2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版).pdf

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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）数学（理）一、选择题1.设2()3()4 6zzz zi，则z(）A.12iB.12iC.1 iD.1 i答案：C解析：设zabi，则zabi，2()3()464 6zzzzabii，所以1a，1b，所以1zi.2.已知集合|21,Ss snnZ，|41,Tt tnnZ，则ST()A.B.SC.TD.Z答案：C解析：21sn，nZ；当2nk，kZ时，|41,Ss skkZ；当21nk，kZ时，|43,Ss skkZ.所以TS，STT.故选 C.3.已知命题:pxR sin1x；命题|:,1xqxR e，则下列命题中为真命题的是（）A

2、.pqB.pq C.pqD.()pq答案：A解析：根据正弦函数的值域sin 1,1x，故xR，sin1x，p为真命题，而函数|xyy e 为偶函数，且0 x 时，|1xy e，故xR，|1xy e恒成立.，则q也为真命题，所以pq为真，选 A.4.设函数1()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x B.1()1f x C.1()1f x D.1()1f x 答案：B解析：12()111xf xxx ，()f x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g xx为奇函数.5.在正方体1111ABCD ABCD中，P为1 1BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.2

3、B.3C.4D.6答案：D解析：如图，1PBC为直线PB与1AD所成角的平面角.易知11ABC为正三角形，又P为1 1AC中点，所以16PBC.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C解析：所求分配方案数为2454240C A.7.把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin()4yx的图像，则)(f x（）A.7sin()212xB.sin()212x

4、C.7sin(2)12xD.sin(2)12x答案：B解析：逆向：231sin()sin()sin()412212yxyxyx 左移横坐标变为原来的 倍.故选 B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.79B.2332C.932D.29答案：B解析：由题意记(0,1)x，(1,2)y，题目即求74xy的概率，绘图如下所示.故11331 112322441 1132ABCDAM ANSPS 阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标

5、杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（）A.表高 表距表高表目距的差B.表高 表距表高表目距的差C.表高 表距表距表目距的差D.表高 表距表距表目距的差答案：A解析：连接DF交AB于M，则ABAMBM.记BDM，BFM，则tantanMBMBMFMDDF.而tanFGGC，tanEDEH.所以11()()tantantantanMBMBGCEHGCEHMBMBMBFGEDED.故ED DFMBGCEH表高 表距表目距的差，所以高AB表高 表距表高表目距的差.10.设0a，若x a为函数2()()()f xa x

6、ax b的极大值点，则A.abB.abC.2abaD.2aba答案：D解析：若0a，其图像如图（1），此时，0ab；若0a，时图像如图（2），此时，0ba.综上，2aba.11.设B是椭圆C：22221(0)xyabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足，2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A.2,1)2B.1,1)2C.2(0,2D.1(0,2答案：C解析：由题意，点(0,)Bb，设00(,)P x y，则2222200002221(1)xyyxaabb，故22222222222000000022()(1)22ycPBxybaybybybyabbb，0,yb b.由题意，当0yb时，2PB

7、最大，则32bbc，22bc，222acc，22cca，2(0,2c.12.设2ln1.01a，ln1.02b，1.04 1c，则（）A.abcB.bca C.bacD.cab答案：B解析:设()ln(1)1 21f xxx，则(0.02)bcf，易得1212(1)()12 12(1)12xxfxxxxx.当0 x 时，21(1)12xxx，故()0fx.所以()fx在0,)上单调递减，所以(0.02)(0)0ff，故bc.再设()2ln(1)1 41g xxx，则(0.01)acg，易得2414(1)()212 14(1)14xxg xxxxx.当02x时，21 41 21xxxx，所以()

8、gx在0.2)上0.故()g x在0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0gg，故a c.综上，acb.二、填空题13.已知双曲线C：221(0)xymm的一条渐近线为30 x my，则C的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为byxa，由题意得2am，21b，且一条渐近线方程为3yxm，则有0m（舍去），3m，故焦距为24c.14.已知向量(1,3)a，(3,4)b，若()abb，则.答案：35解析：由题意得()0abb，即15250，解得35.15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b.答案：2 2解析：13sin324ABCSa

9、cBac，所以4ac，由余弦定理，222328bacacacacac，所以22b.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1），平面PAC 平面ABC，2PAPC，5BA BC，2AC，俯视图为.俯视图为，如图（2），PA平面ABC，1PA，5ACAB，2BC，俯视图为.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备

10、和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别己为21s和22S.（1）求x，y，21s，22s：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)。答案：见解析解析：（1）各项所求值如下所示.1(9.810.310.010.29.99.810.010.1 10.29.7)10.010 x，1(10.1 10.410.1 10.010.1 10.310.610.510.410.5)10.310y，22222211(9.710.0)2(9.810.0)(9.

11、910.0)2(10.010.0)(10.1 10.0)10s 222(10.2 10.0)(10.3 10.0)0.036，2222221(10.010.3)3(10.1 10.3)(10.310.3)2(10.410.3)10s 222(10.5 10.3)(10.6 10.3)0.04.（2）由（1）中数据得22120.3,20.3410ssyx.显然2212210ssyx.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC,M为BC的中点，且PBAM.（1）求BC；（2）求二面角A PM B的正弦值.答案：

12、见解析解析：（1）因为PD平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC.所以以DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设BCt，0(,0,)A t，0(,1,)B t，(,1,0)2tM，)(0,0,1P，所以(,1,1)PBt，(,1,0)2tAM 因为PBAM，所以21 02tPB AM 所以2t，所以2BC.(2)设 平 面APM的 一 个 法 向 量 为,)(,mx y z，由 于(2,0,1)AP ，则20202m APxzm AMxy .令2x，的(2,1,2)m.设平面PMB的一个法向量为(,)nx y z ，则2020n CBxn PBxyz

13、.令1y，的(0,1,1)n.所 以33 14cos,14|72m nm nmn ，所以二面角A PMNB的正弦值为7014.19.记nS为数列 na的前n项和，nb为数列 nS的前n项积，已知212nnSb.（1）证明：数列 nb是等差数列；（2）求 na的通项公式.答案：见解析解析：（1）由已知212nnSb，则1(2)nnnbS nb，1112112222(2)2nnnnnnnbbbbbnbb，132b，故 nb是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知312(1)222nnbn，则222221nnnSSnn，1n 时，1132aS，2n 时，12111(1)nnnnnaSS

14、nnn n，故3,121,2(1)nnann n.20.设函数()ln()f xax，已知0 x 是函数()yxf x的极值点.（1）求a；（2）设函数()()()xf xg xxf x，证明：()1g x.答案：见解析解析：（1）令()()ln()h xxf xxax则()ln()xh xaxax.0 x 是函数()yxf x的极值点.(0)0h.解得：1a；（2）由（1）可知：()ln(1)f xx()11()()()xf xg xxf xf xx，要证()1g x，即证111110()ln(1)xf xxxx（1x 且0 x）(1)ln(1)0ln(1)xxxxx.当0 x 时，ln(1

15、)0 xx.当01x时，ln(1)0 xx.只需证明(1)ln(1)0 xxx令()(1)ln(1)H xxxx，且易知(0)0H.则1()1 ln(1)(1)ln(1)1H xxxxx （i）当0 x 时，易得()0H x，则()H x在(,0)上单调递减，(0)0H，()(0)0H xH，得证.（ii）当01x时，易得()0H x，则()H x在(0,1)上单调递增.(0)0H，()(0)0H xH，得证.综上证得()1g x.21.已知抛物线C：22(0)xpy p的焦点为F，且F与圆M：22(4)1xy上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A

16、，B是切点，求PAB面积的最大值.答案：见解析解析：（1）焦点(0,)2pF到22(4)1xy的最短距离为342p，所以2p.（2）抛物线214yx，设11(,)A x y，22(,)B x y，00(,)P x y，得PAl：211111111111()2242yx xxyx xxx xy，PBl：2212yx xy，且22000815xyy，PAl，PBl都过点00(,)P x y，则010102021212yx xyyx xy，故ABl：0012yx xy，即0012yx xy，联立002124yx xyxy，得200240 xx xy，200416xy，所以22220000001416

17、444xABxyxxy，2002044PABxydx，所以220000114422PABPABSAB dxyxy332222000011(4)(1215)22xyyy.而0 5,3y ，故当05y 时，PABS达到最大，最大值为20 5.22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为)(2,1C，半径为1.（1）写出C的一个参数方程;（2）过点)(4,1F作C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C的参数方程为2cos1sinxy（为参数）（2）C的方程为22(2)(1)1xy当直线斜率不存在时，直线方程为4x，此时圆心到直线距离为

18、2r，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)yk x，化简为410kxyk，此时圆心(2,1)C到直线的距离为2|2141|11kkdrk，化简得22|1kk，两边平方有2241kk，所以33k .代入直线方程并化简得3340 xy或3340 xy化为极坐标方程为5cos3 sin43sin()436或cos3 sin43sin()436.23.已知函数()|3|f xxax.（1）当1a 时，求不等式()6f x 的解集；（2）若()f xa，求a的取值范围.答案：见解析解析：当1a 时，()6|1|3|6f xxx，当3x 时，不等式136xx，解得4x ；当31x 时，不等式136xx，解得x；当1x 时，不等式136xx，解得2x.综上，原不等式的解集为(,42,).（2）若()f xa，即min()f xa，因为()|3|()(3)|3|f xxaxxaxa（当且仅当()(3)0 xa x时，等号成立），所以min()|3|f xa，所以|3|aa，即3aa或3aa，解得3(,)2a.