第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系.doc

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1、 第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.位置关系相离相切相交图形量化方程观点0几何观点drdrdr1r2d|r1r2|r1r2|d0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1，解得t或t(舍去)，所以公切线l3的方程为yx，即3x4y50.综上，所求直线方程为x1或7x24

2、y250或3x4y50.若点A，B为两定点，动点P满足|PA|PB|，则1时，动点P的轨迹为直线；当0且1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆.例 (1)已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹方程.解如图所示，设动点M(x，y)，连接MO，MA，有|MA|2|MO|，即2，化简得x2y22x30，即(x1)2y24，则方程即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.解点

3、C在直线l：y2x4上，故设C的坐标为(a，2a4).因为半径r11，所以圆C的方程是(xa)2y(2a4)21.设点M(x，y)，则由|MA|2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，即2，化简整理得x2(y1)24.所以点M(x，y)在以D(0，1)为圆心，r22为半径的圆上.又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1r2|DC|r1r2|，即15a212a99，解得0a.即a的取值范围是.训练 (1)已知平面直角坐标系中，A(2，0)，B(2，0)，则满足|PA|2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为_.答案解析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，整理得y2，所以点P

4、的轨迹的圆心坐标为.(2)(2023盐城质检)已知圆O：x2y21和点A，若定点B(b，0)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|MA|，则_，MAB面积的最大值为_.答案2解析设点M(x，y)，由|MB|MA|，得(xb)2y22，整理得x2y2x0，所以解得如图所示，SMAB|AB|yM|，由图可知，当|yM|1，即M的坐标为(0，1)或(0，1)时，SMAB取得最大值，故MAB的面积的最大值为1.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定答案A解析由题意，知圆心(0，1)到直线l的距离d1

5、，故直线l与圆相交.2.(2023武汉模拟)若圆C：x2y22x2y2与直线xya0有公共点，则a的取值范围是()A.22，22 B.22，22)C.(22，22) D.22，2答案A解析由圆的方程可得圆心为C(1，1)，半径r2，因为直线与圆C有交点，所以圆心C到直线xya0的距离d小于等于半径，即d2，解得22a22.3.(2023石家庄调研)已知圆O1：(x1)2(y2)29，圆O2：(x2)2(y1)216，则这两个圆的位置关系为()A.外离 B.外切 C.相交 D.内含答案C解析根据题意得圆O1的圆心为O1(1，2)，半径为3，圆O2的圆心为O2(2，1)，半径为4，圆心距|O1O2

6、|，因为4343，所以两圆相交.4.圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C解析圆的方程可化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线的距离d，半径是2，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.5.(2023济南联考)圆x2(y2)24与圆x22mxy2m210至少有三条公切线，则m的取值范围是()A.(，B.，)C.，D.(，)答案D解析由x2(y2)24，可得圆心坐标为(0，2)，半径为2.由x22mxy2m210得(xm)2y21，则圆心坐标为(m，0)，半径为1.因为两圆至少有三条公切线，所以两圆外切或相离，所以3，解得

7、m或m.6.(2023临沂一模)已知圆C：(x3)2(y3)2R2(R0)，点A(0，2)，B(2，0)，则“R28”是“直线AB与圆C有公共点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案A解析因为A(0，2)，B(2，0)，所以直线AB的方程为1，即xy20.圆C：(x3)2(y3)2R2的圆心为(3，3)，半径为R，所以圆心到直线AB的距离d2.当R28，即R2时，dR，直线AB与圆C相交，故充分性成立；当直线AB与圆C有公共点时，dR，则R28，故必要性不成立.综上，“R28”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.7.(2023青岛模拟

8、)已知圆O：x2y24，点P(1，1)，圆O内过点P的最长弦为AB，最短弦为CD，则()的值为()A.2 B.4 C.8 D.16答案C解析由题知线段AB为圆O的直径，不妨设A(，)，B(，)，过点P的最短弦CD是垂直于AB的弦，不妨设C(0，2)，D(2，0)，则()(22，22)(2，2)44448.8.(2023杭州模拟)若圆C：x2y22x4y10的弦MN的中点为A(2，3)，则直线MN的方程是_.答案xy50解析由题意得圆C：(x1)2(y2)24的圆心为C(1，2)，则kAC1，故kMN1，所以所求方程为y3x2，即xy50.9.若一条光线从点A(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x

9、3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_.答案或解析点A(2，3)关于y轴的对称点为A(2，3)，故可设反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，化为kxy2k30，反射光线与圆(x3)2(y2)21相切，圆心(3，2)到直线的距离d1.化为24k250k240，k或.10.(2023苏北四市模拟)过点P(1，1)作圆C：x2y22的切线交坐标轴于点A，B，则_.答案2解析12122，点P在圆C上，PCAB.kCP1，直线AB的斜率kAB1，直线AB的方程为y1(x1)，即xy20.不妨设直线AB与x轴交点为A，与y轴交点为B，得点A(2，0)，B(0，2)，(1，1)，(1，1)，

10、112.11.已知圆C：x2y26x8y210，直线l过点A(1，0).(1)求圆C的圆心坐标及半径长；(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.解圆C的方程为(x3)2(y4)222.(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径长是2.(2)当直线l的斜率不存在，即其方程是x1，满足题意.当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是yk(x1)，即kxyk0.由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，即2，解得k，此时直线l的方程是3x4y30.综上，直线l的方程是x1或3x4y30.(3)由(2)得直线l的方程是3x4y30.圆C的圆心是

11、点C(3，4)，则|AC|2，所以|AB|4.12.已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)设直线l与圆C交于不同两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)若定点P(1，1)分弦AB为APPB12，求此时直线l的方程.解(1)直线l：mxy1m0变形为m(x1)y10，可知直线l恒过点(1，1)，由圆C的方程可知圆心C(0，1)，过C作CMl于M，可知M为线段AB的中点，设M(x，y)，则有x2(y1)2(x1)2(y1)212，化简得x2y2x2y10，点(1，1)也满足此方程，故M的轨迹方程为x2y2x2y10.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由APPB12

12、，得1x1(x21)，化简得x232x1，又由消去y得(1m2)x22m2xm250，x1x2，由解得x1，代入式，解得m1，直线l的方程为xy0或xy20.【B级能力提升】13.(2023烟台模拟)过直线xym0上一点P作圆M：(x2)2(y3)21的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为()A.5m3 B.3m5C.m5或m3 D.m3或m5答案A解析A，B两点分别为圆M的切点，PAM与PBM是全等的直角三角形，由题知圆M的圆心为(2，3)，半径为1，则四边形PAMB的面积为2SPAM21|PA|，即|PA|，故|PM|2.使得四边形PA

13、MB的面积为的点P有两个，则M到xym0的距离d2，5m3.14.(多选)(2023福州质检)已知O为坐标原点，圆：(xcos )2(ysin )21，则下列结论正确的是()A.圆恒过原点OB.圆与圆x2y24内切C.直线xy被圆所截得弦长的最大值为D.直线xcos ysin 0与圆相离答案ABC解析对于A，将O(0，0)代入圆的方程，得cos2sin21恒成立，所以圆恒过原点O，A正确；对于B，圆的圆心为A(cos ，sin )，半径为1，圆x2y24的圆心为B(0，0)，半径为2，所以|AB|121，所以圆与圆x2y24内切，B正确；对于C，点A(cos ，sin )到直线xy的距离为si

14、n，所以直线xy被圆所截得弦长为22，C正确；对于D，点A(cos ，sin )到直线xcos ysin 0的距离为|cos()|1，所以直线xcos ysin 0与圆相交或相切，D错误.15.(多选)(2023长沙一模)已知圆C：x2y24y30，一条光线从点P(2，1)射出经x轴反射，下列结论正确的是()A.圆C关于x轴的对称圆的方程为x2y24y30B. 若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x2y40C.若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|BA|2D.若反射光线与圆C交于M，N两点，则CNM面积的最大值为答案ABD解析将圆C的方程化为标准方程得x2(y

15、2)21，则圆C的圆心为C(0，2)，半径为1.对于A，因为C(0，2)关于x轴的对称点为C(0，2)，所以圆C关于x轴对称的圆的方程为x2(y2)21，即x2y24y30，故A正确；对于B，因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心C(0，2)，所以入射光线所在的直线过点(0，2)，所以入射光线所在直线的方程为y2x，即3x2y40，故B正确；对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点P(2，1)，所以|PB|BA|PB|BA|PA|.因为|PA|2，所以|PB|BA|2，故C错误；对于D，设CMN，则圆心C(0，2)到直线PN的距离dsin ，且|MN|2cos ，所以SCMNd|MN

16、|sin cos sin 2，当sin 21，即时，CNM面积取得最大值，故D正确.16.(2023广州质检)已知点E与两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离的比为.(1)记点E的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程；(2)过点G(2，3)作两条与曲线C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程；(3)若与直线l1：yx2垂直的直线l与曲线C交于不同的两点P，Q，若POQ为钝角，求直线l在y轴上的截距的取值范围.解(1)设点E的坐标为(x，y).由，得.整理得3x23y2120，所以曲线C的轨迹方程是x2y24.(2)过点G(2，3)作两条与曲线C相切的直线，连接OG，OM.由题意知|OG|

17、，|GM|3，所以以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程为(x2)2(y3)29，又圆C的方程为x2y24，由，得直线MN的方程是2x3y40.(3)设直线l的方程为yxb，联立x2y24，得2x22bxb240，设直线l与圆C的交点P(x1，y1)，Q(x2，y2).由(2b)28(b24)0，得b28，x1x2b，x1x2.因为POQ为钝角，所以0，即x1x2y1y20，且与不是反向共线.又y1x1b，y2x2b，所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b20，又因为x1x2b，x1x2，所以x1x2y1y2b24b2b20，得b24，即2b2.当与反向共线时，直线yxb过原点.此时b0，不满足题意.故直线l在y轴上的截距的取值范围是2b2，且b0.