第三章3.1.2第2课时　椭圆方程及性质的应用.docx

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1、 第三章3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用【素养导引】1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(数学运算、数学建模、逻辑推理)2.掌握直线与椭圆位置关系的判定方法.(数学运算、逻辑推理)一、点与椭圆的位置关系设点P(x0,y0),椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),则点P在椭圆上x02a2+y02b2=1;点P在椭圆内部x02a2+y02b21.二、直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的位置关系:联立y=kx+m,x2a2+y2b2=1,消去y得一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值

2、相交两解0相切一解=0相离无解0,所以直线与椭圆相交.2.(教材改编题)若点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是_.【解析】因为点A在椭圆内部,所以a24+121,所以a22,所以-2ab0),因为BF1F1F2,|F1B|=53,|F1F2|=4,所以在RtBF1F2中,|BF2|=|BF1|2+|F1F2|2=133,故2a=|F1B|+|F2B|=6,a=3,又2c=|F1F2|=4,c=2,所以b2=a2-c2=5,所求的椭圆方程为x29+y25=1.(2)因为点P在椭圆上,|PF1|+|PF2|=2a=6,又F1PF2=90,即F1PF2为直角三角形,所以|F

3、1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=16,有|PF1|+|PF2|=6|PF1|2+|PF2|2=16,即可得|PF1|PF2|=10,故F1PF2的面积为12|PF1|PF2|=5.【思维提升】关于椭圆方程的实际应用(1)根据轨迹焦点、中心等条件建立坐标系,使求出的椭圆方程为标准形式;(2)求出a,b并写出椭圆的方程,利用方程解决实际问题.提醒:方程中变量的范围要根据实际问题确定.【即学即练】航天器的轨道有很多种,其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离

4、为n,设地球的半径为r,试用m,n,r表示出地球同步转移轨道的方程.【解析】设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,依题意可知a-c=n+r,a+c=m+r,解得a=n+m+2r2,c=m-n2,不妨令地球同步转移轨道的焦点在x轴上,所以地球同步转移轨道的方程为x2(n+m+2r2)2+y2(m+r)(n+r)=1.学习任务二直线与椭圆的位置关系(数学运算、逻辑推理)【典例2】已知直线l:y=2x+m,椭圆C:x24+y22=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点.(2)有且只有一个公共点.(3)没有公共点.【解析】直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组y=2x+m,x24

5、+y22=1,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,关于x的一元二次方程的判别式=(8m)2-49(2m2-4)=-8m2+144.(1)由0,得-32m32.所以当-32m32时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.(2)由=0,得m=32.也就是当m=32时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)由0,得m32.从而当m32时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.【思维提升】直线与椭圆的位置关系直线

6、y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的位置关系,判断方法:(1)联立y=kx+m,x2a2+y2b2=1,消y得一元二次方程(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.(2)计算=4a2b2(a2k2-m2+b2),当0时,方程有两解,直线与椭圆相交;当=0时,方程有一解,直线与椭圆相切;当0时,方程无解,直线与椭圆相离.提醒:设直线方程时要考虑直线斜率不存在的情况.【即学即练】1.已知直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则实数m的取值范围为()A.m|m1B.m|m1或0m1C.m|m1且m5D.m|0m2,则椭圆方程为x2a2+y2a2-4=

7、1.由x2a2+y2a2-4=1x+3y+4=0,可得(4a2-12)y2+83(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0,因为直线与椭圆只有一个交点,则=0,即192(a2-4)2-16(a2-3)(16-a2)(a2-4)=0.解得a=0或a=2或a=7,又由a2,所以a=7,所以长轴长2a=27.学习任务三与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例3】(2021北京高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为45.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB交y=-

8、3于点M,直线AC交y=-3于点N.若|PM|+|PN|15,求k的取值范围.【思路探求】(1)根据已知条件求出a,b,从而得到椭圆方程.(2)设直线l的方程,与椭圆方程联立结合题干条件将|PM|+|PN|化为关于k的式子.【解析】(1)因为椭圆E过点A(0,-2),故b=2,以四个顶点围成的四边形面积为45,故122a2b=2ab=45,联立b=2,2ab=45,a2=b2+c2,解得a=5,b=2,c=1,故椭圆E的标准方程为x25+y24=1;(2)由题意知,直线l的斜率存在,且直线l的方程为y=kx-3,设B(x1,y1),C(x2,y2),联立y=kx-3,4x2+5y2=20,消y

9、整理得(5k2+4)x2-30kx+25=0,=(-30k)2-4(5k2+4)25=400(k2-1)0,故k1或kb0)的右焦点为F,直线l:y=3x与椭圆C相交于A,B两点(A在B上方),若AFBF,则椭圆C的离心率为_.【解析】设原点为O,由椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,直线l:y=3x与椭圆C相交于A,B两点,AFBF,知AOF=60,OF=OA,所以三角形OAF是正三角形,A12c,32c,所以|FB|=3c,由椭圆的定义可得3c+c=2a,可得e=ca=23+1=3-1.答案:3-12.(2022新高考卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A

10、,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为_.【解析】如图,令AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x126+y123=1,x226+y223=1,所以x126-x226+y123-y223=0,即(x1-x2)(x1+x2)6+(y1+y2)(y1-y2)3=0,所以(y1+y2)(y1-y2)(x1-x2)(x1+x2)=-12,即kOEkAB=-12,设直线AB:y=kx+m,k0,令x=0得y=m,令y=0得x=-mk,即M(-mk,0),N(0,m),所以E-m2k,m2,即km2-m2k=-12,解得k=-22或k=22(舍去),又|MN|=23,即|MN|=m2+(2m)2=23,解得m=2或m=-2(舍去),所以直线AB:y=-22x+2,即x+2y-22=0.答案:x+2y-22=0 - 9 -