考点24 数列求和及综合应用 (4).docx

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1、 考点24 数列求和及综合应用一、选择题1.(2019浙江高考T10)设a,bR,数列an中a1=a,an+1=an2+b,nN*,则()A.当b=12时,a1010 B.当b=14时,a1010C.当b=-2时,a1010D.当b=-4时,a1010【解析】选A.由an+1=an2+b得,an+1-an=an2+b-an=(an-12)2+(b-14),当b=12时,an+1-an=(an-12)2+140,数列an是递增数列,a2=a12+1212,a3=a22+12(12)2+12=34,a4=a32+12(34)2+12=17161,a5=a42+1212+12=32,a6=a52+1

2、2(32)2+12=114,a7=a62+12(114)2+12=129168,a8=a72+1282+1210,所以:a10a9a810.二、解答题2.(2019全国卷文科T18)记Sn为等差数列an的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式.(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.【命题意图】该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的求和公式,在解题的过程中,需要认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.【解题指南】(1)首先设出等差数列的公差,根据题的条件,建立关于a1和d的方程组,求得a1和d的值,利用等差数列的通项公式求

3、得结果.(2)根据题意有a5=0,根据a10,可知d0知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN.3.(2019天津高考理科T19)设an是等差数列,bn是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通项公式.(2)设数列cn满足c1=1,cn=1,2kn2k+1,bk,n=2k,其中kN*.求数列a2n(c2n-1)的通项公式.求i=12naici(nN*).【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.

4、【解析】(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意得6q=6+2d,6q2=12+4d,解得d=3,q=2,故an=4+(n-1)3=3n+1,bn=62n-1=32n.所以an的通项公式为an=3n+1,bn的通项公式为bn=32n.(2)a2n(c2n-1)=a2n(bn-1)=(32n+1)(32n-1)=94n-1.所以数列a2n(c2n-1)的通项公式为a2n(c2n-1)=94n-1.i=12naici=i=12nai+ai(ci-1)=i=12nai+i=1na2i(c2i-1)=2n4+2n(2n-1)23+i=1n(94i-1)=(322n-1+52n-1

5、)+94(1-4n)1-4-n=2722n-1+52n-1-n-12nN*.4.(2019天津高考文科T18)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求an和bn的通项公式.(2)设数列cn满足cn=1,n为奇数,bn2,n为偶数,求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN*).【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.【解题指南】(1)首先设出等差数列的公差,等比数列的公比,根据题意,列出方程组,求出公差和公比,进而求得等差数列和等比数列的通项公式.(2)根据

6、题中所给的cn所满足的条件,将a1c1+a2c2+a2nc2n表示出来,之后应用分组求和法,结合等差数列的求和公式,以及错位相减法求和,最后求得结果.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,依题意,得3q=3+2d,3q2=15+4d,解得d=3,q=3,故an=3+3(n-1)=3n,bn=33n-1=3n,所以an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n.(2)a1c1+a2c2+a2nc2n=(a1+a3+a5+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+a2nbn)=n3+n(n-1)26+(631+1232+1833+6n3n)=3n2+6(131

7、+232+n3n),记Tn=131+232+n3n则3Tn=132+233+n3n+1-得2Tn=-3-32-33-3n+n3n+1=-3(1-3n)1-3+n3n+1=(2n-1)3n+1+32,所以a1c1+a2c2+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3(2n-1)3n+1+32=(2n-1)3n+2+6n2+92(nN*).5.(2019浙江高考T20)(本小题满分15分)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列bn满足:对每个nN*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列an,bn的通项公式.(2)记cn=an2bn,nN*,证明:c1

8、+c2+cn2n,nN*.【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(1)设数列an的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2.从而an=2n-2,nN*.由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).解得bn=1d(Sn+12-SnSn+2).所以bn=n2+n,nN*.(2)cn=an2bn=2n-22n(n+1)=n-1n(n+1),nN*.我们用数学归纳法证明.当n=1时,c1=02,不等式成立;假设n=

9、kkN*时不等式成立,即c1+c2+ck2k.那么,当n=k+1时,c1+c2+ck+ck+12k+k(k+1)(k+2)2k+1k+12k+2k+1+k=2k+2(k+1-k)=2k+1.即当n=k+1时不等式也成立.根据和,不等式c1+c2+cn0.因为ckbkck+1,所以qk-1kqk,其中k=1,2,3,m.当k=1时,有q1;当k=2,3,m时,有lnkkln qlnkk-1.设f(x)=lnxx(x1),则f(x)=1-lnxx2.令f(x)=0,得x=e.列表如下:x(1,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)极大值因为ln22=ln86ln96=ln33,所以f(k)max=f(3)=ln33.取q=33,当k=1,2,3,4,5时,lnkkln q,即kqk,经检验知qk-1k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m6,分别取k=3,6,得3q3,且q56,从而q15243,且q15216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上,所求m的最大值为5.