阶段综合练(3.2).docx

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1、 阶段综合练(3.2)1.若ax2+by2=b(ab0),则这个曲线是()A.双曲线,焦点在x轴上B.双曲线,焦点在y轴上C.椭圆,焦点在x轴上D.椭圆,焦点在y轴上【解析】选B.因为ab0,方程可化为x2ba+y2=1,所以ba0,b0),由|PF1|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=(25)2,得(|PF1|-|PF2|)2=16,即2a=4,解得a=2,又c=5,所以b=1.所以双曲线方程为x24-y2=1.3.设F1,F2是双曲线x23-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当F1PF2的面积为2时,的值为()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.设点P(x0,y0),依题意得|

2、F1F2|=23+1=4,SPF1F2=12|F1F2|y0|=2,所以|y0|=1.又x023-y02=1,所以x02=3(y02+1)=6.所以=(-2-x0,-y0)(2-x0,-y0)=x02+y02-4=3.4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F1,与x轴的两个交点分别为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能【解析】选B.设以线段PF1,A1A2为直径的两圆的半径分别为r1,r2,圆心分别为O2,O1,双曲线的右焦点为F2.若P在双曲线左支,如图所示,则|O1O2

3、|=12|PF2|=12(|PF1|+2a)=12|PF1|+a=r1+r2,即圆心距为半径之和,两圆外切.若P在双曲线右支,同理求得|O1O2|=r1-r2,此时两圆相内切.综上,两圆相切.5.(多选题)双曲线C与椭圆x29+y24=1有相同的焦距,一条渐近线的方程为x-2y=0,则双曲线C的标准方程可以为()A.x24-y2=1B.y2-x24=1C.x2-y24=1D.y24-x2=1【解析】选AB.由题知c=5,设双曲线的方程为x2-4y2=(0),所以x2-y24=1,所以+4=5或-4+(-)=5,所以=4或=-4.6.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下

4、焦点,点P是其一条渐近线上一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则()A.双曲线C的渐近线方程为y=xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.点P的横坐标为1D.PF1F2的面积为2【解析】选ACD.等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=x,故A正确.由双曲线的方程可知|F1F2|=22,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误.点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,不妨设点P(x0,y0)在直线y=x上,所以x02+y02=2,y0=x0,解得|x0|=1,则点P的横坐标为1,故C正确.由上述分析可得PF1F2的面积为12221=2,故D正确.7.设双

5、曲线x24-y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为_.【解析】由双曲线的标准方程x24-y22=1,得a=2,b=2.由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4,所以|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=8.因为|AF1|+|BF1|=|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|+|BF2|)min=|AB|min+8=2b2a+8=10.答案:108.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为_

6、.【解析】不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则|BM|=|AB|=2a,MBx=180-120=60,所以M点的坐标为(2a,3a).因为M点在双曲线上,所以4a2a2-3a2b2=1,a=b,所以c=2a,e=ca=2.答案:29.已知椭圆D:x250+y225=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.【解析】椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),因此双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.设双曲线G的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以渐近线方

7、程为bxay=0且a2+b2=25.又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3,所以|5a|b2+a2=3,得a=3,b=4.所以双曲线G的方程为x29-y216=1.10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率e=233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线的方程;(2)直线y=kx+m(k0,m0)与该双曲线交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.【解析】(1)由题意,得e2=1+b2a2=43,aba2+b2=32,解得a2=3,b2=1.故双曲线的方程为x23-y2=1.(2)把直线方程y=kx+

8、m代入双曲线方程,并整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.因为直线与双曲线交于不同的两点,所以=12m2+12-36k20.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=6km1-3k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1-3k2.设CD中点为P(x0,y0),其中x0=x1+x22,y0=y1+y22,则x0=3km1-3k2,y0=m1-3k2.依题意,APCD.所以kAP=m1-3k2+13km1-3k2=-1k,整理得3k2=4m+1.将式代入得m2-4m0,所以m4或m0,即m-14,所以m的取值范围为(-14,0)(4,+).11.设A,B分别为双曲线x

9、2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的标准方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t.求t的值及点D的坐标.【解析】(1)由题意,知a=23,所以一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,又c2=a2+b2=12+b2,所以b2(12+b2)=3(b2+12),所以b2=3,所以双曲线的标准方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x00),则由+=t,得(x1,y1)+(x2,y2)=t(x0,y0),所以x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程,消去y得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=33x1-2+33x2-2=33(x1+x2)-4=12,所以x00,x0y0=433,x0212-y023=1,所以x0=43,y0=3.由+=t,得(163,12)=(43t,3t),所以t=4,点D的坐标为(43,3).关闭Word文档返回原板块- 7 -