考点40 直线与圆锥曲线的位置关系.doc

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1、 考点40直线与圆锥曲线的位置关系一、 解答题1.(12分)(2018全国卷I高考理科T19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.【解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.代入+y2=1可得,点A的坐标为或.所以直线AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)当l与x轴重合时,OMA=OMB=0.当l与x轴垂直时,OM为线段AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2

2、),则x1,x20,x20.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=.将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.3.(2018全国卷II高考理科T19)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与

3、圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11

4、)2+(y+6)2=144.4.(2018全国卷II高考文科T20)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.

5、由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.5.(2018全国高考理科T20)(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M.(1)证明:k-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:,成等差数列,并求该数列的公差.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,考查推理

6、论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0且k2+(2k-4)+10,即k1,且k-3,且k1,所以kb0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|AB|=6.()求椭圆的方

7、程.()设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sinAOQ(O为原点),求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.【解析】()设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.()设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.又

8、因为|AQ|=,而OAB=,故|AQ|=y2.由=sinAOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以,k的值为或.8.(本小题满分14分)(2018天津高考文科T19)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.()求椭圆的方程;()设直线l:y=kx(kx10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-

9、x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9b0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则+=3,所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.由消去y,得(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x

10、0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y00,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).因为三角形OAB的面积为,所以ABOP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=.因为+=3,所以AB2=,即2-45+100=0,解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为y=-x+3.10.(2018浙江高考T21)(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.()设AB中点为M,证明:

11、PM垂直于y轴.()若P是半椭圆x2+=1(x0)上的动点,求PAB面积的取值范围.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】()设P(x0,y0),A,B.因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程=4即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0.因此,PM垂直于y轴.()由()可知所以|PM|=(+)-x0=-3x0,|y1-y2|=2.因此,PAB的面积SPAB=|PM|y1-y2|=(-4x0.因为+=1(x00),所以-4x0=-4-4x0+44,5.因此,PAB面积的取值范围是.