考点22 等差数列及其前n项和.docx

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1、 考点22 等差数列及其前n项和1.(2022新高考卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA,BB,CC,DD是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=()A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【命题意图】本题主要考查等差数列的性质,结合阅读材料,考查学生的知识运用能力.【解析】

2、选D.设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依题意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2,且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725,所以0.5+3k3-0.34=0.725,故k3=0.9.2.(2022北京高考T6)设an是公差不为0的无穷等差数列,则“an为递增数列”是“存在正整数N0,当nN0时,an0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】考查等差数列的单调性,充分、必要条件,中档题.【解析】选C.充分性.若等差数列an为递增数列,则d=an+1

3、-an0,所以an=a1+(n-1)d,当n+时,an+,所以存在正整数N0,当nN0时,an0.必要性.若“存在正整数N0,当nN0时,an0”,则当nN0时,an0,an-10.综上,“an为递增数列”是“存在正整数N0,当nN0时,an0”的充分必要条件.3.(2022全国乙卷文科T13)记Sn为等差数列an的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=.【命题意图】考查等差数列的概念、通项公式、前n项和公式及其运算.【解析】由2S3=3S2+6可得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化简得2a3=a1+a2+6,即2(a1+2d)=2a1+d+6,解得d=2.答案:24.(20

4、22全国甲卷理科)(同2022全国甲卷文科T18)记Sn为数列an的前n项和.已知2Snn+n=2an+1.(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.【命题意图】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值,属于中档题.【解析】(1)因为2Snn+n=2an+1,即2Sn+n2=2nan+n,当n2时,2Sn-1+n-12=2n-1an-1+n-1,-得,2Sn+n2-2Sn-1-n-12=2nan+n-2n-1an-1-n-1,即2an+2n-1=2nan-2n-1an-1+1,即2n-1an-2n-1an-1=2n-1,所以an-an-1=1,n2且nN*,所以an是以1为公差的等差数列.(2)由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,又a4,a7,a9成等比数列,所以a72=a4a9,即a1+62=a1+3a1+8,解得a1=-12,所以an=n-13,所以Sn=-12n+nn-12=12n2-252n=12n-2522-6258,所以,当n=12或n=13时,Snmin=-78.