考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例 (3).docx

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1、 考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例一、 选择题1.(2020全国卷理科T6)已知向量a,b满足a=5,b=6,ab=-6,则cos=()A.-1335B.-1935C.1735D.1935【命题意图】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.【解析】选D.由a(a+b)=a2+ab=25-6=19,又a+b=a2+2ab+b2=7,所以cos=a(a+b)aa+b=1957=1935.2.(2020全国卷文科T6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【命题

2、意图】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算,轨迹方程的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【解析】选A.设AB=2aa0,以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则:A-a,0,Ba,0,设Cx,y,可得:=x+a,y,=x-a,y,从而:=x+ax-a+y2,结合题意可得:x+ax-a+y2=1,整理可得:x2+y2=a2+1,即点C的轨迹是以AB中点为圆心,a2+1为半径的圆.3.(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)【命题意图】本题考查向量的坐标

3、运算,考查数形结合思想和运算能力,体现了直观想象和逻辑推理等核心素养.【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1x3,所以-26.【方法技巧】向量的数量积运算有两种:一种是利用向量的加法和减法直接用向量数量积的定义;一种是利用向量的坐标运算;当图形较为特殊时,一般建立坐标系用坐标运算.二、填空题4.(2020全国卷高考文科T14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.【命题意图】该题考查的是有关向量的问题,涉及的知识点有向量

4、垂直的坐标表示,属于基础题目.【解题指南】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.【解析】由ab可得ab=0,又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,即m=5.答案:55.(2020全国卷文科T5)已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b【命题意图】本题考查平面向量数量积的定义及运算性质、两个平面向量互相垂直的条件,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选D.由已知可得:ab=abcos60=1112=12.A:因为(a+2b)b=

5、ab+2b2=12+21=520,所以本选项不符合题意;B:因为(2a+b)b=2ab+b2=212+1=20,所以本选项不符合题意;C:因为(a-2b)b=ab-2b2=12-21=-320,所以本选项不符合题意;D:因为(2a-b)b=2ab-b2=212-1=0,所以本选项符合题意6.(2020全国卷理科T13) 已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=【命题意图】本题考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【解析】由题意可得:ab=11cos 45=22,由向量垂直的充要条件可得(ka-b)a=0,即:ka2-

6、ab=k-22=0,解得k=22.答案:227.(2020北京高考T13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=12(+),则|=;=.【命题意图】考查平面向量的加法、模、数量积等.【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),|=5,又=(0,-1),所以=-1.答案:5-1检索号14,168.(2020北京高考T14)若函数f(x)=sin(x+)+cos x的最大值为2,则常数的一个取值为.【命题意图】考查三角函数的图象与性质,三角恒等变换.【解析】因为f(x)的最大值为2,说明s

7、in(x+)和cos x可同时取得最大值1,可知sin(x+)=cos x,所以可以为2+2k,kZ.答案:2(答案不唯一)9.(2020天津高考T15)如图,在四边形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且=,=-32,则实数的值为,若M,N是线段BC上的动点,且|=1,则的最小值为.【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.【解题指南】由题可得BAD=120,利用平面向量数量积的定义求得的值,然后以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设点M(x,0),则点N(x+1,0)(其中0x5),得出关于x的函数表达

8、式,利用二次函数的性质求得的最小值.【解析】因为=,所以ADBC,所以BAD=180-ABC=120,=cos 120=63-12=-9=-32,解得=16.以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为BC=6,所以C(6,0),因为AB=3,ABC=60,所以A的坐标为32,332,又因为=16,则D52,332,设Mx,0,则Nx+1,0(其中0x5),=x-52,-332,=x-32,-332,=x-52x-32+-3322=x2-4x+212=x-22+132,所以当x=2时,取得最小值132.答案:16 13210.(2020浙江高考T17)设e1,e2为单

9、位向量,满足|2e1-e2|2,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为,则cos2的最小值为.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积及其运算律,考查化归与转化的能力,体现了逻辑推理与数学运算等核心素养.【解析】(ab)2=|a|2|b|2cos2=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2=(2+2e1e2)(10+6e1e2)cos2=(e1+e2)(3e1+e2)2=(3e21+e22+4e1e2)2=(4+4e1e2)2,所以cos2=(4+4e1e2)2(2+2e1e2)(10+6e1e2)=16(1+e1e2)22(1+e1e2)(10+6e1e2)=8(1+e1e2)10+6e1e2(10+6e1e2)cos2=8(1+e1e2),(6cos2-8)e1e2=8-10cos2,又因为4e12+e22-4e1e22,5-4e1e22,所以e1e234,所以e1e2=8-10cos26cos2-834,8-10cos26cos2-8-340,29cos2-284(3cos2-4)0,2829cos243,所以cos2的最小值为2829.答案:2829