微积分6省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

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1、第六章第六章 定积分定积分6.1 6.1 定积分概念和性质定积分概念和性质6.2 6.2 微积分基本定理微积分基本定理6.3 6.3 定积分换元积分法和分部积定积分换元积分法和分部积分法分法6.4 6.4 定积分应用定积分应用6.5 6.5 反常积分初步反常积分初步习题课习题课第第1页页16.1 6.1 定积分概念和性质定积分概念和性质一、问题提出一、问题提出二、定积分定义二、定积分定义三、函数可积几个定理三、函数可积几个定理四、定积分几何意义四、定积分几何意义五、定积分基本性质五、定积分基本性质六、小结六、小结 思索题思索题第第2页页2abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形面积）（求曲边梯形

2、面积）一、问题提出一、问题提出第第3页页3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，分得越细，矩形总面积越靠显然，小矩形越多，分得越细，矩形总面积越靠近曲边梯形面积近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）第第4页页4曲边梯形如图所表示，曲边梯形如图所表示，(1)分割分割(2)近似代替（以直代曲）近似代替（以直代曲）第第5页页5曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为(3)求和求和(4)取极限取极限第第6页页6实例实例2 2 （求变速直线运动旅程）（求变速直线运动旅程）思绪思绪：把整

3、段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上把变速看成是匀速，求出各小段旅程再相加，把变速看成是匀速，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值过程求得旅程准确值第第7页页7（1）分割）分割部分旅程值部分旅程值某时刻速度某时刻速度（3）求和）求和（4）取极限）取极限旅程准确值旅程准确值(2)近似代替（以不变代变）近似代替（以不变代变）第第8页页8二、定积分定义二、定积分定义定义定义6.1第第9页页9被被积积函函数数被被积积表表示示式式积积分分变变量量记为记为积分下限积分下限积分和积分和积分上限积

4、分上限第第10页页10注：注：（1）与不定积分不一样，定积分是个数。第第11页页11第第12页页12定理定理1 1（充分条件）（充分条件）定理定理2 2（充分条件）充分条件）三、函数可积几个定理三、函数可积几个定理定理定理3 3（必要条件）必要条件）第第13页页13曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积负曲边梯形面积负值值四、定积分几何意义四、定积分几何意义第第14页页14几何意义：几何意义：第第15页页15解解第第16页页16第第17页页17例例2.利用定积分几何意义，说明以下等式：利用定积分几何意义，说明以下等式：第第18页页18第第19页页19例例3.将和式极限：将和式极限：表示成定积分表

5、示成定积分.解解 原式原式第第20页页20五、定积分基本性质五、定积分基本性质性质性质6.16.1证证第第21页页21补充补充：不论：不论 相对位置怎样相对位置怎样,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间含有可加性）（定积分对于积分区间含有可加性）则则性质性质6.26.2第第22页页22证证命题命题性质性质6.36.3第第23页页23证证第第24页页24解解解解第第25页页25证证（此性质可用于预计积分值大致范围）（此性质可用于预计积分值大致范围）性质性质6.36.3推论：推论：第第26页页26解解第第27页页27解解第第28页页28第第29页页29证证性质性质6.46.4第第3

6、0页页30证证由闭区间上连续函数介值定理知由闭区间上连续函数介值定理知性质性质6.56.5（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式第第31页页31使使即即积分中值公式几何解释：积分中值公式几何解释：第第32页页32证证由积分中值定理知有由积分中值定理知有第第33页页33证证第第34页页34六、小结六、小结 思索题思索题定积分实质定积分实质：特殊和式极限：特殊和式极限定积分思想和方法：定积分思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限准确值准确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限第第35页页353定积分

7、性质定积分性质（注意单调性质、绝对值不等式、估值性质（注意单调性质、绝对值不等式、估值性质和积分中值定理应用）和积分中值定理应用）4经典问题经典问题（）预计积分值（）预计积分值（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小（3）积分中值定理常与介值定理和微分中）积分中值定理常与介值定理和微分中 值定理结合证实不等式和根问题值定理结合证实不等式和根问题.第第36页页36思索题思索题第第37页页37思索题答案思索题答案1.由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使第第38页页38例例第第39页页396.2 6.2 微积分基本定理微积分基本定理一、问题提出一、问题提出二、积分上限函数及其导数

8、二、积分上限函数及其导数三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式四、小结四、小结 思索题思索题第第40页页40变速直线运动中位置函数与速度函数联络变速直线运动中位置函数与速度函数联络变速直线运动中旅程为变速直线运动中旅程为另首先这段旅程可表示为另首先这段旅程可表示为一、问题提出一、问题提出第第41页页41考查定积分考查定积分记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数积分上限变量，在积分上限变量，在 上改变上改变积分变量，在积分变量，在 上改变上改变（变上限积分）（变上限积分）第第42页页42积分上限函数性质积分上限函数性质1：证证第第43页页43第第44页页4

9、4证证积分上限函数性质积分上限函数性质2：第第45页页45由积分中值定理得由积分中值定理得第第46页页46注注1：定理主要意义：定理主要意义：（1）必定了连续函数原函数是存在）必定了连续函数原函数是存在.（2）初步揭示了积分学中定积分与原函数之）初步揭示了积分学中定积分与原函数之 间联络间联络.故定理6.2又称原函数存在定理第第47页页47推论推论6.3证证第第48页页48例例1 1 求求解解注注2：求含有变限积分函数极限，若是：求含有变限积分函数极限，若是 型不定式，型不定式，应用洛必达法则应用洛必达法则.第第49页页49例例2 2 求求解解第第50页页50例例3 3 求求解解第第51页页5

10、1例例4 4 求求解解第第52页页52证证令令第第53页页53定理定理 6.36.3（微积分基本定理）（微积分基本定理）证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第第54页页54令令令令牛顿（牛顿（Newton）莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式或或 微积分基本公式微积分基本公式第第55页页55微积分基本原理表明：微积分基本原理表明：注注4求定积分问题转化为求原函数（求不定积分）求定积分问题转化为求原函数（求不定积分）问题问题.第第56页页56例例6 6 求求 原式原式解解例例7 7 求求 解解第第57页页57例例8 8 设设 ,求求 .解解第第58页页58例例9 9 求求 解解第第

11、59页页59例例10 10 求求 解解由图形可知由图形可知第第60页页60例例11 11 解解第第61页页613.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数2.积分上限函数导数积分上限函数导数四、小结四、小结 思索题思索题牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间关系间关系（）（）4.掌握分段函数定积分计算掌握分段函数定积分计算第第62页页62思索题思索题第第63页页63思索题答案思索题答案第第64页页64第第65页页656.3 6.3 定积分换元积分法定积分换元积分法与分部积分法与分部积分法一、定积分换元积分法一、定积分换元积分法二、定积分分

12、部积分法二、定积分分部积分法三、小结三、小结 思索题思索题第第66页页66定理定理6.4一、定积分换元积分法一、定积分换元积分法第第67页页67证证第第68页页68例例1 1 计算计算解解（法（法1）令）令 （法（法2）原式原式第第69页页69注注1：应用换元公式时应注意：应用换元公式时应注意:（1）（2）换元必换限换元必换限第第70页页70例例2 2 计算计算解解第第71页页71例例3 3 计算计算解解（法（法1）原式）原式第第72页页72（法（法2）令）令原式原式第第73页页73例例4 4 计算计算解解令令原式原式第第74页页74例例5 5 计算计算解解原式原式第第75页页75证证第第76

13、页页76第第77页页77奇函数奇函数例例7 7 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆面积单位圆面积第第78页页78例例8 8第第79页页79证证（1）设）设第第80页页80（2）设）设第第81页页81第第82页页82例例1010解解第第83页页83定积分分部积分公式定积分分部积分公式证证二、定积分分部积分法二、定积分分部积分法第第84页页84例例1111 计算计算解解第第85页页85例例1212 计算计算解解第第86页页86例例1313 设设 求求解解第第87页页87例例1414 求定积分求定积分解解第第88页页88当当n3时，用分部积分法建立递推公式时，用分部积分法建立递推公式第第89页页

14、89第第90页页90第第91页页912.奇偶函数和周期函数定积分公式及奇偶函数和周期函数定积分公式及1.定积分换元法（能用凑微分直接用）定积分换元法（能用凑微分直接用）三、小结三、小结3.定积分分部积分公式定积分分部积分公式（注意与不定积分分部积分法区分）（注意与不定积分分部积分法区分）第第92页页92思索题思索题第第93页页93解解第第94页页946.4 6.4 定积分应用定积分应用一、微元法一、微元法二、平面图形面积二、平面图形面积三、立体体积三、立体体积四、定积分在经济学简单应用四、定积分在经济学简单应用五、小结五、小结 思索题思索题第第95页页95一、微元法一、微元法第第96页页96微

15、元法普通步骤：微元法普通步骤：此法通常叫做此法通常叫做微元法（或元素法）微元法（或元素法）应用方向：应用方向：平面图形面积；体积；平面曲线弧长；平面图形面积；体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等第第97页页97二、平面图形面积二、平面图形面积仅讨论用定积分计算在直角坐标系下平面图形面积仅讨论用定积分计算在直角坐标系下平面图形面积.第第98页页98第第99页页99解解两曲线交点两曲线交点面积微元面积微元选选 为积分变量为积分变量第第100页页100解解两曲线交点两曲线交点选选 为积分变量为积分变量第第101页页101解解两曲线交点两曲线交点选选 为积分变量为积

16、分变量第第102页页102解解 由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍倍第一象限部分面积第一象限部分面积第第103页页103第第104页页104 设空间某立体由一曲面和垂直于设空间某立体由一曲面和垂直于 轴两平面轴两平面 围成围成.三、三、立体体积立体体积第第105页页105解解第第106页页106xyo旋转体体积为旋转体体积为第第107页页107第第108页页108第第109页页109解解第第110页页110解解第第111页页111第第112页页112四、定积分在经济学中简单应用四、定积分在经济学中简单应用第第113页页113解解第第114页页114第第115页页115第第116页页1

17、16解解第第117页页117第第118页页118解解第第119页页119（注意恰当（注意恰当选择积分选择积分变量变量有利于简化积分有利于简化积分运算）运算）三、小结三、小结微元法微元法平面图形面积平面图形面积立体体积立体体积定积分在经济学简单应用定积分在经济学简单应用第第120页页120思索题思索题第第121页页121思索题解答思索题解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导第第122页页122积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为第第123页页1236.5 6.5 反常积分初步反常积分初步一、无穷限积分一、无穷限积分二、瑕积分二、瑕积分三、函数与函数三、函数与函数四、小结四、小结 思索题思索

18、题第第124页页124一、无穷限积分一、无穷限积分第第125页页125第第126页页126第第127页页127例例1 1 计算无穷限积分计算无穷限积分解解第第128页页128第第129页页129第第130页页130例例2 2 计算无穷限积分计算无穷限积分解解第第131页页131证证第第132页页132证证第第133页页133第第134页页134发散注注第第135页页135二、瑕积分二、瑕积分第第136页页136第第137页页137第第138页页138第第139页页139例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解 （法（法1）第第140页页140第第141页页141证证第第142页页142例例9

19、9 计算瑕积分计算瑕积分解解瑕点瑕点第第143页页143例例1010 计算瑕积分计算瑕积分解解（注注：不能忽略内部瑕点而看成普通定积分来求）：不能忽略内部瑕点而看成普通定积分来求）第第144页页144例例1111 计算瑕积分计算瑕积分解解原式原式第第145页页145三、函数与函数三、函数与函数第第146页页146第第147页页147解解例例1212 计算计算第第148页页148第第149页页149瑕积分瑕积分无穷限积分无穷限积分三、小结三、小结（注注 不能忽略内部瑕点而看成普通不能忽略内部瑕点而看成普通 定积分来求）定积分来求）第第150页页150思索题思索题1、积分、积分 瑕点是哪几点？瑕点

20、是哪几点？2、计算反常积分计算反常积分第第151页页151思索题解答案思索题解答案1、积分积分 可能瑕点是可能瑕点是不是瑕点不是瑕点,瑕点是瑕点是第第152页页152习题课习题课基本内容基本内容经典例题经典例题第第153页页153问题问题1:1:曲边梯形面积曲边梯形面积问题问题2:2:变速直线运动旅程变速直线运动旅程定积分定积分应用应用广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分性性质质定定积积分分计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容换元和分部积分法换元和分部积分法第第154页页154例例1 1解解二、经典例题二、经典例题第第155页页155例例2 2解解第第15

21、6页页156例例3 3解解分析分析 为去绝对值，必须讨论为去绝对值，必须讨论t t第第157页页157例例4 4解解第第158页页158例例5 5解解第第159页页159例例6 6证证第第160页页160第第161页页161例例7 7解解第第162页页162例例8 8解解第第163页页163例例9 9解解第第164页页164例例1010解解第第165页页165例例1111证证作辅助函数作辅助函数第第166页页166第第167页页167例例1212解解第第168页页168例例1313证证第第169页页169第第170页页170第第171页页171解解第第172页页172第第173页页173例例1515解解第第174页页174解解例例1616第第175页页175例例1717解解（法（法1）第第176页页176法法2第第177页页177例例1818 计算反常积分计算反常积分解解原式原式第第178页页178原式原式第第179页页179