABCDrrhVrhrrh当且仅当222rh即33h 时等号成立.故选:C 方法二方法二:统一变量基本不等式:统一变量基本不等式由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则22ra,所以该四棱锥的高212ah,32222222231144414 34421(1)()323442333327aaaaaaaVa(当且仅当22142aa,即243a 时,等号成立)所以该四棱锥的体积最大时,其高22311233ah.故选:C 方法三方法三:利用导数求最值:利用导数求最值由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设
16、底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则22ra,所以该四棱锥的高212ah,221132aVa,令2(02)att,32132tVt,设 322ttft,则 2322tftt,403t,0ft,单调递增,423t,0ft,单调递减,所以当43t 时,V最大,此时23123ah 故选:C.【整体点评】方法一:思维严谨,利用基本不等式求最值,模型熟悉,是该题的最优解;方法二:消元,实现变量统一,再利用基本不等式求最值;方法三:消元,实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分
17、13.记nS为等差数列 na的前 n 项和若32236SS,则公差d _【答案】2【解析】【分析】转化条件为112+226adad,即可得解.【详解】由32236SS可得123122+36aaaaa,化简得31226aaa,即112+226adad,解得2d.故答案为:2.14.从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为_【答案】310#0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一:解法一:设这 5 名同学分别为甲,乙,1,2,3,从 5 名同学中随机选 3 名,有:(甲,乙,1),(甲,乙,2),(甲,乙,3),(甲,1,2),(甲,1,3),
18、(甲,2,3),(乙,1,2),(乙,1,3),(乙,2,3),(1,2,3),共 10 种选法;其中,甲、乙都入选的选法有 3 种,故所求概率310P.故答案为:310.解法二:解法二:从 5 名同学中随机选 3 名的方法数为35C10甲、乙都入选的方法数为13C3,所以甲、乙都入选的概率310P 故答案为:31015.过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_【答案】222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy【解析】【分析】法一:设圆的方程为220 xyDxEyF,根据所选点的坐标,得到方程组,解得即可;【详解】法
19、一法一:圆的一般方程:圆的一般方程依题意设圆的方程为220 xyDxEyF,(1)若过0,0,4,0,1,1,则016401 10FDFDEF,解得046FDE ,所以圆的方程为22460 xyxy,即222313xy;(2)若过0,0,4,0,4,2,则01640164420FDFDEF,解得042FDE ,所以圆的方程为22420 xyxy,即22215xy;(3)若过0,0,4,2,1,1,则01 10164420FDEFDEF,解得083143FDE ,所以圆的方程为22814033xyxy,即224765339xy;(4)若过1,1,4,0,4,2,则1 101640164420DE
20、FDFDEF,解得1651652FDE ,所以圆的方程为2216162055xyxy,即2281691525xy;故答案为:222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy 法二法二:【最优解】圆的标准方程【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)设0,04,01,14,2ABCD点,(1)若圆过、ABC三点,圆心在直线2x,设圆心坐标为(2,)a,则22249(1)3,45aaara,所以圆的方程为22(2)(3)13xy;(2)若圆过ABD、三点,设圆心坐标为(2,)a,则22244(2)14,5aaara,所以圆的方程为22(2)(1)5x
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