第8节 函数的图象.doc

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1、 第8节函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象

2、yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yAf(x).(4)翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象.常用结论1.记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图

3、象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同.()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同.()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a1时，yaf(x)与yf(ax)是由yf(x)分别进行纵坐标与横

4、坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()答案C解析法一出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，故选C.法二由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降得快，故应选C.3.(2023长沙雅礼月考)函数ycos xln |x|的图象可能是()答案D解析函数ycos xln

5、|x|的定义域为x|x0，又cos(x)ln|x|cos xln|x|，所以函数ycos xln|x|是偶函数.因为偶函数的图象关于y轴对称，排除A，C；又x时，ycos ln 0，排除B.故选D.4.函数yf(x)的图象与yex的图象关于y轴对称，再把yf(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数yg(x)的图象，则g(x)_.答案ex1解析由题意得f(x)ex，g(x)e(x1)ex1.考点突破题型剖析考点一作函数的图象例1 作出下列函数的图象：(1)y；(2)y|log2(x1)|；(3)yx22|x|1.解(1)先作出y的图象，保留y图象中x0的部分，再作出y的图象中x0部分关于y轴的

6、对称部分，即得y的图象，如图实线部分. (2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.感悟提升1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.训练1 分别作出下列函数的图象：(1)ysin |x|

7、；(2)y.解(1)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.(2)y2，故函数的图象可由y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示.考点二函数图象的识别角度1函数图象的识别例2 (1)(2022全国甲卷)函数f(x)(3x3x)cos x在区间，上的图象大致为()答案A解析法一(特值法)取x1，则f(1)(3)cos 1cos 10 ；取x1，则f(1)(3)cos(1)cos 10.结合选项知选A.法二f(x)(3x3x)cos(x)(3x3x)cos xf(x)，所以函数f(x)(3x3x)cos x是奇

8、函数，排除B，D；取x1，则f(1)(3)cos 1cos 10，排除C.故选A.(2)(2022全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间3，3的大致图象，则该函数是()A.y B.yC.y D.y答案A解析对于B，当x1时，y0，与图象不符，排除B；对于D，当x3时，ysin 30，与图象不符，排除D；对于C，当0x时，0cos x1，故y1，与图象不符，排除C.故选A.感悟提升1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断

9、图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.角度2借助动点探究函数图象例3 如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()答案C解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.感悟提升根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断

10、函数图象.(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.注意求解的过程中注意实际问题中的定义域问题.训练2 (1)(2023湖南名校联考)函数f(x)cos xln 的图象大致为()答案C解析要使函数f(x)cos xln 有意义，则0，解得x，函数f(x)的定义域为(，)，又f(x)cos(x)ln cos xlnf(x)，f(x)为奇函数，故排除A，D；当x时，cos 0，ln ln 0，故f0，排除B，故选C.(2)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()答案B解析观察

11、图象，根据图象的特点，发现取水深h时，注水量V，即水深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的一半，A中V，C，D中V，故排除A，C，D，选B.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质例4 已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，)B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(1，1)D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(，0)答案C解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减

12、.角度2图象法解不等式例5 已知函数f(x)则f(x)x的解集为()A.(，0 B.(1，0C.(1，01，) D.1，)答案C解析作出函数yf(x)与yx的图象，如图.结合图象知不等式f(x)x的解集为(1，01，)，故选C.角度3求参数的取值范围例6 (2023湖州调研)已知函数f(x)若实数a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_.答案(2，2 024)解析函数f(x)的图象如图所示，不妨令abc，由正弦曲线的对称性可知ab1，而1c2 023，所以2abc2 024.感悟提升1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(

13、单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.训练3 (1)(2023河南顶尖名校联考)若关于x的不等式aexbxc0的解集是(1，1)，则()A.b0 B.ac0C.abc0 D.8a2bc0答案D解析显然a0，不等式可化为exx，在同一直角坐标系中作出函数yex，yx的图象(图略)，依题意两函数图象的交点横坐标为1，1，则0，1，所以b0，ca，A，B错误；当x1时，aebc0，而abcae

14、bc0，C错误；当x2时，ae22bc0，而8a2bcae22bc0，D正确.(2)已知奇函数f(x)在x0时的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为_.答案(2，1)(1，2)解析xf(x)0，当x(，2)(1，0)(1，2)时，f(x)0，不等式xf(x)1，所以x2，所以(ba)max2(1)3.【B级能力提升】13.如图，点P在以AB为直径的半圆弧上沿着运动，AB2，记BAPx.将点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()答案C解析由题意可知，PAB为直角三角形，PA2cos x，PB2sin x，所以PAPB2cos x2sin x2sin，x

15、，即yf(x)2sin，x.因为x，所以x，所以2sin2，2，当x，即x时，函数f(x)取得最大值2，故排除B，D；又f(x)的解析式为正弦型，排除A，选C.14.(2023郑州调研)若ex1x3x3ln x21，则下列不等关系一定不成立的是()A.x1x3x2 B.x3x1x2C.x3x2x1 D.x1x2x3答案D解析由ex1x3x3ln x21，得ex1ln x2.由ex10，得0x21，x30，作函数yex，yln x，y(x0)的图象及直线ym，如图.变换m的值，可发现：x1x3x2，x3x1x2，x3x2x1均能够成立，只有D不可能成立.故选D.15.设函数f(x)f(x)a有四

16、个实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则(x3x4)x1的取值范围是()A. B.(0，1)C. D.答案A解析由分段函数知，当1x2时，f(x) 0，)，且单调递减；当2x3时，f(x)(0，1，且单调递增；当3x4时，f(x)(0，1)，且单调递减；当x4时，f(x)0，)，且单调递增.f(x)的图象如图所示.f(x)a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4.由图知，当0a1时，f(x)a有四个实数根，且x12x23x34x45.又x3x48，由对数函数的性质知(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，可得1.设(x3x4)x12x11t，且x12.由g(x)2x1在上单调递增，可知g2x1g(2)，所以t，故选A.16.(2023盐城质检)已知函数f(x)|32xx2|的图象和直线2xay70有三个交点，则a_.答案1解析画出函数f(x)的图象，如图所示.因为直线2xay70过定点，所以当直线2xay70与f(x)32xx2(3x1)的图象相切时，符合题意.联立得ax22(a1)x(3a7)0，由4(a1)24a(3a7)4(4a1)(a1)0，得a1或a.当a1时，方程x24x40的解为x2，满足条件3x1；当a时，方程x2x0的解为x5，不满足条件3x1.所以a1.