第2节 导数与函数的单调性.doc

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1、 第2节导数与函数的单调性考试要求1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识诊断基础夯实【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)

2、在定义域内的单调性.常用结论1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x(a，b)时，f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x(a，b)时，f(x)0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x(a，b)时，f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0有解.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0，

3、则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)xsin x在R上是增函数.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)反例，f(x)，虽然f(x)0，但f(x)在其定义域(，0)(0，)上不具有单调性.2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(d)f(e)答案CD解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上单调递增，因为abc，所以f(c)f(b)f(

4、a).当x(c，e)时，f(x)0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为cde，所以f(c)f(d)f(e).3.(选修二P97T2改编)函数f(x)x32x24x的单调递增区间是_.答案(，2)，解析由f(x)3x24x4(3x2)(x2)0，得x2或x，故f(x)的单调递增区间为(，2)，.4.若yx(a0)在2，)上单调递增，则a的取值范围是_.答案(0，2解析法一由y10，得xa或xa.yx的单调递增区间为(，a，a，).函数在2，)上单调递增，2，)a，)，a2.又a0，0a2.法二y1，依题意知10在x2，)上恒成立，即a2x2恒成立，x2，)，x24，a24，又a0，0a

5、2.考点突破题型剖析考点一不含参函数的单调性例1 (1)下列函数在(0，)上单调递增的是()A.f(x)sin 2x B.f(x)xexC.f(x)x3x D.f(x)xln x答案B解析对于A，f(x)2cos 2x，f10，不符合题意；对于B，f(x)(x1)ex0，符合题意；对于C，f(x)3x21，f0，不符合题意；对于D，f(x)1，f(2)0，不符合题意.(2)若函数f(x)，则函数f(x)的单调递减区间为_.答案(1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令(x)ln x1(x0)，(x)0，(x)在(0，)上单调递减，且(1)0，当x(0，1)时，(x)0，当x(1，)时

6、，(x)0，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减.感悟提升确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.训练1 (1)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A.(0，1) B.(1，)C.(，1) D.(1，1)答案A解析f(x)2x(x0)，令f(x)0，得x1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)x2cos x，则f(x)的单调递增区间为_.答案，解析f(x)12s

7、in x，x(0，).令f(x)0，得x或x，当0x或x时，f(x)0，当x时，f(x)0，f(x)在和上单调递增，在上单调递减.考点二含参函数的单调性例2 已知函数f(x)ax2(a1)xln x，a0，试讨论函数yf(x)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).令f(x)0，得x或x1.当0a1，x(0，1)或时，f(x)0；x时，f(x)1时，00；x时，f(x)0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减.综上，当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减.感悟提升若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的

8、大小；若不能因式分解，则需讨论判别式的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.训练2 (2021全国乙卷节选)讨论函数f(x)x3x2ax1的单调性.解由题意知f(x)的定义域为R，f(x)3x22xa，对于f(x)0，(2)243a4(13a).当a时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a0，则xx2；令f(x)0，则x1xx2.所以f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增.综上，当a时，f(x)在R上单调递增；当a0).g(x)0在1，2上恒成立，即20在1，2上恒成立，a2x2x在1，2上恒成立，a(2x2x)max，x1，2，

9、(2x2x)max3，a3.实数a的取值范围是3，).(2)g(x)在1，2上存在单调递增区间，则g(x)0在1，2上有解，即a2x2x在1，2上有解，a(2x2x)min，又(2x2x)min10，a10，实数a的取值范围是(10，).角度2比较大小例4 (1)(2023湖州质检)已知函数f(x)3x2cos x.若af(3 )，bf(2)，cf(log27)，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.cbaC.bac D.bc0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为1，所以3 3.又log24log27log28，即2log273，所以2log273 ，所以f(2)f(log27)f(3

10、 )，即bc0).又由题意知f(1)0，所以k1.(2)由(1)知，f(x)(x0).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减.由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0时，f(x)3x22x1的解集是_.答案解析令g(x)f(x)x2，则g(x)是R上的偶函数.当x0时，g(x)f(x)2x3x22x1得f(2x)(2x)2f(x1)(x1)2，即g(2x)g(x1)，于是g(|2x|)g(|x1|)，则|2x|x1|，解得1x.16.已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数

11、yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2在区间(t，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，当a0时，f(x)的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0，1)；当a0时，f(x)为常函数，无单调区间.(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x)(x0).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上不是单调函数，即g(x)在区间(t，3)上有变号零点.由于g(0)2，当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9，又g(3)0，即m，m9.即实数m的取值范围是.