第3节 成对数据的统计分析.doc

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1、 第3节成对数据的统计分析考试要求1.了解样本相关系数的统计含义. 2.了解一元线性回归模型和22列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.变量的相关关系(1)相关关系的分类：正相关和负相关.(2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.2.样本相关系数(1)相关系数r的计算变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：r.(2)相关系数r的性质当r0时，称成对样本数据正相关；当r400空气质量好空气质

2、量不好附：2，0.0500.0100.001x3.8416.63510.828 解(1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为(100203003550045)350.(3)根据所给数据，可得22列联表：人次400人次400空气质量好3337空气质量不好228零假设为H0：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.根据列联表得25.8203.841x0.05.根据小概率值0.050的2独立性检验，可推断H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.0

3、5的前提下，可认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1.(2023湘豫名校模拟)根据如表样本数据：x23456y42.50.523得到的经验回归方程为x，则()A.0，0 B.0，0C.0，0 D.0，0答案B解析由表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则0，4，0.2，又经验回归方程x经过点(4，0.2)，可得0.2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A，B两个

4、变量有更强的线性相关性？()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案D解析r的绝对值越大，m越小，线性相关性越强.3.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间的关系如下表：x24568y3040605070y与x的经验回归方程为6.5x17.5，当广告支出6万元时，随机误差的残差为()A.5 B.5.5 C.6 D.6.5答案D解析由题意结合经验回归方程的预测作用可得，当x6时，6.5617.556.5，则随机误差的残差为5056.56.5.4.(2023南昌模拟)某公司在20192023年的收入与支出情况如下表所示：收入x(亿元)2.22.64.05.35.9支出y(亿元)0.21.52

5、.02.53.8根据表中数据可得经验回归方程为0.8x，依此估计该公司收入为8亿元时的支出为()A.4.2亿元 B.4.4亿元 C.5.2亿元 D.5.4亿元答案C解析根据题表中的数据，得(2.22.64.05.35.9)4，(0.21.52.02.53.8)2，20.841.2，经验回归方程为0.8x1.2，当x8时，0.881.25.2(亿元)，即该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元.5.(多选)(2023深圳模拟)某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第x年12345利润y/亿元23457已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的经验回归方程为1.2x，则下列说法正确

6、的是()A. 0.6B.变量y与x之间的线性相关系数r0C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D.该人工智能公司这5年的利润的方差小于2答案AC解析由题表可知，3，4.2，由经验回归直线恒过点(，)，得4.21.23，即0.6，故A正确；由A可得经验回归方程为1.2x0.6，显然为正相关，其相关系数r0，故B错误；令x6，则1.260.67.8，故C正确；该人工智能公司这5年的利润的方差s2(24.2)2(34.2)2(44.2)2(54.2)2(74.2)22.962，故D错误.6.(多选)(2023大连模拟)变量x与变量y的20对数据记为(xi，yi)，其中iN*，i20，xi，

7、yi，根据最小二乘法求得经验回归方程是x，变量间的相关系数为r，则下列说法中正确的是()A.利用经验回归方程计算所得的i与实际值yi必有误差B.经验回归直线x必过点(，)C.若所有的点(xi，yi)都在经验回归直线x上，则|r|1D.若变量x与y正相关，则r0答案BCD解析对于A，若所有样本点都在经验回归直线上，则i与yi相等，故A错误；对于B，经验回归直线x必过样本数据的中心点(，)，故B正确；对于C，若所有样本点都在经验回归直线上，则变量间的相关系数为1，即|r|1，故C正确；对于D，变量x与y正相关，则r0，故D正确.7.(多选)下列说法正确的是()A.设有一个经验回归方程35x，变量x

8、增加一个单位时，y平均增加5个单位B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D.在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好答案CD解析A中，因为35x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；B中，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误；C中，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确；D中，在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越

9、好，故D正确.8.已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用yc1ec2x拟合时的决定系数为R，用x拟合时的决定系数为R，则R，R中较大的是_.答案R解析由散点图知，用yc1ec2x拟合的效果比x拟合的效果要好，所以RR，故较大者为R.9.(2023青岛模拟)某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过_.附：2，其中nabcd.0.

10、050.0250.0100.001x3.8415.0246.63510.828答案0.025解析由题意可得列联表如下，培训方式合计集中分散一次考过453075一次未考过102030合计555010526.1095.024x0.025.10.某市物价部门对本市的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元/件)和销售量y(件)的数据如下表所示：售价x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与售价x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是3.2x40，且mn20，则其中的n_.答案10解析8，6，回归直线一定经过点(，)，即63.240，即3.2mn

11、42.又mn20，所以m10，n10.11.(2022全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得x0.038，y1.615 8，xiyi0.247 4.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵

12、的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数r，1.377.解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.06(m2)，样本中10棵这种树木的材积量的平均值0.39(m3)，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3.0.97.(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树

13、木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解得Y1 209.则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.12.(2023青岛模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：g/m3)，整理数据得到下表：SO2的浓度空气质量等级0，50(50，150(150，4751(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题.(1)估计事件

14、“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；(2)完成下面的22列联表.SO2的浓度合计0，150(150，475空气质量好空气质量不好合计(3)根据(2)中的列联表，依据小概率值0.01的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？解(1)由表格可知，该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150天的天数为2865746，则“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率P0.46.(2)由表格数据可得到列联表如下：SO2的浓度合计0，150(150，475空气质量好461056空气质量不好242044合计7030100(3)零假设为H0：该

15、市一天的空气质量与当天SO2的浓度无关.由(2)知28.9366.635x0.01，根据小概率值0.01的2独立性检验，没有充分证据推断H0成立，因此可以认为H0不成立，即认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关.【B级能力提升】13.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为ebx1.x1234ye2e3e5e6若e13，则x等于()A.6 B.7 C.8 D.9答案B解析由ebx1，得ln bx1，令zln y，则bx1，由题意知，2.5，4，因为(，)满足bx1，所以4b2.51，解得b2，所以2x1，所以e2x1，令e2x1e13，解得x7.14.(多选

16、)(2023武汉调研)某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在25 的室温下测量水温y(单位：)随时间x(单位：min)的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据(xi，yi)(i1，2，15)得到如下的散点图：现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有()A.y25c1ec2x B.y25C.y25 D.yc1(x25)c2答案AC解析题中散点图的特点是单调递增，增长速度越来越慢，且y25.对于A，当c1，c20时，yc1ec2x为增函数，且其增长速度逐渐减小且小于0，故可能符合，故A正确；对于B，该函数值大于25，故B错误；对于

17、C，当c1，c20时，y为增函数，其增长速度逐渐减小且小于0，故可能符合，故C正确；对于D，当c10时，yc1x为直线，与散点图不符合，故D错误.15.(多选)已知由样本数据(xi，yi)，i1，2，3，4，5，6，求得的经验回归方程为2x1，且3.现发现一个样本数据(8，12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是()A.去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B.去除后剩余样本数据中x的平均数为2C.去除后的经验回归方程为2.5x1D.去除后样本相关系数r变大答案BCD解析当3时，2317，则xi618，yi642，去除样本数据(8，1

18、2)后的新数据，2，6，设去除样本数据(8，12)后重新求得的经验回归方程为x1，则216，解得2.5，故去除后的经验回归方程为2.5x1，C正确；对于A选项，去除前变量x每增加1个单位，变量y大约增加2个单位，A错误；对于B选项，去除后剩余样本数据中x的平均数为2，B正确；对于D选项，去除了误差较大的样本数据后，线性相关性变强，因为y关于x为正相关，则r0，所以，样本相关系数r变大，D正确.16.数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下：科技投入x1234567收益y19202231405070根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型

19、曲线y2bxa的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：xxiyixizi (yi)2 (yi)251401 2391492 134130其中zilog2 yi，zi.(1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.1)；(2)乙认为样本点分布在直线ymxn的周围，并计算得经验回归方程为8.25x3，以及该回归模型的决定系数R0.893，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？由所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1)附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，决定系数：R21.参考数据：log2 52.3.解(1)将y2bxa两边取对数得log2 ybxa，令zlog2 y，则x，4，根据最小二乘估计可知0.3，50.343.8，回归方程为0.3x3.8，即20.3x3.8.(2)甲建立的回归模型：R10.939R0.893.甲建立的回归模型拟合效果更好.由知，甲建立的回归模型拟合效果更好.令20.3x3.8100，即0.3x3.8log2 10022log2 5，解得x9.3.科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿元.