考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 (3).docx

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1、 考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2020全国卷高考文科T6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本题考查圆的简单几何性质,以及几何法求弦长,属于基础题.【解题指南】根据直线和圆心与点(1,2)连线垂直时,所求的弦长最短,即可得出结论.【解析】选B.圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9,设圆心为C,所以圆心C的坐标为C(3,0),半径为3,设P(1,2),易知点P在圆内部,当过点P的直线和直线CP垂直时,圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短,根据弦长公式最小值为

2、29-|CP|2=29-8=2.2.(2020全国卷高考理科T11)已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0【命题意图】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题.【解题指南】由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且ABMP,根据PMAB=2SPAM=2PA可知,当MPl时,PMAB最

3、小,求出以MP为直径的圆的方程,根据圆的知识即可求出直线AB的方程.【解析】选D.圆的方程可化为x-12+y-12=4,点M到直线l的距离为d=21+1+222+12=52,所以直线l与圆相离.依圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且ABMP,所以PMAB=2SPAM=212PAAM=2PA,而PA=MP2-4,当MPl时,MPmin=5,PAmin=1,此时PMAB最小.所以MP:y-1=12x-1即y=12x+12,由y=12x+122x+y+2=0,解得x=-1y=0.得P(-1,0)所以以MP为直径的圆的方程为x2+y2-y-1=0,两圆的方程相减可得:2x+y+1=0,即为直线AB

4、的方程.3. （2020全国卷文科T5) 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A.55B.255C.355D.455 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式和点到直线的距离公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选B.因为已知圆与两坐标轴都相切,所以可设圆心坐标为a,a(a0),则半径为a,由此圆过点(2,1)得,a-22+a-12=a2,解得a=1或5,所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),圆心到直线2x-y-3=0的距离都是255.4.(2020全国卷理科T5) 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0

5、的距离为()A.55B.255C.355D.455 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式和点到直线的距离公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选B.因为已知圆与两坐标轴都相切,所以可设圆心坐标为a,a(a0),则半径为a,由此圆过点(2,1)得,a-22+a-12=a2,解得a=1或5,所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),圆心到直线2x-y-3=0的距离都是255.5.(2020全国卷文科T8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.2【命题意图】该题考查的是有关解析几何初步的问题,涉及的知识点有直线过定点问题,利用几何性质是

6、解题的关键.【解析】选B.由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)距离最大,即为|AP|=2.6.(2020北京高考T5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7【命题意图】考查点与圆的位置关系,两点间距离,最值问题等.【解析】选A.由题意,圆心到点(3,4)的距离为1,所以圆心到原点的距离的最小值为32+42-1=4.二、 填空题(2020天津高考T12)已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.【

7、命题意图】本题主要考查圆的弦长问题,涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式,属于基础题.【解题指南】根据圆的方程得到圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d,进而利用弦长公式|AB|=2r2-d2,即可求得r.【解析】因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=4,由|AB|=2r2-d2可得6=2r2-42,解得r=5.答案:57.(2020浙江高考T15)设直线l:y=kx+b(k0),圆C1:x2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=1,若直线l与C1,C2都相切,则k=;b=.【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查运算求解能力,体现直观想象与

8、数学运算等核心素养.【解析】由题意作图如下:易知直线l经过(2,0),所以,b=-2k,l:y=kx-2k,由直线与圆相切得,(0,0)到直线的距离为半径,d=2kk2+1=1,解得k=33,b=-233.答案:33-2338.(2020江苏高考T14)在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满足PA=PB,则PAB面积的最大值是.【命题意图】本题主要考查直线与圆相交问题,通过设圆心角表示面积,利用导数求最值.突出考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:如图,作PC所在直径EF,交AB于点D,因为PA=PB,CA=CB=R=6,所以PCAB.

9、要使面积SPAB最大,则P,D位于C的两侧,并设CD=x,计算可知PC=1,故PD=1+x,AB=2BD=236-x2,故SPAB=12ABPD=(1+x)36-x2,设BCD=,则x=6cos ,SPAB=(1+x)36-x2=(1+6cos )6sin =6sin +18sin 2,02,记函数f()=6sin +18sin 2,则f()=6cos +36cos 2=6(12cos2+cos -6),令f()=6(12cos2+cos -6)=0,解得cos =23(cos =-340舍去),显然,当0cos 23时,f()0,f()单调递减;当23cos 0,f()单调递增;结合cos 在0,2上单调递减,故cos =23时,f()最大,此时sin =1-cos2=53,故f()max=653+365323=105,即PAB面积的最大值是105.方法二:由已知PC=1,设12ACB=0,2,则PAB的面积S=126cos+112sin =6sin (6cos +1),令S=6(12cos2+cos -6)=6(4cos +3)(3cos -2)=0,解得cos 0=23(负值舍去),所以S在0,0上单调递增,在0,2上单调递减,所以Smax=6535=105.答案:105