考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性 (2).docx

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1、考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性1. (2021全国甲卷T4)下列函数是增函数的为()A.f(x)=-x B.f(x)=23x C.f(x)=x2D.f(x)=3x【命题意图】本题考查函数单调性定义以及基本初等函数的单调性的判断.【解析】选D. 因为f(x)=-x在其定义域上为减函数,所以选项A错误;由指数函数的性质可知:f(x)=23x在其定义域上为减函数,所以选项B错误;由二次函数的性质可知,f(x)=x2在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增, 所以选项C错误;由幂函数的性质可知:f(x)=3x在其定义域上为增函数,所以选项D正确.2.(2021全国甲卷T12)设

2、函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x1,2时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-94 B.-32 C.74 D.52【命题意图】本题考查函数的概念及其性质,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.【解析】选D.因为f(x+1)为奇函数,所以f(x)关于(1,0)中心对称,所以f(1)=0.因为f(x+2)为偶函数,故f(x)关于x=2轴对称,周期为4,所以f(0)=-f(2),f(3)=f(1),即f(1)-f(2)=6,f(2)=-6.a+b=04a+b=-6,所以a=-2b=2,故f(92)=f(12)=-f(32)=-

3、(-294+2)=52.3.(2021全国甲卷T12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x),若f-13=13,则f53=()A.-53B.-13C.13D.53【命题意图】本题考查函数的概念及性质,函数的奇偶性,考查考生的逻辑推理能力,运算求解能力.【解析】选C.f53=f1+23=f-23=-f23=-f1-13=-f13=f-13=13.4.(2021全国乙卷理科T4)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1【命题意图】本题考查函数的奇偶性,突出考查奇函数的性质.【解析】

4、选B.f(x)=-1+2x+1关于(-1,-1)中心对称,向右平移1个单位,向上平移1个单位后关于(0,0)中心对称,所以y=f(x-1)+1为奇函数.5.(2021北京新高考T3)已知f(x)是定义在0,1上的函数,那么“函数f(x)在0,1上单调递增”是“函数f(x)在0,1上的最大值为f(1)”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查充分、必要条件,函数单调性、最值等性质,意在考查考生的化归与转化思想,逻辑推理素养.【解析】选A.若函数f(x)在0,1上单调递增，则f(x)max=f(1),若f(x)在0,1上最大值为f(

5、1),找反例,开口向上、对称轴为x=14的二次函数,可知函数f(x)在0,1不单调递增.6.(2021北京新高考T7)函数f(x)=cos x-cos 2x,试判断函数的奇偶性及最大值()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98【命题意图】本题考查三角恒等变换,三角函数奇偶性、最值等性质,意在考查考生的数学运算、逻辑推理素养.【解析】选D.因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,因为f(x)=cosx-(2cos2x-1)=-2cos2x+cosx+1=-2(cos x-14)2+98，故cos x=14时f(x)最大值为98. 7.

6、(2021新高考II卷T8)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则()A.f-12=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0【命题意图】本题考查函数的基本性质,意在考查逻辑推理能力.【解析】选B.因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.8.(2021新高考I卷T13)已知函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,则a=.【命题意图】本题主要考查函数的基本性质,旨在考查数学抽象与数学运算的核心素养.【解析】设g(x)=a2x-2-x,由已知得g(x)为奇函数,则g(0)= a20-2-0=a-1=0,因此a=1.答案:1