二十　点到直线的距离公式.docx

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1、 二十点到直线的距离公式1.点A(3,-7)到直线x+y=0的距离为()A.2B.2C.4D.22【解析】选D.点A(3,-7)到直线x+y=0的距离d=|3-7|2=22.2.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A.2B.2-2C.2-1D.2+1【解析】选C.由题意得|a-2+3|1+1=1.所以|a+1|=2,a+1=2.解得a=-1+2或a=-1-2.因为a0,所以a=-1+2.3.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到直线l的距离为10,则直线l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=

2、0D.x-3y-4=0【解析】选C.解方程组7x+5y-24=0,x-y=0,得x=2,y=2,所以交点坐标为(2,2).设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则d=|5k-1-2k+2|k2+(-1)2=|3k+1|k2+1=10,解得k=3,所以直线l的方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0.4.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.2【解析】选B.记点A(0,-1),直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0),当AB垂直于直线y=k(x+1)时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=2.

3、5.(多选题)已知直线y=2x与x+y+a=0交于点P(1,b),则()A.a=-3B.b=2C.点P到直线ax+by+3=0的距离为21313D.点P到直线ax+by+3=0的距离为41313【解析】选ABD.由题意,得b=21+b+a=0,解得a=-3,b=2,故A,B正确,所以(1,2)到直线-3x+2y+3=0的距离d=|-3+4+3|(-3)2+22=41313,故C错误,D正确.6.(多选题)已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为55,则点P的坐标可以为()A.(0,-2)B.(2,4)C.(2,-2)D.(1,1)【解析】选AB.直线l:y=2x-1可化为2x

4、-y-1=0,依题意得|2(1+t)-(1+3t)-1|22+(-1)2=55,整理得|t|=1,所以t=1或-1.当t=1时,点P的坐标为(2,4);当t=-1时,点P的坐标为(0,-2).7.点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于_.【解析】直线x+2=0,即x=-2为平行于y轴的直线,所以点(5,-3)到x=-2的距离d=|5-(-2)|=7.答案:78.已知直线l:x-2y+6=0在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为3,则实数m=_;点(m,3)到直线l的距离为_.【解析】令y=0,得x=-6,所以m=-6,所以点(m,3)为(-6,3),所以点(m,3)到直线l的距离为|-6-23

5、+6|12+(-2)2=65=655.答案:-66559.求点P(3,-2)到下列直线的距离:(1)y=34x+14;(2)y=6;(3)x=4.【解析】(1)把方程y=34x+14写成3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式得d=|33-4(-2)+1|32+(-4)2=185.(2)方法一:把方程y=6写成0x+y-6=0,由点到直线的距离公式得d=|03+(-2)-6|02+12=8.方法二:因为直线y=6平行于x轴,所以d=|6-(-2)|=8.(3)因为直线x=4平行于y轴,所以d=|4-3|=1.10.已知ABC三边所在直线的方程分别为lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y

6、-22=0,lBC:3x+4y-m=0(mR,m30).(1)判断ABC的形状;(2)当BC边上的高为1时,求实数m的值.【解析】(1)直线AB的斜率为kAB=32,直线AC的斜率为kAC=-23,所以kABkAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此ABC为直角三角形.(2)由3x-2y+6=02x+3y-22=0,得x=2y=6,即A点坐标为(2,6).由点到直线的距离公式,得点A到BC边的距离即BC边上的高为d=|32+46-m|32+42=|30-m|5,所以|30-m|5=1,即|30-m|=5,解得m=25或m=35.11.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y

7、+1=0的距离相等,则实数a的值为()A.-3B.3C.-3或3D.1或3【解析】选C.由题意得|-2a-4+1|a2+1=|a+5+1|a2+1,解得a=-3或3.12.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是()A.y=x+1B.y=2C.y=43xD.y=2x+1【解析】选BC.先考虑|PM|的最小值,即点M到所给直线的距离d,当d4时,直线上存在点P使|PM|=4,此时该直线为“切割型直线”.对于A,d1=|5-0+1|2=324,不符合条件;对于B,d2=24,不符合条件.13.已知点P(3,1)

8、到直线l:x+ay-3=0的距离为12,则a=_.【解析】由点到直线的距离公式得|3+a-3|1+a2=12,解得a=33.答案:3314.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为_.【解析】当直线斜率不存在时,直线方程为x=3,不符合题意,设直线斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-3)+4,整理得kx-y+4-3k=0,点A到直线的距离为|-2k-2+4-3k|k2+1,点B到直线的距离为|4k+2+4-3k|k2+1,所以|-2k-2+4-3k|k2+1=|4k+2+4-3k|k2+1,求得k=2或-23,所以直线l的方程为:2x+3y-18

9、=0或2x-y-2=0.答案:2x+3y-18=0或2x-y-2=015.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,求l2的方程.【解析】设l2的方程为y=-x+b(b1),则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b),所以|AD|=2,|BC|=2b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离,故h=|1+0-b|2=|b-1|2=b-12(b1),由梯形面积公式得2+2b2b-12=4,所以b2=9,b=3.因为b1,所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.16.已知在ABC中,A(1,1),B(m,m),C(4,2)(1m4).当m=_时,ABC的面积S最大.【解析】因为A(1,1),C(4,2),所以|AC|=(1-4)2+(1-2)2=10.又直线AC的方程为x-3y+2=0,所以点B到直线AC的距离d=|m-3m+2|10.所以S=12|AC|d=12|m-3m+2|=12(m-32)2-14,因为1m4,所以1m2,0(m-32)214,所以S=18-12(m-32)2,当且仅当m=32,即m=94时,S最大.答案:94 - 6 -