考点24 数列求和及综合应用.docx

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1、 考点24 数列求和及综合应用1.(2022浙江高考数学科T10)(4分)已知数列an满足a1=1,an+1=an-13an2(nN*),则()A.2100a10052B.52100a1003C.3100a10072D.72100a10013,即1a2-1a113,1a3-1a213,1a4-1a313,1an-1an-113,(n2),累加可得1an-113(n-1),即1an13(n+2),(n2),所以an3n+2,(n2),即a100134,100a100100343,又1an+1-1an=13an133n+2=131+1n+1,(n2),所以1a2-1a1131+12,1a3-1a2

2、131+13,1a4-1a3131+14,1an-1an-1131+1n,(n3),累加可得1an-113(n-1)+1312+13+1n,(n3),所以1a100-133+1312+13+19933+13124+169439,即1a100140,即100a10052;综上:52100a1003.2.(2022新高考卷T17)(10分)记Sn为数列an的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.(1)求an的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+1an2.【命题意图】本题考查的知识要点:数列的递推关系式,数列的通项公式的求法,数列的求和,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生

3、的运算能力和数学思维能力.【解析】(1)因为a1=1,所以S1=a1=1,所以S1a1=1,又因为Snan是公差为13的等差数列,所以Snan=1+13(n-1)=n+23,所以Sn=(n+2)an3,所以当n2时,Sn-1=(n+1)an-13,所以an=Sn-Sn-1=(n+2)an3-(n+1)an-13,整理得:(n-1)an=(n+1)an-1,即anan-1=n+1n-1,所以an=a1a2a1a3a2an-1an-2anan-1=13142nn-2n+1n-1=n(n+1)2,显然对于n=1也成立,所以an的通项公式an=n(n+1)2;(2)因为1an=2n(n+1)=21n-

4、1n+1, 所以1a1+1a2+1an=2112+12-13+1n-1n+1=211n+11.记an的前n项和为Sn(nN*).()若S4-2a2a3+6=0,求Sn;()若对于每个nN*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质以及数列求和、通项公式,意在考查学生的方程思想的运用和求解运算能力.【解析】()因为S4-2a2a3+6=0,a1=-1,所以-4+6d-2(-1+d)(-1+2d)+6=0,所以d2-3d=0,又d1,所以d=3,所以an=3n-4,所以Sn=(a1+an)n2=3n2-

5、5n2;()因为an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,所以(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),(nd-1+4cn)2=(-1+nd-d+cn)(-1+nd+d+15cn),化简得cn2+(14d-8nd+8)cn+d2=0,由已知存在实数cn,即方程cn2+(14d-8nd+8)cn+d2=0有实数解,所以=(14d-8nd+8)2-4d20,所以(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)0对于任意的nN*恒成立,所以(n-2)d-1(2n-3)d-20对于任意的nN*恒成立,当n=1时,(n-2)d-1(2n-3)d-2=(d+1)(d+2)0,当n=2时,由(2d-2d-1)(4d-3d-2)0,可得d2,当n3时,(n-2)d-1(2n-3)d-2(n-3)(2n-5)0,又d1,所以1d2.