考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积.doc

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1、 考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题 1.(2018全国卷I高考理科T7) 同(2018全国卷I高考文科T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2【解析】选B.将三视图还原为圆柱,M,N的位置如图1所示,将侧面展开,最短路径为M,N连线的距离,所以MN=2.2.(2018全国卷I高考文科T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面

2、积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12B.12C.8D.10【解析】选B.截面面积为8,所以高h=2,底面半径r=,所以该圆柱表面积S=()22+22=12.3.(2018全国卷I高考文科T10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.6C.8D.8【解析】选C.如图,连接AC1和BC1,因为AB平面BB1C1C,AC1与平面BB1C1C所成角为30,所以AC1B=30,所以=tan30,BC1=2,所以CC1=2,所以V=222=8.4.(2018全国高考理科T3)同(2018全国高考文科T3)中国

3、古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【命题意图】本题考查几何体的三视图,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.【解析】选A.由直观图可知选A.5.(2018全国高考理科T10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观

4、想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选B.设ABC的边长为a,则SABC=a2sinC=a2=9,解得a=6,如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=6=2,OA=R=4,则OH=2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=SABCDH=96=18.6.(2018北京高考理科T5)同 (2018北京高考文科T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图,意在考查三视图与直观

5、图的转化,培养学生的空间想象能力,体现了直观想象的数学素养.【解析】选C.将四棱锥三视图转化为直观图,如图,侧面共有4个三角形,即PAB,PBC,PCD,PAD,由已知,PD平面ABCD,又AD平面ABCD,所以PDAD,同理PDCD,PDAB,所以PCD,PAD是直角三角形.因为ABAD,PDAB,PD,AD平面PAD,PDAD=D,所以AB平面PAD,又PA平面PAD,所以ABPA,PAB是直角三角形.因为AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA=2,PC=2,PB=3,在梯形ABCD中,易知BC=,PBC三条边长为2,3,PBC不是直角三角形.综上,侧面中直角三角形个数为3.7.

6、(2018浙江高考T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8【命题意图】考查由三视图还原几何体的能力及空间几何体的体积.【解析】选C.由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,底面面积S=3,高h=2,所以V=Sh=6.8.(2018全国高考文科T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的

7、核心素养.试题难度:中.【解析】选B.设ABC的边长为a,则SABC=a2sinC=a2=9,解得a=6,如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=6=2,OA=R=4,则OH=2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=SABCDH=96=18.二、填空题9.(2018全国卷II高考理科T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.【命题意图】本题考查空间几何体的表面积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有

8、关知识.【解析】如图:设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45,所以l=r,在SAB中,AB2=SA2+SB2-2SASBcosASB=r2,AB=r,AB边上的高为=r,SAB的面积为5,所以rr=5,解得r=2,所以该圆锥的侧面积为rl=r2=40.答案:4010.(2018全国卷II高考文科T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30,若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.【命题意图】本题考查空间几何体的体积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.【解析】设底面圆的半径为r,底面圆心为O,因为SA与圆锥底面所成角为30,所

9、以SA=,SO=r,又直角SAB的面积为8,所以=8,解得r=2.所以V=r2SO=(2)22=8.答案:811.(2018天津高考理科T11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解析】依题意得:该四棱锥M-EFGH为正四棱锥,其高为正方体棱长的一半,即为,正方形EFGH的边长为,其面积为,所以四棱锥M-EFGH的体积VM-EFGH=Sh=.答案:12.(2018天津高考文科T

10、11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解题指南】依据题设条件,先找到四棱锥的高和底,利用体积公式即可求解.【解析】连接A1C1,交B1D1于O1点,依题意得A1O1平面BB1D1D,即A1O1为四棱锥A1-BB1D1D的高,且A1O1=,而四棱锥A1-BB1D1D的底面为矩形,其面积为,所以四棱锥A1-BB1D1D的体积V=Sh=.答案:13.(2018江苏高考T10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.【解析】平面ABCD将多面体分成了两个以为底面边长,高为1的正四棱锥,所以其体积为12=.答案: