考点52 不等式选讲 (4).docx

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1、 考点52 不等式选讲一、解答题1.(2019全国卷理科T23同2019全国卷文科T23)已知a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2.(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.【命题意图】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题,考查学生对于基本不等式的变形和应用能力,需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.【解题指南】(1)利用abc=1将所证不等式可变为证明:a2+b2+c2bc+ac+ab,利用基本不等式可证得2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac,从而得到结论.(2)利用基本不等式可得a+b3+b+c3+c+a3

2、3a+bb+cc+a,再次利用基本不等式可转化为a+b3+b+c3+c+a324abc2,在取等条件一致的情况下,可得结论.【解析】(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.当且仅当a=b=c时,取等号.所以1a+1b+1ca2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.当且仅当a=b=c时,取等号.所以(a+b)

3、3+(b+c)3+(c+a)324.2.(2019全国卷理科T23同2019全国卷文科T23)选修4-5:不等式选讲(10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集.(2)若x(-,1)时,f(x)0,求a的取值范围.【命题意图】考查不等式的求解以及利用不等式求参数的范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时,f(x)=-2(x-1)20;当x1时,f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1.当a1,x(-,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)2.【命题意图】本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.【解析】当x2,解得x2,即x12时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1.综上,原不等式的解集为xx1.