考点18解三角形应用举例 (3).docx

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1、 考点18 解三角形应用举例一、 解答题1.(2020全国卷高考文科T18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150.(1)若a=3c,b=27,求ABC的面积;(2)若sin A+3sin C=22,求C.【解题指南】(1)已知角B和b边,结合a,c的关系,由余弦定理建立关于c的方程,求解得出a,c,利用面积公式,即可得出结论;(2)将A=30-C代入已知等式,由两角差的正弦和辅助角公式,化简得出有关C的三角函数值,结合C的范围,即可求解.【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos 150,解得c=-2(舍去),c=2,从而a=23.ABC的面积为

2、12232sin 150=3;(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sin A+3sin C=sin(30-C)+3sin C=sin(30+C),故sin(30+C)=22.而0C30,所以30+C=45,故C=15.二. 填空题2.(2020全国卷高考理科T16)如图,在三棱锥PABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,ABAC,ABAD,CAE=30,则cosFCB=.【命题意图】本题考查利用余弦定理解三角形,考查计算能力,属于中等题.【解题指南】利用勾股定理计算出BC,BD,可得出BF,在ACE中,利用余弦定理可求得CE,可得出CF,然后在BCF中利用余弦定理可求得

3、cosFCB的值.【解析】因为ABAC,AB=3,AC=1,由勾股定理得BC=AB2+AC2=2,同理得BD=6,所以BF=BD=6,在ACE中,AC=1,AE=AD=3,CAE=30,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2ACAEcos30=1+3-21332=1,所以CF=CE=1,在BCF中,BC=2,BF=6,CF=1,由余弦定理得cosFCB=CF2+BC2-BF22CFBC=1+4-6212=-14.答案:-143.(2020新高考全国卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线B

4、C的切点,四边形DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=35,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为cm2.【命题意图】本题考查面积的求法,考查综合运用所学知识分析解决问题的能力和运算能力,体现了直观想象和逻辑推理等核心素养.【解析】由题意得A到DG的距离与A到FG的距离相等,均为5 cm,所以AOH=45,设O到DE的距离为5t cm,则由tanODC=35得点O到DG的距离为3t cm,则OAcos 45+5t=7,OAsin 45+3t=5,因此2t=2,t=1,OA=22,OH=4,所以图中

5、阴影部分的面积为12OA234+1242-12=52+4(cm2).答案:52+4二、 解答题4.(2020江苏高考T16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC的值.【命题意图】本题主要考查正余弦定理及两角和差公式的应用,考查学生解题的严谨性.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45=a2+c2-b22ac=11-b262=22,因此b2=5,即b=5,由正弦定理csinC=bsinB,得2sinC=522,因此sin C=55.(2)因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,因为ADC2,所以C0,2,所以cos C=1-sin2C=255,所以sinDAC=sin(-DAC)=sin(ADC+C)=sinADCcos C+cosADCsin C=2525,因为DAC0,2,所以cosDAC=1-sin2DAC=11525,故tanDAC=sinDACcosDAC=211.